2022-2023學年甘肅省臨夏州高二（下）期末數學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.sin*的導數是（）

A.cos.B.；cos；C.-[cos；D.0

2.在一次高臺跳水比賽中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度單位：M）與

起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系/1（。=一4.5產+5t+10.8,則該運動員在t=2s時的

瞬時速度為（）

A.-18m/sB.18m/sC.-13m/sD.13m/s

3.在空間直角坐標系中，若有=（1,1,-C）,b=（1,-1,%）-且五1石，則|為+3|=（）

A.7~5B.CC.<11D.5ra

4.在某項測量中，測量結果f服從正態分布N（4,小）9>0）,若p（《<2）=p（f>6）=0.18,

則P（2<f<4）=（）

A.0.14B,0.16C.0.28D,0.32

5.為響應“書香臨夏、悅享閱讀”活動，某校開展語文教師課文朗誦比賽.已知男女教師人

數相同，有8%的男教師和4%的女數師擅長中華詩詞朗誦，現隨機選一位教師，這位教師恰

好擅長中華詩詞朗誦的概率是（）

A.0.05B,0.06C.0.10D,0.12

6.我國古代數學名著《九章算術中，將底面為矩形且一側棱垂P

直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，四棱錐P-4BC0為陽馬，P41/

平面4BC。，且EC=2PE,若灰=xAB+yAC+zAP，則x+y+/\j

Z=（）/

bc

A.1

B.2

7.根據國家統計局統計，我國2018-2022年新生兒數量如表:

年份編號X12345

年份2018年2019年2020年2021年2022年

新生兒數量y(單位：萬人)1523146512001062956

依據表中的數據可以看出，可用線性回歸模型擬合新生兒數量y與年份編號》的關系，經計算

y與％的線性回歸方程為y=—153.7x+a，請預測2023年我國新生兒的數量約為()

A.880.2萬人B.796.3萬人C.780.1萬人D.786.2萬人

8.已知函數/Q)=；/-。)”一》在定義域上單調遞增，則實數a的取值范圍是()

A.(-00,-7]B.(-oo,-l]C.[-7，+oo)D.[―1,+8)

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.下列函數求導運算正確的是()

A.(Vx^);=|x5B.(兀x)'=nxlmz

C.D.=---\-

、"3lnx'tmdsinzx

10.設某項試驗成功率是失敗率的2倍，若用隨變量X描述一次試驗的成功次數，E(X),D(X)

分別為隨機變量的均值和方差，則()

147

A.P(X=0)="B.E(2X)=1C.0(X)=5D.D(3X+1)=3

11.已知函數y=〃x)的導函數/(x)的圖象如圖所示，下列說法正確的是()

A.函數〃為在(2,+8)上單調遞增B.函數f(x)在(1,3)上單調遞減

C.函數在x=1處取得極大值D.函數/(%)共有兩個極小值點

12.如圖，正方體4BCD-4B1GD1的棱長為1,正方形48CD的中

心為。，棱CCi，BiG的中點分別為E,F,貝IJ()

AB

A.OEBC

Dc_^~5

D-dAFOE=

C.異面直線0。1與EF所成角的余弦值為尊

D.點F到直線。。1的距度為個

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已用蒼=(-1,2,1),b=(-2,-2,4)，則3在五方向上的投影向量為.

14.函數/(x)=3x-2mx在點(1/(1))處的切線方程為.

15.臨夏刺繡是傳統民間工藝，歷史悠久，享有“一針一世界，一繡一繁華”的美譽，2018

年被列為市級非物質文化遺產名錄、刺繡精巧別致、種類多樣.現有兩人都準備從“床布、門

簾、中堂、墻幡”四個物體中隨機購買一個，設事件，為“兩人至少有一人購買墻幡”，事

件B為”兩人選擇的物件不同”，則P(B|4)=.

nn

16.在數學中用符號%:J表示“連乘”，類似于Ek表示“連加”，例如r：1=1*

2023

2x???x(n-1)xn,已知函數/(乃=j：-i)，記(無)為/'(尤)的導函數，若/''(2023)=

則;I=.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

如圖，在三棱錐S-ABC中，S4,SB,SC兩兩垂直，S4=3,SB=SC=2,點E在邊S4上，

S.SE=2EA,F為BC的中點似巾，SB，克分別為x軸，y軸，z軸的正方向，井以1為單位長

度，建立空間直角坐標系，求：

(1)直線EF的一個方向向量；

⑵點S到平面EFC的距離.

z

c

18.(本小題12.0分)

某高科技產品研發中心組織“科技創新知識挑戰賽”，組委會共設計10道不同的參賽題目.比

賽規定：每個參賽隊從這10道題中隨機抽取3道題進行現場答題，若答對其中2道及以上即為

挑戰成功.現有甲、乙兩隊參加比賽，根據平時經驗，甲隊能正確完成其中的6道題，乙隊能

正確完成每道題的概率為:求：

(1)乙隊挑戰成功的概率；

(2)甲隊正確完成題目個數X的分布列和期望，并說明哪個隊挑戰成功的可能性更大.

19.(本小題12.0分)

給出條件：①-1是函數/(X)的一個極值點；②f'(x)的一個零點為X=今從這兩個條件中任

意選擇一個作為題中的條件，并給出解答.

【注】若選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分.

已知函數/'(x)=x3+ax2-2x+1的導函數為/''(x),且.

⑴求a；

(2)求函數/(x)在區間［一3,1］上的最大值和最小值.

20.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PAIJ^fSiABCD,點E為PD的中點.

(1)證明：PB〃平面4EC；

(2)若R4=2,三棱錐E—ACD的體積為|,求二面角4—CE-B的余弦值.

p

21.(本小題12.0分)

為了考察某種新疫苗預防疾病的作用，科學家對小白鼠進行試驗，所得數據(單位：只)如表

所示：

項目發病沒發病合計

接種疫苗23032

未接種疫苗81018

合計104050

(1)能否有99.5%的把握認為接種疫苗與預防疾病有關？

(2)若任選一只小白鼠，4表示事件“選中的小白鼠接種疫苗”，8表示事件“小白鼠發病”.

(i)利用表中數據，求P(川B),p(川后)的估計值；

(ii)記/?=空回?”也為接種疫苗與預防疾病風險程度的一項度量指標，求R的估計值.

P(4|B)P(4|B)

2

場..,2_幾3—兒)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

PTX0)0.0250.0100.0050.001

5.0246.6357.87910.828

XO

22.(本小題12.0分)

設函數f(x)=ex,g(x)=mx2+x+l(mGR).

(1)求證:f(x)>x+1；

(2)若當％6[0,+8)時，f(x)>g(x)恒成立，求?n的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因為sinq是常數，所以sin號的導數是0.

故選：D.

根據常數的導數為零判斷即可.

本題考查了導數的運算問題，屬于基礎題.

2.【答案】C

【解析】解："(t)=-9t+5,九'(2)=-18+5=-13,

所以運動員在t=2s時的瞬時速度為-137n/s.

故選：C.

根據導數的物理意義可求出結果.

本題主要考查了導數的物理意義，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：因為方=(1,1,—b=(1,—l,x)，且運lb，

所以行7=l-l—，3x=0，得x=0,

所以I=(1,-1,0)，所以方+1=(2,0,—43)，

所以|行+B|=J22+(-<3)2=<7-

故選：B.

由五，石，得五?3=0求出X,從而可求出五+3的坐標，進而可求出其模.

本題考查向量數量積公式、向量垂直的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：因為P&<2)=P(f>6)=0.18,

所以〃=馬券=4,

所以P(2Wf<4)=P(f<4)-P代<2)=0.5-0.18=0.32.

故選：D.

根據正態分布的對稱性可求出結果.

本題主要考查正態分布的對稱性，屬于基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：設為="男教師"，^2=''女教師"，B="擅長中華詩詞朗誦”，

則P(4)=P(A2)=P(B|&)=8%,P(B\A2)=4%,

則P(B)=P(4i)P但MD+P(A2)P(B\A2)=ix8%+1x4%=0.06.

故選：B.

根據全概率公式可求出結果.

本題主要考查了全概率公式，屬于基礎題.

6.【答案】A

【解析】解：如圖，四棱錐P-ABC。為陽馬，

PAL^^ABCD,且EC=2PE,DE=xAB+yAC+zAP,

因為EC=2PE,所以兩配，

所以屁=荏一而=而+而一而

=AP+^PC-AD

=AP+^(AC-AP')-AD

=l~AP+^AC-AD

=lAP+-AC-(AC+CD)

=1AP-1AC-CD

=lAP-IAC+AB,

X=1

__2

又說=x^+yj?+z而，所以,一—5,則％+y+z=l.

故選：A.

根據空間向量線性運算法則計算可得.

本題考查空間向量線性運算法則等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

7.【答案】C

-1+2+3+4+5、-1523+1465+1200+1062+9566206

【解析】解:Y=--------------=S.V=----------------------------------

5

所以a=亍+153.7%=噌+153.7x3=1702.3,

J5

當x=6時，y=-153.7X6+1702.3=780.1-

故2023年我國新生兒的數量約為780.1萬人.

故選：C.

先求出3y,a，得回歸直線方程，再代入x=6可得結果.

本題主要考查線性回歸方程，屬于基礎題.

8.【答案】A

【解析】解:/（X）-出?1X一》的定義域為（0,+8）,

求導得「。）=%-?一1，

若/（乃在（。,+8）上單調遞增，則（。）>0,

所以a<x2-x在（0,+8）上恒成立，

只需aW（/—x）mm，x>0,

因為/—%=（%—扔—2—差當且僅當％=2時，等號成立，

所以Q<一,.

故選:A.

轉化為f'（x）>0,即a<x2-x在（0,+8）上恒成立，即可得出答案.

本題考查導數的綜合應用，解題中注意轉化思想的應用，屬于中檔題.

9.【答案】BD

332

-一

X5=-X5

【解析】解：對于4（濘）5

對于B,（兀*）'=兀"伉兀，故B正確;

對于C,{log3xS=—,故C錯誤;

—sinx'stnx—cosxcosx

對于D，島"饋）'=故。正確.

sin2x記'

故選：BD.

根據基本初等函數的導數公式以及求導法則計算可得答案.

本題主要考查了函數的求導公式的應用，屬于基礎題.

10.【答案】ABC

【解析】解：因為某項試驗成功率是失敗率的2倍,

不妨設試驗的成功率為P，

P

-

2

P

+-=

此時p2

解得p=I;

記一次試驗中成功的次數為X,

則X的所有取值為0,1,

此時P（X=0）=9，P（x=2）=|,故選項A正確;

X的分布列為：

X01

可得E(X)=Oxg+1x|=|,

而E(2X)=2E(X)=2x|=+故選項B正確；

此時D(X)=(0一|)2xg+(1一|)2x|4,選項C正確;

而。(3X+1)=9D(X)=9x^=2,選項。錯誤；

故選：ABC.

由題意，求出試驗成功的概率，記一次試驗中成功的次數為X,求出X的所有取值和對應的概率,

列出分布列，結合期望和方差公式對選項進行逐一分析，進而即可求解.

本題考查離散型隨機變量分布列的期望和方差，考查了邏輯推理和運算能力.

11.【答案】BCD

【解析】解：當2<萬<3時，fix')<0,當x>3時，f(x)>0,

所以函數/(x)在(2,+8)上先減后增，故A錯誤；

當l<x<3時，fix-)<0,所以函數f(x)在(1,3)上單調遞減，故B正確；

因為f(x)在x=1左側附近導數為正，右側附近導數為負，

所以函數/(尤)在x=1處取得極大值，故C正確；

因為f(x)在x=-1左側附近導數為負，右側附近導數為正，

所以函數/(%)在x=-1處取得極小值，

因為f(x)在x=3左側附近導數為負，右側附近導數為正，

所以函數f(x)在x=3處取得極小值，

則函數f(x)共有兩個極小值點，故。正確.

故選：BCD.

利用導函數的圖象，根據導函數的符號判斷函數的單調性，從而判斷4,B,根據極值和極值點的

概念分別判斷C,D.

本題考查了函數的單調性，極值點問題，考查導數的應用，是中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：以。為原點，建立空間直角坐標系。-xyz,如圖所

zj\:

則0(|,1,0),E(0,l；),C(0,1,0),F(1,l,l),O[(0,0,1),

所以屁=(一,另)，BC=(-1,0,0),計算旗?布=：,選項A

正確；

3

=_

0F=(01),計算而.赤=0+；+g4>

I

1嚀111C

西J++

一

-一M----2

4,444

所以皿<初而)=繇;金音,

根據三角函數同角的正余弦關系得，sin<OF,0E>=^1一（萼）2=爭，

所以△FOE的面積為SAFOE=、左II詁|sin</,屈>=④x卒x孕x罕=冬，選項8正

Z22258

確

61

前=,X

01,2-J，

_

4,

1

-西=fI+1+l=?'I前I=fJ+0+l=

+-

-02

、442115J442

所以3〈西,前>=韶=式逅=?,選項C錯誤；

~2~

點F到直線。5的距離為|前|sin<0F，西＞，

3

-

計算8s（聲，西>=贏微43

竽

0X2

sin（宿西>=J1-（強尸=心，

所以|歷jsin<而，E>=^x答=?，選項。正確.

故選：ABD.

以。為原點，建立空間直角坐標系D-xyz,利用坐標表示向量，計算正.比的值判斷選項4是

否正確；計算△FOE的面積判斷選項B是否正確；求cos<0D；，麗〉判斷選項C是否正確，計

算點F到直線。名的距離，判斷選項。是否正確.

本題考查了空間向量的應用問題，也考查了運算求解能力與推理判斷能力，是中檔題.

13.【答案】（一■|,5，3）

【解析】解：防鈕方向上的投影向量為整品制?"韶=（4|》

故答案為:（―

用了在五方向上的投影乘以與蒼同向的單位向量可得結果.

本題考查了投影和投影向量的定義及計算方法，考查了計算能力，屬于基礎題.

14.【答案】x-y+2=0

【解析】解：由題意可知，"1）=3,則切點為（1,3）,

因為「。）=3-：，

則1(1)=3-2=1,

所以/(x)在點(1,3)處的切線斜率為1,

則切線方程為y-3=1,(x-1),即x—y4-2=0.

故答案為：x-y+2=0.

根據題意，由導數的幾何意義即可得到結果.

本題考查導數的幾何意義，考查運算求解能力，屬于基礎題.

15.【答案】與

【解析】解：P(A)=與薩=看「(問=煤衿=稱,

所以P(B|4)=需=￥=,.

故答案為：

根據條件概率公式可求出結果.

本題主要考查條件概率公式，屬于基礎題.

16.【答案】1

【解析】解:/(x)=(x-l)(x-2)-(x-2023),

設g(x)=(x-2)(%-3)??…(x-2023),則f(x)=(x-l)g(x),

=g(x)+(x-l)g'(x),

所以1(1)=g⑴=(-1).(-2)?(-3)?(-2022)=2022!,

設九(x)=(x-l)(x-2)……(x-2022),則/'(x)=h(x)■(x-2023),

f'(x)=hr(x)(x-2023)+/i(x),

所以/'(2023)=/i'(2023)(2023-2023)+/i(2023)=/i(2023)=2022!,

所以；?一f'(2023)=2022!=

所以'-1⑴一2022!一1-

故答案為：1.

設g(x)=(X-2)(X-3)......(x-2023),則f(x)=(x-l)g(x),可求出/'(I)；設h(x)=(x-

1)(%-2)??…(x-2022),則/(x)=h(x)?(x-2023),可求出/'(2023).

本題考查了連乘的表示符號，基本初等函數和積的導數的求導公式，考查了計算能力，屬于中檔

題.

17.【答案】解：(1)依題意得E(2,0,0),F(O,1,1),

所以前=(一2,1,1)為直線EF的一個方向向量；

(2)由題意可知C(0,0,2),SC=(0,0,2),CE=(2,0,-2)-EF=(-2,1,1).

設平面EFC的一個法向量為記=(x,y,z),

則1元,CE=2%-2z=0

(n-~EF——2x+y+z=0'

取x=1,得z=1,y=1,

則五=(1,1,1),

所以點S到平面EFC的距離為噌=*=4.

|n|V33

【解析】(1)根據題意得到點E,F的坐標，可得直線EF的一個方向向量;

(2)根據點面距的向量公式可求出結果.

本題考查了空間向量的應用，重點考查了點面距的向量公式，屬中檔題.

18.【答案】解：(1)因為乙隊能正確完成每道題的概率為|,

不妨設乙隊正確完成的題目數為匕

此時y?8(3,1),

因為答對其中2道及以上即為挑戰成功

而PO=0)=(1-1)3=提,P(y=1)=禺x|x(1_|)2=法，

所以乙隊挑戰成功的概率為p(y>2)=1-p(y=o)-P(Y=i)=粽；

(2)因為甲隊能正確完成其中的6道題，

易得X的所有取值為0,1,2,3,

此時P(X=0)=^=芯，P(X=1)=警=4，P(X=2)=甯=；,P(X=3)=尋=，,

則X的分布列為：

X0123

II

3|

P—C9|

3010N

1119

OX+X+2X+3X-

所以E(X)=2-6-一5

30

易知甲隊挑戰成功的概率為P(X22)=；+J=鼻

因為2>生，

3125

所以甲隊挑戰成功的可能性更大.

【解析】(1)由題意，根據古典概型概率公式進行求解即可；

(2)得到X的所有取值，求出相對應的概率，列出分布列，代入期望公式中得到期望值，再求出X>2

的概率，將其與乙隊中X22的概率進行比較，進而即可求解.

本題考查離散型隨機變量分布列及期望，考查了邏輯推理和運算能力.

19.【答案】解：⑴-。)=3/+2以-2,

若選(J),/"'(—I)=3—2a—2=0,得a-

當a=g時，f'(x)-3x2+x-2=(x+l)(3x—2),

令［(x)<0,得一1<x<|，令f'(x)>0,得％<-1或x>|,

所以f(x)在(一1,勺上為減函數，在(―8,—1),(|,+8)上為增函數，

所以x=-l是函數/(%)的一個極值點，符合題意，

所以a=；.

若選②，//(|)=3x^+y-2=0,得a=：.

(2)由(1)知，a=g,/(x)=x3+^x2—2x+1.f'(x)=3x2+x-2=(x+l)(3x—2),

令/(x)<0,得一1cx<|,令1(x)>0,得x<-l或x>￡,

所以/(x)在(一1,|)上為減函數，在(一8,-1),(|,+8)上為增函數，

當xe［-3,1］時，/(x)在上為增函數，在上為減函數，(|,1］上為增函數，

因為〃-3)=-當，/(-1)=|,/(|)=畀/(l)=p

所以函數/(x)在區間上的最大值為今最小值為-當.

【解析】(1)若選①，由((-1)=0可得a=5再驗證；若選②，由/'(|)=0,得(1=

(2)由導數得函數單調性，根據單調性可得最值.

本題考查利用導數研究函數的單調性，極值及最值，考查運算求解能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)證明：連BD交4C于0,則。為BD的中點，

因為E為PD的中點，

所以0E〃P8,

因為PB仁平面AEC,OEu平面AEC,

所以PB〃平面4EC.

(2)因為底面為正方形，PAL^ABCD,點E為PD的中點.PA=2,

所以=IVP-ACD=^XIX2S^ACD=\AD?CD=Uo2=|,

所以4。=2,

以A為原點，以而,AD，9的正方向分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,

51U(0,0,0),B(2,0,0).C(2,2,0),￡,(0,1,1),

AE=(0,1,1).AC=(2,2,0).PB=(l,0,-l),fiC=(0,2,0),CD=(-1,1,0)，CE=(-2,-1,1).

設平面4EC的一個法向量為沆=

則僅聚小即醫；W則可取記=(IT,I)，

設平面BEC的一個法向量為元=(x2,y2fz2)f

則g.史=0,即度2=°則可取記=(1,0,2),

所以cos<m,n>=

|二m||二n|=v，3x+V晨5=5

由圖可知，二面角A-CE-B的平面角為銳角，

所以二面角a-CE-B的余弦值為?.

【解析】(1)連BD交4c于0,根據中位線平行以及線面平行的判定定理可證;

(2)根據三棱錐E-ACD的體積為爭求出45=2,以4為原點，以加AD，Q的正方向分別為4,

y,z軸建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量可求出結果.