2022-2023學年山西省長治市固村中學高二數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數，則是（

）A.奇函數，且在R上是增函數 B.偶函數，且在(0,+∞)上是增函數C.奇函數，且在R上是減函數 D.偶函數，且在(0,+∞)上是減函數參考答案：C【分析】先判斷定義域是否關于原點對稱，進而利用可得函數為奇函數，再由指數函數的單調性可判斷函數的單調性.【詳解】定義域為R，關于原點對稱，，有，所以是奇函數，函數，顯然是減函數.故選C.【點睛】本題主要考查了函數的奇偶性和單調性的判斷，屬于基礎題.2.雙曲線y2﹣x2=2的漸近線方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】雙曲線y2﹣x2=2的標準方程為=1，把雙曲線的標準方程中的1換成0，即得漸近線方程．【解答】解：雙曲線y2﹣x2=2的標準方程為=1，故漸近線方程是，即

y=±x，故選

A．3.已知中心在原點O，焦點在y軸上，且離心率為的橢圓與經過點的直線l交于A，B兩點，若點C在橢圓內，的面積被x軸分成兩部分，且與的面積之比為4:1，則面積的最大值為（）A．

B． C．

D．參考答案：A4.用半徑為的圓形鐵皮剪出一個圓心角為的扇形，制成一個圓錐形容器，要使容器的容積最大，扇形的圓心角

A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.用數學歸納法證明時，到時，不等式左邊應添加的項為（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：C6.為研究某種細菌在特定環境下，隨時間變化的繁殖情況，得到如下實驗數據：天數x（天）3456繁殖個數y（千個）2.5344.5

由最小二乘法得y與x的線性回歸方程為，則當時，繁殖個數y的預測值為

（

）A.4.9 B.5.25 C.5.95 D.6.15參考答案：B【分析】根據表格中的數據，求得樣本中心為，代入回歸直線方程，求得，得到回歸直線的方程為，即可作出預測，得到答案．【詳解】由題意，根據表格中的數據，可得，即樣本中心為，代入回歸直線方程，即，解得，即回歸直線的方程為，當時，，故選B．【點睛】本題主要考查了回歸直線方程的應用，其中解答中熟記回歸直線方程的特征，求得回歸直線的方程是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．7.設為拋物線的焦點，為該拋物線上三點，若，則（

）A．9

B．6

C．4

D．3參考答案：B8.函數y=的定義域為（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（2，3）∪（3，+∞） D．（2，4）∪（4，+∞）參考答案：C【考點】函數的定義域及其求法．【分析】根據“讓解析式有意義”的原則，對數的真數大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．【解答】解：要使原函數有意義，則，解得：2＜x＜3，或x＞3所以原函數的定義域為（2，3）∪（3，+∞）．故選C．【點評】本題主要考查了函數的定義域及其求法，求定義域常用的方法就是根據“讓解析式有意義”的原則，屬于基礎題．9.設，則下列不等式成立的是（

）

A

B

C

D

參考答案：B略10.證明不等式（）所用的最適合的方法是（

）A．綜合法

B．分析法

C．間接證法

D．合情推理法參考答案：B欲證明不等式,只需證,只需證,只需證,故選B.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.(文)已知A，B均為集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},(B)∩A={9},則A=__.參考答案：(文){3,9}略12.設為單位向量，非零向量，若的夾角為，則的最大值等于________.參考答案：2

略13.在某次摸底考試中，隨機抽取100個人的成績頻率分布直方圖如圖，若參加考試的共有4000人，那么分數在90分以上的人數約為

人，根據頻率分布直方圖估計此次考試成績的中位數為

．參考答案：2600，97.5．【考點】頻率分布直方圖．【分析】由頻率分布直方圖的性質求出分數在90分以上的頻率，由此能求出分數在90分以上的人數，根據頻率分布直方圖能估計此次考試成績的中位數．【解答】解：由頻率分布直方圖的性質得：分數在90分以上的頻率為：1﹣（0.005+0.0125）×20=0.65，∴分數在90分以上的人數約為：0.65×4000=2600．由頻率分布直方圖知分數在90分以下的頻率為（0.005+0.0125）×20=0.35，分數在[90，110）的頻率為：0.02×20=0.4，∴根據頻率分布直方圖估計此次考試成績的中位數為：90+=97.5．故答案為：2600，97.5．14.若，則的最小值為

▲

．參考答案：解法一：如圖,可看成（0，0）到直線上的點的距離的平方，而的最小值就是原點到直線的距離的平方，此時，其平方即為.解法二：由得，代入中，則=，易知的最小值為.

15.已知雙曲線的離心率為2，焦點與橢圓的焦點相同，那么雙曲線的漸近線方程為___________.參考答案：1略16.若拋物線的頂點在原點，對稱軸為坐標軸，焦點在直線上，則拋物線方程為

▲

.參考答案：略17.各大學在高考錄取時采取專業志愿優先的錄取原則．一考生從某大學所給的7個專業中，選擇3個作為自己的第一、二、三專業志愿，其中甲、乙兩個專業不能同時兼報，則該考生有

種不同的填報專業志愿的方法（用數字作答）．參考答案：180三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.分別求滿足下列條件的直線方程.（Ⅰ）過點，且平行于:的直線；（Ⅱ）與:垂直，且與點距離為的直線.參考答案：解：（1）平行于，∴斜率為，又過點為，∴由點斜式可得直線方程為，

即。---------6分（2）直線與垂直，可設直線方程為，點到直線距離，解得，所以所求直線方程為或。---------6分19.（本小題滿分12分）如圖，過拋物線（＞0）的頂點作兩條互相垂直的弦OA、OB。⑴設OA的斜率為k，試用k表示點A、B的坐標；⑵求弦AB中點M的軌跡方程。參考答案：解：⑴．∵依題意可知直線OA的斜率存在且不為0∴設直線OA的方程為（）∴聯立方程

解得

……………4分以代上式中的，解方程組解得

∴A（，），B（，）……………8分⑵．設AB中點M（x，y），則由中點坐標公式，得……………10分消去參數k，得

；即為M點軌跡的普通方程。……………12分略20.從全校參加數學競賽的學生的試卷中，抽取一個樣本，考察競賽的成績分布，將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖，圖中從左到右各小組的長方形的高之比為1：3：6：4：2，最右邊一組的頻數是6．（1）成績落在哪個范圍的人數最多？并求出該小組的頻數、頻率；（2）估計這次競賽中，成績高于60分的學生占總人數的百分百．參考答案：【考點】頻率分布直方圖．【專題】計算題；整體思想；定義法；概率與統計．【分析】（1）圖中矩形面積最大的一組就是人數最多的組，由此找出最高的矩形，在[70.5，80.5）這一組，再用公式求出其頻數、頻率；（2）用樣本估計總體：在樣本中算出四個組占總數的百分比，就可以估計出成績高于60分的學生占總人數的百分比．【解答】解：（1）最右邊一組的頻數是6，從左到右各小組的長方形的高之比為1：3：6：4：2∴設樣本容量為n，得（1+3+6+4+2）：n=2：6∴n=48，樣本容量為48，成績落在[70.5，80.5）內人數最多，頻數為，頻率為=0.375．（2）成績高于60（分）的學生占總人數的==93.75%．【點評】本題考查了頻率直方圖的有關知識，屬于基礎題．頻率直方圖中，各個小長方形的面積等于該組數據的頻率，所有長方形的面積之和等于1．21.已知m，n都是實數，，.（Ⅰ）若，求實數x的取值范圍；（Ⅱ）若對滿足條件的所有m，n都成立，求實數x的取值范圍．參考答案：（I）；（II）.試題分析：（Ⅰ）化簡函數的解析式，由得或．求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求；（Ⅱ）由題可得，由絕對值不等式可得的最小值為2，可得，再根據的解集，求得的解集.試題解析：（Ⅰ），由得或解得或，故所求實數的取值范圍為．（Ⅱ）由且，得，又∵，∴，∵的解集為，∴的解集為，∴所求實數的取值范圍為．點睛：本題主要考查了絕對值不等式的解法，以及轉化與化歸思想，難度一般；常見的絕對值不等式的解法，法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現了數形結合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現了分類討論的思想；法三：通過構造函數，利用函數的圖象求解，體現了函數與方程的思想.22.已知函數．（1）求函數的最小正周期和單調遞減區間；（2）若，且，求的值．參考答案：（1）最小正周期，單調減區間為（2）分析：（1）根據原式結合二倍角公式，降冪公式，輔助角公式進行化簡，然后計算周期，根據正弦函數的基本性質求得單調區間；（2）∵f（）＝，即sin＝1.

可得α的值，然后按正切的和差公式打開即可求解.

解：(1)f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x

＝cos2xsin2x＋cos4x

＝(sin4x＋cos4x)

＝sin，

∴f(x)的最小正周期T＝.

令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋π，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z.∴f(x)的單調減區間為，k∈Z.

(2)∵f＝，即sin＝1