高級中學名校試卷PAGEPAGE12024年高考第一次模擬考試（上海卷02）數(shù)學一、填空題1．若復數(shù)z滿足，則復數(shù)z2023的值是．〖答案〗﹣i〖解析〗由，得1+z＝i﹣iz，∴z＝＝．則z2023＝i2023＝i4×505+3＝i3＝﹣i．故〖答案〗為：﹣i．2．已知集合A＝{1，2，m}，B＝{1，3，4}，A∩B＝{1，3}，則m＝．〖答案〗3〖解析〗∵集合A＝{1，2，m}，B＝{1，3，4}，A∩B＝{1，3}，∴m＝3．故〖答案〗為：3．3．方程x2+y2﹣2x+6y+5a＝0表示圓，則a的取值范圍是．〖答案〗（﹣∞，2）〖解析〗x2+y2﹣2x+6y+5a＝0，即（x﹣1）2+（y+3）2＝10﹣5a，∵方程x2+y2﹣2x+6y+5a＝0表示圓，∴10﹣5a＞0，解得a＜2，故a的取值范圍為（﹣∞，2）．故〖答案〗為：（﹣∞，2）．4．已知M，N為直線3x+4y﹣15＝0上兩點，O為坐標原點，若，則的最小值為．〖答案〗6〖解析〗過O作OA⊥直線MN，垂足為A，則OA＝＝3，設(shè)∠AOM＝α，則∠AON＝（﹣α），故OM＝，ON＝，∴＝OM?ON?cos＝＝＝＝，∴當2α+＝即α＝時，取得最小值＝6．故〖答案〗為：6．5．已知f（x）＝x3，則f﹣1（x）＝．〖答案〗〖解析〗因為f（x）＝x3，所以，故f﹣1（x）＝．故〖答案〗為：．6．二項展開式的常數(shù)項的值為．〖答案〗﹣160〖解析〗∵的二項展開式的通項公式為Tr+1＝?（2x）6﹣r＝?26﹣r（﹣1）rx6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，則展開式的常數(shù)項等于23（﹣1）3＝﹣160，故〖答案〗為：﹣160．7．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則z＝x+4y的最大值為．〖答案〗9〖解析〗繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點的坐標為：A（1，2），據(jù)此可知目標函數(shù)的最大值為：zmax＝1+2×4＝9．故〖答案〗為：9．8．定義：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的和構(gòu)成一個等比數(shù)列，則稱該數(shù)列為“和等比”數(shù)列．已知“和等比數(shù)列{an}的前三項分別為a1＝a2＝1，a3＝3，則數(shù)列{an}的前11項和S11＝．〖答案〗1365〖解析〗根據(jù)題意，a1+a2＝2，a2+a3＝4，因此等比數(shù)列{an+an+1}的首項是2，公比為2，有，所以＝．故〖答案〗為：1365．9．梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AB＝1，BC＝2，分別以AB、BC、AD為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積的最大值為．〖答案〗〖解析〗由題意可知，四邊形ABCD是直角梯形，且AB為直角腰，且AB＝AD＝1，BC＝2，①若以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體為圓臺，且圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為1，所以幾何體的體積為＝；②若以BC為軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體是由一個圓柱和一個圓錐組合而成，圓柱、圓錐的底面半徑均為1，高均為1，所以幾何體的體積為＝；③若以AD為軸選擇一周，則形成的幾何體是在一個圓柱中挖去一個圓錐所形成的幾何體，圓柱的底面半徑為1，高為2，圓錐的底面半徑與高均為1，所以幾何體的體積為＝．因為V1＞V3＞V2，所以分別以AB、BC、AD為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積的最大值為．故〖答案〗為：．10．將五枚質(zhì)地、大小完全一樣的硬幣向上拋出，則正面向上的硬幣枚數(shù)為2或者3的概率為．〖答案〗〖解析〗將五枚質(zhì)地、大小完全一樣的硬幣向上拋出，則正面向上的硬幣枚數(shù)為2或者3的概率為：P＝+＝．故〖答案〗為：．11．已知拋物線C：y2＝4x的準線為l，O為坐標原點，⊙O與C和l在x軸同側(cè)分別交于A，B兩點，若△AOB為直角三角形，則⊙O的半徑為．〖答案〗〖解析〗由題意，可知∠AOB為直角，且OA＝OB，設(shè)直線OB為y＝kx（k＞0），與y2＝4x聯(lián)立得k2x2﹣4x＝0，可得；則直線OA為，與x＝﹣1聯(lián)立得，因為OA＝OB，則有，解得k2＝16或k2＝﹣1（舍），所以，故〖答案〗為：．12．若數(shù)列{an}滿足﹣＝0，則稱{an}為“夢想數(shù)列”．已知數(shù)列{}為“夢想數(shù)列”，且b1＝2，則{bn}的通項公式為bn＝．〖答案〗3n﹣1〖解析〗由數(shù)列{}為“夢想數(shù)列”，得bn+1+1﹣3（bn+1）＝0，所以bn+1+1＝3（bn+1），又b1＝2，所以{bn+1}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以bn+1＝3×3n﹣1＝3n，則bn＝3n﹣1．故〖答案〗為：3n﹣1．二、選擇題13．下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且是奇函數(shù)的是（）A． B．y＝sinx C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝|x﹣1|〖答案〗C〖解析〗因為f（﹣x）+f（x）＝log2（）+log2（）＝log2（x2+1﹣x2）＝0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）為奇函數(shù)，但是f（1）＝log2（），f（0）＝0，f（1）＜f（0），不滿足單調(diào)遞增，不符合題意；y＝sinx在R上不單調(diào)，不符合題意；y＝2x﹣2﹣x在R上單調(diào)遞增，且f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），即f（x）為奇函數(shù)，符合題意；y＝|x﹣1|為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；故選：C．14．已知參數(shù)方程，t∈[﹣1，1]，則下列曲線方程符合該方程的是（）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由題知，參數(shù)方程，t∈[﹣1，1]，中，當x＝0時，或或，在圖象上對應（0，0），（0，），（0，﹣）三點，對照選項，其圖象如B選項中的圖象所示．故選：B．15．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+）﹣1（A＞0，0＜ω＜1），f（）＝f（），且f（x）在區(qū)間（0，）上的最大值為．若對任意的x1，x2∈[0，t]，都有2f（x1）≥f（x2）成立，則實數(shù)t的最大值是（）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，ω∈（0，1），所以T＞2π；∵f（）＝f（），∴對稱軸為，由ω?+＝，k∈Z，得ω＝，k∈Z．∵0＜ω＜1，∴ω＝．此時f（x）＝Asin（+）﹣1．當x∈（0，），+∈，+＝時，f（x）max＝A﹣1＝，∴．∴f（x）＝（）sin（+）﹣1．當x∈[0，t]，+∈[，]，∵對任意的x1，x2∈[0，t]，都有2f（x1）≥f（x2）成立，即x∈[0，t]，2f（x）min≥f（x）max，①當+，2f（x）min＝2[（）sin﹣1]＝，f（x）max＝（）sin﹣1＝．∴2f（x）min≥f（x）max成立．又∵+＝與+＝對稱，所以+≤時，2f（x）min≥f（x）max恒成立；②當+時，f（x）max＝（）sin﹣1＝．2f（x）min＜，即2f（x）min≥f（x）max不成立．綜上所述，對任意的x1，x2∈[0，t]，2f（x1）≥f（x2）成立，+≤，即t≤．故選：A．16．有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后超過100人患了流感，若設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，那么x滿足的不等關(guān)系為（）A．x（1+x）≥100 B．1+x（1+x）＞100 C．x+x（1+x）≥100 D．1+x+x（1+x）＞100〖答案〗D〖解析〗若每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則經(jīng)過第一輪后有（1+x）個人患了流感，經(jīng)過第二輪后有[（1+x）+x（1+x）]個人患了流感，∴（1+x）+x（1+x）＞100，故選：D．三、解答題17．如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，2AB＝BC＝AA1，點M為棱C1D1上的動點．（1）求三棱錐D﹣A1B1M與長方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積比；（2）若M為棱C1D1的中點，求直線DB1與平面DA1M所成角的大小．解：不妨設(shè)2AB＝BC＝AA1＝2，（1）∵，，∴，∴三棱錐D﹣A1B1M與長方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積比為1：6；（2）易知，，，∴，設(shè)B1到平面DA1M的距離為h，則由，可得，∴，設(shè)直線DB1與平面DA1M所成角的大小為θ，則，∴直線DB1與平面DA1M所成角的大小為．18．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且bsinC＝csinB+2cosA﹣1．（1）求角A的大小；（2）若b＝2，c＝1，D為AB的中點，求CD的長．解：（1）因為，所以bsinC＝csinB，又bsinC＝csinB+2cosA﹣1，所以cosA＝，又A∈（0，π），所以A＝．（2）在△ABC中，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsoA，可得a＝，滿足b2＝a2+c2，故B＝，在Rt△CBD中，CD＝＝＝．19．黨的十九大報告指出，農(nóng)業(yè)農(nóng)村農(nóng)民問題是關(guān)系國計民生的根本性問題，必須始終把解決好“三農(nóng)”問題作為全黨工作的重中之重，實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略．如圖，A村、B村分別位于某河流的南、北兩岸，AC⊥BC，BC＝5公里，∠BAC＝30°，現(xiàn)需將A村的農(nóng)產(chǎn)品運往B村加工．鄉(xiāng)政府經(jīng)過調(diào)研知，在每次運輸農(nóng)產(chǎn)品總量相同的條件下，公路運輸價格為a元/公里，水路運輸價格為2a元/公里．（1）給出兩種運輸方案：第一種，直接從A村通過水路運輸?shù)紹村；第二種，先從A村通過公路運輸?shù)脚cB村相對的南岸近岸處C，再通過水路運輸?shù)紹村．試比較兩種方案，哪種方案更優(yōu)？（2）為盡可能節(jié)約成本，鄉(xiāng)政府決定在該河流南岸AC上選擇一個中轉(zhuǎn)站D，先將A村的農(nóng)產(chǎn)品通過公路運往中轉(zhuǎn)站D，再將農(nóng)產(chǎn)品通過水路運往B村加工．試問：中轉(zhuǎn)站應選址何處最佳？請說明你的理由．解：（1）由于AB＝＝10公里，AC＝ABsin30°＝5公里，第一種運輸方案所需費用為20a元，第一種運輸方案所需費用為（5+10）a元，∵5＜10，∴（5+10）a＜20a，∴第二種運輸方案比第一種方案更優(yōu)．（2）令∠BDC＝θ（θ∈[30°，90°）），則BD＝公里，DC＝公里，AD＝5﹣DC＝5﹣公里，于是，所需總費用為W＝（5﹣）a+＝5a（），令y＝，則ysinθ+cosθ＝2，所以y2+12≥22，又y＞0，則y≥，當y＝時，θ＝60°，AD＝公里，即當中轉(zhuǎn)站選址在南岸位于A東邊公里的D處是最佳的．20．已知橢圓C：過點（2，﹣1），離心率為，拋物線y2＝﹣16x的準線l交x軸于點A，過點A作直線交橢圓C于M，N．（1）求橢圓C的標準方程和點A的坐標；（2）若M是線段AN的中點，求直線MN的方程；（3）設(shè)P，Q是直線l上關(guān)于x軸對稱的兩點，問：直線PM與QN的交點是否在一條定直線上？請說明你的理由．解：（1）因為橢圓C：過點（2，﹣1），離心率為，則有，且a2＝b2+c2，解得a2＝8，b2＝2，故橢圓C的方程為，所以準線l為x＝4，故點A（4，0）；（2）設(shè)N（x0，y0），因為M是線段AN的中點，則，由題意可得，，解得，所以直線MN的方程為；（3）設(shè)P（4，t），Q（4，﹣t），設(shè)直線MN的方程為x＝ky+4，設(shè)M（x1，y1）N（x2，y2），聯(lián)立方程組，可得（k2+4）y2+8ky+8＝0，所以，則直線，直線，聯(lián)立直線PM與QN，可得交點橫坐標為，又y1+y2＝﹣ky1y2，解得x＝2，所以PM與QN的交點恒在直線x＝2上．21．若函數(shù)f（x）對于定義域內(nèi)的某個區(qū)間I內(nèi)的任意一個x，滿足f（﹣x）＝﹣f（x），則稱函數(shù)f（x）為I上的“局部奇函數(shù)”；滿足f（﹣x）＝f（x），則稱函數(shù)f（x）為I上的“局部偶函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）＝2x+k×2﹣x，其中k為常數(shù)．（1）若f（x）為[﹣3，3]上的“局部奇函數(shù)”，當x∈[﹣3，3]時，求不等式的解集；（2）已知函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上是“局部奇函數(shù)”，在區(qū)間[﹣3，﹣1）∪（1，3]上是“局部偶函數(shù)”，．（ⅰ）求函數(shù)F（x）的值域；（ⅱ）對于[﹣3，3]上的任意實數(shù)x1，x2，x3，不等式F（x1）+F（x2）+5＞mF（x3）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）若f（x）為[﹣3，3]上的“局部奇函數(shù)”，則f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+k?2x＝﹣（2x+k?2﹣x），整理可得（k+1）（2x+2﹣x）＝0，解得k＝﹣1，即f（x）＝2x﹣2﹣x，當x∈[﹣3，3]時，不等式，即為2（2x）2﹣3?2x﹣2＞0，可得2x＞2，即x＞1，則原不等式的解集為（1，3]；（2）（ⅰ）F（x）＝，令t＝2x，則y＝t﹣在[，2]遞增，當x∈[﹣1，1]時，F(xiàn)（x）∈[﹣，