1認識三角形第四章三角形逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2三角形及相關元素的定義三角形內角和直角三角形的性質三角形的三邊關系三角形中三條重要的線段知識點三角形及相關元素的定義知1－講11.三角形的定義由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.特別解讀1.構成三角形的“條件”：(1)三條線段；(2)不在同一直線上；(3)首尾順次相接.知1－講三角形的表示法：用符號“△”表示三角形.如圖4-1-1，頂點是A，B，C的三角形，記作△ABC，讀作“三角形ABC”.字母的順序可以自由安排知1－講2.三角形的“三元素”(1)頂點：三角形相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點.如圖4-1-1，點A，B，C是△ABC的三個頂點.(2)邊：組成三角形的線段叫做三角形的邊.如圖4-1-1，線段AB，BC，AC是△ABC

的三條邊.2.三角形的邊是線段，既可用兩個頂點的大寫字母表示，也可用邊所對的頂點的小寫字母表示，如頂點A所對的邊BC可用a表示.知1－講(3)內角：在三角形中，相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內角，簡稱三角形的角.如圖4-1-1，∠A，∠B，∠C

是△ABC的三個內角.知1－練例1如圖4-1-2，在△ABC中，D，E分別是BC，AC上的點，連接BE，AD交于點F.解題秘方：緊扣“三角形及相關元素的定義”和幾何圖形計數的常用方法進行解答.知1－練(1)圖中共有多少個三角形？請把它們分別表示出來.(2)請寫出△BDF的三個頂點、三條邊及三個內角.解：圖中共有8個三角形，分別是△ABF，△AEF，△ABE，△ABD，△ACD，△ABC，△BDF，△BCE.△BDF的三個頂點是B，D，F，三條邊是線段BD，DF，BF，三個內角是∠FBD,∠FDB，∠BFD.知1－練(3)以AB為邊的三角形有哪些？(4)以∠C為內角的三角形有哪些？解：以AB為邊的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC.以∠C為內角的三角形有△ACD，△BCE，△ACB.知1－練方法點撥幾何圖形計數的常用方法：按序計數法；畫圖計數法；基本圖形計數法；分類計數法.知1－練1-1.如圖所示，圖中共有_____個三角形.在△ABE中，AE所對的角是______，∠BAE所對的邊是______.AD在△ADE中是______所對的邊，在△ADC中是_______所對的邊.6∠BBE∠AED∠C知2－講知識點三角形內角和21.三角形三個內角的和等于180°.幾何語言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.知2－講2.三角形內角和的說明思路思路一：利用“兩直線平行，內錯角及同位角相等”將三角形的三個內角轉化為一個平角.如圖4-1-3①②.思路二：利用“兩直線平行，內錯角相等”將三角形的三個內角轉化為兩平行線間的一組同旁內角.如圖4-1-3③.知2－講特別解讀1.三角形內角和定理揭示了三角形三個內角之間的數量關系.2.已知三角形中任意兩角或兩角的和可以計算出第三個角的度數.知2－練

例2解題秘方：緊扣三角形的內角和等于180°建立方程求解.知2－練解：設∠B＝∠C＝m°.因為∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝40°.所以40°＋m°＋m°＝180°，解得m°＝70°.所以∠B＝∠C＝70°.(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度數；知2－練解：設∠A＝x°，則∠B＝x°－16°.因為∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝54°，所以x°＋x°－16°＋54°＝180°，解得x°＝71°.所以∠A＝71°，∠B＝55°.(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B

的度數；知2－練

知2－練三角形中求角的度數問題一般用方程思想求解，當角之間存在數量關系或比例關系時，一般根據三角形內角和為180°列方程.知2－練2-1.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B

∶∠C＝2∶1，則∠B等于()A.10° B.40°C.50° D.80°D知2－練2-2.如圖，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，D，E分別是AB，AC上的點，且DE∥BC，則∠AED等于()A.40°B.60°C.80°D.120°B知2－練2-3.在△ABC中，∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，求△ABC各內角的度數.解：因為∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，所以∠C＝∠B＋20°＋50°＝∠B＋70°.因為∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠B＋20°＋∠B＋70°＋∠B＝180°.解得∠B＝30°.

所以∠A＝50°，∠C＝100°.知3－講知識點直角三角形的性質3

知3－講2.直角三角形的表示直角三角形可以用符號“Rt△”表示，“直角三角形ABC”可以寫成“Rt△ABC”.注意：“Rt△”后必須緊跟表示直角三角形的三個頂點的大寫字母，不能單獨使用．如“直角三角形的邊”不能寫成“Rt△的邊”.知3－講3.直角三角形的性質直角三角形的兩個銳角互余.幾何語言：在△ABC中，因為∠C＝90°，所以∠A＋∠B＝90°.知3－講特別解讀1.三角形的三個內角中最多只有一個鈍角或直角，或者說至少有兩個銳角.2.直角三角形的性質的理論依據是三角形三個內角的和等于180°.3.在直角三角形中，若已知兩個銳角之間的關系，則可結合兩個銳角互余求出每個銳角的大小.知3－練[母題教材P84習題T4]如圖4-1-5，AB，CD相交于點O，AC⊥CD于點C，若∠BOD＝35°，則∠A＝______.例3解題秘方：根據直角三角形中兩銳角之間的數量關系求出角的度數.55°知3－練解：因為∠BOD＝35°，所以∠AOC＝35°.又因為AC⊥CD，所以∠ACD＝90°.所以∠A＝90°－∠AOC＝90°－35°＝

55°.知3－練3-1.[中考·黃岡]如圖，Rt△ABC的直角頂點A在直線a上，斜邊BC在直線b上，若a∥b，∠1＝55°，則∠2＝()A.55° B.45°C.35° D.25°C知4－講知識點三角形的三邊關系41.等腰三角形有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角.如圖4-1-6.特別地：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，即底邊與腰相等的等腰三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形.知4－講2.三角形的三邊關系文字語言數學語言理論依據圖形三角形任意兩邊之和大于第三邊a＋b﹥c，b＋c﹥a，a＋c﹥b兩點之間線段最短三角形任意兩邊之差小于第三邊a－b﹤c，b－c﹤a，a－c﹤b(a﹥b﹥c)知4－講特別提醒1.應用三角形的三邊關系時，必須用任意兩邊的和及差與第三邊作比較.2.已知三角形兩條邊的長度分別為a，b(a>b)，根據三角形的三邊關系可知，第三條邊的長度c的取值范圍是a－b<c<a＋b.知4－練[母題教材P86習題T1]下列長度的四組線段中能組成三角形的是()A.1cm，2cm，3.5cmB.4cm，5cm，9cmC.5cm，8cm，15cmD.6cm，8cm，9cm例4知4－練解題秘方：緊扣“三角形的三邊關系”進行判斷.用較短的兩條線段的和與最長的線段作比較解：因為1cm＋2cm<3.5cm，所以A不能組成三角形；因為4cm＋5cm＝9cm，所以B不能組成三角形；因為5cm＋8cm<15cm，所以C不能組成三角形；因為6cm＋8cm>9cm，所以D能組成三角形.答案：D知4－練4-1.[中考·河北]四邊形ABCD的邊長如圖所示，對角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化.當△ABC為等腰三角形時，對角線AC的長為()A.2B.3C.4D.5B知5－講知識點三角形中三條重要的線段51.三角形的中線在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線.三角形的三條中線交于一點，這點稱為三角形的重心.知5－講

知5－講特別解讀三角形的一條中線將這個三角形分成的兩個三角形的面積和周長的關系：1.兩個三角形的面積相等；2.兩個三角形的周長的差等于這兩個三角形另兩邊的長度的差.知5－講

知5－講特別提醒1.角的平分線是一條射線，而三角形的角平分線是一條線段.2.三角形的角平分線是其內角的平分線的一部分.故三角形的角平分線都具有角平分線的性質.知5－講3.三角形的高從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.三角形的三條高所在的直線交于一點.幾何語言：如圖4-1-9，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D.線段AD是△ABC中BC邊上的高.知5－講拓展三角形中三個重要的點：三條高所在直線的交點叫垂心；三條中線的交點叫重心；三條內角平分線的交點叫內心.知5－練[母題教材P89習題T2]如圖4-1-10，在△ABC中，AD，BE分別是△ABC，△ABD的中線.例5解題秘方：利用中線將三角形分成的兩個三角形的周長和面積之間的關系解題.知5－練解：因為AD為BC邊上的中線，所以BD＝CD.所以△ABD與△ADC的周長之差為(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC.因為△ABD與△ADC的周長之差為3，AB＝8，所以8－AC＝3，解得AC＝5.(1)若△ABD與△ADC的周長之差為3，AB＝8，求AC的長；知5－練

(2)若S△ABC＝8，求S△ABE.知5－練5-1.[中考·常州]如圖，在△ABC中，E是中線AD的中點．若△AEC的面積是1，則△ABD的面積是______．2知5－練如圖4-1-11，AD是△ABC的角平分線，DE∥AB，DF∥AC，EF與AD相交于點O.試問：DO是否為△DEF的角平分線？并說明理由.解題秘方：根據三角形的角平分線的定義進行說明.例6知5－練解：DO是△DEF的角平分線.理由：因為AD是△ABC的角平分線，所以∠1＝∠2.因為DE∥AB，DF∥AC，所以∠3＝∠2，∠1＝∠4.所以∠3＝∠4.所以DO是△DEF的角平分線.知5－練6-1.如圖，AD是△ABC的角平分線，AE是△ABD的角平分線，若∠BAC＝80°，則∠EAD等于()A.20°B.30°C.45