雙曲線

[4組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

一、選擇題

1.（2019?浙江高考）漸近線方程為牙土尸0的雙曲線的離心率是（）

A.乎B.1C.√2D.2

C[根據(jù)漸近線方程為x±y=0的雙曲線，可得a=b,所以CHa,

則該雙曲線的離心率為e=*=√L故選C.]

aV

22

2.已知雙曲線的方程為:一2=1,則下列關(guān)于雙曲線說法正確的是（）

A.虛軸長(zhǎng)為4

B.焦距為2m

c.離心率為華

D.漸近線方程為2x±3y=0

22

D[由題意知，雙曲線Y-AI的焦點(diǎn)在y軸上，且a?=4,Z∕=9,故c'=i3,所以選

項(xiàng)A,B均不對(duì)；離心率e=￡=卑，故選項(xiàng)C不對(duì)；由雙曲線的漸近線知選項(xiàng)D正確.故

a2

選D.]

?√5

3.已知雙曲線GF—5=1的離心率e=1,且其右焦點(diǎn)為用（5,0）,則雙曲線C的方

ab4

程為（）

X2V222XV

A----------1B---------=1

43916

2222

c二一匕=1D上一匕=1

16934

C[由題意得e=?∕l+g=）,又右焦點(diǎn)為K（5,0）,a'+∣j-c,所以3=16,S=9,

Va4

故雙曲線C的方程為《一!=1.]

169

4.（2020?全國卷I）設(shè)萬，E是雙曲線GV—5=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)夕

?

在。上且|。1=2,則△用K的面積為（）

75

A.-B.3C.-D.2

B［法一：設(shè)訝，A分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，則由題意可知￡(—2,0),用(2,

0),又|陽=2,所以|陽=|仍|=|閑，所以△尸RK是直角三角形,所以I小r+∣依「

=∣Λ∕?I2=16.不妨令點(diǎn)―在雙曲線。的右支上，則有I冏∣T4I=2,兩邊平方，W∣ΛRI2

2

+?PFi?→?PFy??∣依|=4,又Imr+1該『=16,所以I歷I?∣陽1=6,貝!∣S=a%∣??PFi?

=；X6=3,故選B.

法二：設(shè)A,K分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，則由題意可知￡(—2,0),K(2,0),

/2Q

又|陰=2,所以I如=ImI=I詼I,所以△必M是直角三角形,所以5=—?Γ=-^

Utan4o

tan萬

=3(其中O=NRPF),故選B.］

22

5.已知雙曲線G今一看=1(a>0)的一條漸近線方程為4x+3y=0,R,凡分別是雙曲

線C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在雙曲線C上，且I用1=7,則IMl=()

A.1B.13C.171).1或13

√44

B［由題意知雙曲線］-%=l(a>0)的一條漸近線方程為4x+3y=0,可得：=§，解得

a=3,所以c='a'+5=5.又由用，E分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，

且|%|=7,可得點(diǎn)夕在雙曲線的左支上，所以I代I一|%|=6,

可得I件∣=13.故選B.］

22

6.已知雙曲線G§一方=l(a>0,6>0)的頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離為1，焦點(diǎn)到其

一條漸近線的距離為斕，則其一條漸近線的傾斜角為()

A.30°B.450C.60oD.120°

V2/,

B［設(shè)雙曲線F—%=1的右頂點(diǎn)A(a,0),右焦點(diǎn)FAc,0)到漸近線y=-χ的距離分別

aba

ab

一+

?/?Ha亞

為1和小，則有《rl

be叫=學(xué)

√2,

N-+一

?2222I

^bc—acTZb

則tF=-Γ-=F-1=2-1=1,即一=1.

aaaa

設(shè)漸近線尸點(diǎn)的傾斜角為。,

則tan"=m=l.

所以夕=45°,故選B.]

7.（2017?全國卷In）已知雙曲線G?一看=l（a>0,6>0）的一條漸近線方程為尸坐

X,且與橢圓正+不=1有公共焦點(diǎn),則C的方程為（）

2222

1

A.I-?=b?7^f=1

2222

d

C.?2=1

r.Vl-re”λ∕5

B［由尸+X,可得W二考?①

由橢圓吉+；=1的焦點(diǎn)為（3,0）,(—3,0),

可得a2+Δ2=9.②

由①②可得才=4,6=5.

22

所以C的方程為卜f=l?故選B.]

/V

8?圓乙'+/-ι°y+i6=°上有且僅有兩點(diǎn)到雙曲線了一方=ι（a>o,”>。）的一條漸

近線的距離為1,則該雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.(√2,√5)

D.(√5,√2+l)

C[不妨設(shè)該漸近線經(jīng)過第二、四象限，則該漸近線的方程為bx+ay=Q.因?yàn)閳AC,

5。

V+（y—5）2=9,所以圓C的圓心為（0,5）,半徑為3,所以2<v?+?<4.結(jié)合a+Z?2=

-得冷得所以該雙曲線的離心率的取值范圍是（|，I[.]

二、填空題

22

9.（2021?新高考卷∏）已知雙曲線Ga一方=Io>0,Z?>0）,離心率e=2,則雙曲線

C的漸近線方程為________.

y=±√5x-1=√5,

故雙曲線C的漸近線方程為：y=±√3x]

22

10.（2021?焦作模擬）已知左、右焦點(diǎn)分別為￡,用的雙曲線α%一5=l（a>0,b>

0）的一條漸近線與直線/：萬一2尸0互相垂直，點(diǎn)/在雙曲線C上，J≡L;ΛS∣-∣ΛS∣=3,則

雙曲線。的焦距為.

22/

3Λ∕5[雙曲線G*一方=l（a>0,6>0）的漸近線為y=±y

一條漸近線與直線/：χ-2y=0相互垂直，可得2=2,

a

即6=2a,由雙曲線的定義可得2a=∣掰|一|咫|=3,

3

可得a=],8=3,

即有c=√a+?2=-^∣+9=?^^,

即焦距為20=34.]

22

11.如圖，A和月分別是雙曲線之一5=l（a>0,。>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，/1和6是以。為圓

aD

心，以I%I為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且4A∕6是等邊三角形，則雙曲線的

離心率為.

隹

√3+l[設(shè)IAEl=2c,連接站（圖略），

???△￡4?是等邊三角形，且兄K是。。的直徑，

ΛZJβ^=30o,NF4K=90°,

/.?AF??=c,?AF2?=yβc,2a=y∣3c-c,

22

12?已知雙曲線任務(wù)方=l（a>。，。>。）.若矩形胸〃的四個(gè)頂點(diǎn)在￡上，四”的

中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2∣∕6∣=3Ia1,則￡的離心率是.

f?/2?/2

2［由已知得/例=ICD?=—,?BC?=?AD?=IAKl=2c.因?yàn)??AB?=Z?BC?,所以——

Qa

=6c,

又A2=C-a2,所以2^—3e—2=0,

解得e=2,或e=一；(舍去).]

[B組在綜合中考查關(guān)鍵能力]

22

1.(2019?全國卷I)雙曲線α$一方=l(a>O,6>0)的一條漸近線的傾斜角為130。，

aD

則C的離心率為()

A.2sin40°B.2cos40"

C?1

sin50odcos50°

D[由題意可得一'=tan130",