年北京市高級中等學校招生考試 數學試卷逐題解析一、選擇題〔此題共30分，每題3分〕下面各題均有四個選項，其中只有一個符合題意的.截止到2023年6月1日，北京市已建成34個地下調蓄設施，蓄水能力到達140000立方米，將140000用科學記數法表示應為A.14×104B.1.4×105C.1.4×106D.0.14×106【答案】B【解析】難度：★此題考查了有理數的根底—科學計數法.難度易.實數a,b,c,d在數軸上的對應點的位置如以下列圖，這四個數中，絕對值最大的是A.aB.bC.cD.d【答案】A【解析】難度：★此題考查了有理數的根底數軸的認識以及絕對值的幾何意義；

3.一個不透明的盒子中裝有3個紅球，2個黃球和1個綠球，這些球除了顏色外無其他差異，從中隨機摸出一個小球，恰好是黃球的概率為A.B.C.D.【答案】B【解析】難度：★此題考查了概率問題，難度易.4.剪紙是我國傳統的民間藝術，以下剪紙作品中，是軸對稱圖形的為A.B.C.D.【答案】D【解析】難度：★此題考查了軸對稱圖形的判斷；難度易.5.如圖，直線l1,l2,l3交于一點，直線l4∥l1，假設∠1=124°，∠2=88°，那么∠3的度數為A.26°B.36°C.46°D.56°【答案】B【解析】難度：★此題考查了相交線平行線中角度關系的考查，難度易.6.如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點M和點C被湖隔開，假設測得AM的長為1.2km，那么M,C兩點間的距離為A.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km【答案】D【解析】難度：★此題考查了直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質，難度易.7.某市6月份的平均氣溫統計如以下列圖，那么在日平均氣溫這組數據中，眾數和中位數分別是A.21,21B.21,21.5C.21,22D.22,22【答案】C【解析】難度：★此題考查了中位數，眾數的求法，難度易；8.右圖是利用平面直角坐標系畫出的故宮博物院的主要建筑分布圖，假設這個坐標系分別以正東，正北方向為x軸，y軸的正方向，表示太和門的點的坐標為〔0，-1〕，表示九龍壁的點的坐標為〔4,1〕，那么表示以下宮殿的點的坐標正確的選項是A.景仁宮〔4,2〕B.養心殿〔-2,3〕C.保和殿〔1,0〕D.武英殿〔-3.5，-4〕【答案】B【解析】難度：★此題考查了平面直角坐標系點的坐標確實定，難度易；9.一家游泳館收費標準為30元/次，假設購置會員年卡，可享受如下優惠：會員年卡類型辦卡費用〔元〕每次游泳收費〔元〕A類5025B類20020C類40015例如，購置A類會員年卡，一年內游泳20次，消費50+25×20=550元，假設一年內在該游泳館游泳的次數介于45~55次之間，那么最省錢的方式為A.購置A類會員年卡B.購置B類會員年卡C.購置C類會員年卡D.不購置會員年卡【答案】C【解析】難度：★★此題考查了方案討論問題，難度中.10.一個尋寶游戲的尋寶通道如圖1所示，通道由在同一平面內的AB,BC,CA,OA,OB,OC組成，為記錄尋寶者的行進路線，在BC的中點M處放置了一臺定位儀器.設尋寶者行進的時間為x，尋寶者與定位儀器之間的距離為y，假設尋寶者勻速行進，且表示y與x的函數關系的圖象大致如圖2所示，那么尋寶者的行進路線可能為A.A→O→BB.B→A→CC.B→O→CD.C→B→O圖1 圖2【答案】C【解析】難度：★★此題考查了動點函數圖像與路徑問題，難度中.二、填空題〔此題共18分，每題3分〕11.分解因式：【答案】【解析】難度：★此題考查了因式分解的計算，難度易12.右圖是由射線AB，BC,CD,DE,EA組成的平面圖形，那么∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=________.【答案】360°【解析】難度：★此題考查了多邊形的外角和為360°，難度易；13.?九章算術?是中國傳統數學最重要的著作，奠定了中國傳統數學的根本框架，它的代數成就主要包括開放術，正負術和方程術，其中，方程術是?九章算術?最高的數學成就.?九章算術?中記載：“今有牛五，羊二，直金十兩；牛二，羊五，直金八兩.問：牛，羊各直金幾何？〞譯文：“假設有5頭牛，2只羊，值金10兩；2頭牛，5只羊，值金8兩.問：每頭牛，每只羊各值多少兩？〞設每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，可列方程組為______.【答案】【解析】難度：★★此題考查了簡單的二元一次方程組的應用問題，但是閱讀量較大，需要學生迅速提取有用信息，難度中14.關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，寫出一組滿足條件的實數a,b的值：a=________,b=________.【答案】a=4,b=2(答案不唯一，滿足)【解析】難度：★此題考查了根據一元二次方程根的情況求參數值的問題，難度易；15.北京市2023~2023年軌道交通日均客運量統計如以下列圖，根據統計圖中提供的信息，預估2023年北京市軌道交通日均客運量約為________萬人次，你的預估理由是_________________________.【答案】1038 根據2023～2023年平均增長率.【解析】難度：★此題考查了根據圖像求平均增長率問題，難度易.16.閱讀下面材料：在數學課上，老師提出如下問題：尺規作圖：作一條線段的垂直平分線，：線段尺規作圖：作一條線段的垂直平分線，：線段AB，求作：線段AB的垂直平分線.小蕓的作法如下：如圖，分別以點如圖，分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于C,D兩點；作直線CD，所以直線CD就是所求作的垂直平分線.老師說：“小蕓的作法正確.〞請答復：小蕓的作圖依據是______________________________________.【答案】三角形的全等判定〔SSS〕【解析】難度：★此題考查了垂直平分線的畫圖依據，難度易；三、解答題〔此題共72分，第17～26題每題5分，第27題7分，第28題7分，第29題8分〕17.計算：.【答案】【解析】難度：★解：原式=4-1+2-+2=5+此題考查了實數，零指數冪，負整數冪，特殊角的三角函數值的運算，二次根式的化簡.綜合考查了實數的混合運算.解決此類問題的關鍵是熟練記住三角函數值，掌握實數，零指數冪，負整數冪的運算及二次根式的化簡.難度易.18.，求代數式的值.【答案】7【解析】難度：★★解：原式===原式=6+1=7此題考查了整式的混合運算與化簡求值，注意先化簡，再整體代入求值.難度中.19.解不等式組，并寫出它的所有非負整數解.【答案】解集為；非負整數解：x=0，1，2，3【解析】難度：★解：解①得：解②得：原不等式的解集為它的所有非負整數解為x=0，1，2，3此題考查了一元一次不等式的解法及把解集在數軸上表示出來，解答這類問題學生往往會在解題時不注意移項時〞變號“而出現錯誤.重點掌握不等式的根本性質，難度易.

20.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點E，求證：【答案】證明見解析【解析】難度：★★證明：是等腰三角形AD是BC邊上中線此題考查了等腰三角形的概念及〞三線合一“的性質，八字模型的運用.難度中.

21.為解決“最后一公里〞的交通接駁問題，北京市投放了大量公租自行車供市民使用.到2023年底，全市已有公租自行車25000輛，租賃600個.預計到2023年底，全市將有公租自行車50000輛，并且平均每個租賃點的公租自行車數量是2023年底平均每個租賃點的公租自行車數量的1.2倍.預計到2023年底，全市將有租賃點多少個？【答案】1000個【解析】難度：★★解：設2023年底，全市將有租賃點x個.根據題意得：解得：x=1000經檢驗：x=1000是原分式方程的解.答：預計到2023年底，全市將有租賃點1000個.此題考查了分式方程的應用，找出題目中蘊含的數量關系，列出方程解出即可.難度中.22.在中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，DF=BE，連接AF，BF.〔1〕求證：四邊形BFDE是矩形；〔2〕假設CF=3，BF=4，DF=5，求證：AF平分.【答案】證明見解析；【解析】難度：★★〔1〕證明：四邊形ABCD是平行四邊形DF∥BEDF=BE四邊形DEBF是平行四邊形DE⊥AB四邊形BFDE是矩形〔2〕證明：四邊形BFDE是矩形在Rt△BFC中，CF=3，BF=4四邊形ABCD是平行四邊形BC=AD=5，DF=5AD=DFAF平分.此題考查了平行四邊形的性質，矩形的判定及性質.等腰三角的定義及性質運用，主要考查了平時所講到的〞角平分線+平行必出等腰的模型.難度中.23.在平面直角坐標系xOy中，直線與雙曲線的一個交點為，與x軸、y軸分別交于點A，B.〔1〕求m的值；〔2〕假設PA=2AB，求k的值.【答案】〔1〕4〔2〕1或3【解析】難度：★★★解：〔1〕P是直線與雙曲線的交點，P在雙曲線上.m=4〔2〕<方法一代入法>由〔1〕知，P〔2,4〕代入直線y=kx+b得：4=2k+bb=4-2k直線交x軸、y軸于A、B兩點，又PA=2ABk=1或k=3k的值為1或3〔2〕<方法二幾何法>此題分情況討論①假設k>0且P、A分別在點B的兩側如圖① 圖①PA=2ABB為PA中點OB為中位線B〔0,2〕4=2k+2k=1②假設k>0且P、B分別在點A的兩側如圖②【解析】難度：★★此題考察了反比例函數和一次函數的根本性質；兩點之間坐標距離公式；分類討論；相似.難度中.此題可用兩種方法解決：第一種可利用兩點之間坐標距離公式計算得出答案，雖然比較好思考，計算量卻很大；第二種利用幾何法畫圖求相似的方法，分類討論一次函數中k的取值范圍畫出不同情況的圖形解決問題.24.如圖，AB是⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線BM，弦CD∥BM，交AB于點F，且弧DA的長度等于弧DC的長度，連接AC，AD，延長AD交BM于點E.〔1〕求證：△ACD是等邊三角形；〔2〕延長OE，假設DE=2，求OE的長.【答案】證明：∵=∴AD=CD∵CD∥BM∴CD⊥AB∵AD=AC∴AD=AC=CD∴△ACD是等邊三角形解：設AD=，那么AE=2+BE=，半徑=∴∴解得=6∴DE=【解析】難度：★此題考察了圓的性質和判定；勾股定理；難度易.25.閱讀下面材料2023年清明小長假，北京市屬公園開展以“清明踏青，春色滿園〞為主題的游園活動，雖然氣溫小幅走低，但游客踏青賞花的熱情很高，市屬公園游客接待量約為190萬人次，其中玉淵潭公園的櫻花，北京植物園的桃花受到了游客的熱捧，兩公園的游客接待量分別為38萬人次、21.75萬人次；頤和園、天壇公園、北海公園因皇家園林的厚重文化底蘊與滿園春色成為游客的重要目的地，游客接待量分別為26萬人次，20萬人次，17.6萬人次；北京動物園游客接待量為18萬人次，熊貓館的游客密集度較高.2023年清明小長假，天氣晴好，北京晴好，北京市屬公園游客接待量約為200萬人次，其中，玉淵潭公園游客接待量比2023年清明小長假增加了25%；頤和園游客接待量為26.2萬人次，比2023年清明小長假增加了4.6萬人次；北京動物園游客接待量為22萬人次.2023年清明小長假，玉淵潭公園、陶然亭公園、北京動物園游客接待量分別為32萬人次、13萬人次、14.9萬人次根據以上材料答復以下問題：〔1〕2023年清明小長假，玉淵潭公園游客接待量為萬人次.選擇統計表或統計圖，將2023－2023年清明小長假玉淵潭公園、頤和園和北京動物園的游客接待量表示出來.【答案】〔1〕40〔2〕年份 公園玉淵潭玉淵潭北京動物園202332〔萬〕21.6〔萬〕14.9〔萬〕202340〔萬〕26.2〔萬〕22〔萬〕202338〔萬〕26〔萬〕18〔萬〕【解析】難度：★★此題考查了學生的閱讀理解及簡單的數據分析，此題與往年考題不同之處在于以往是根據統計圖進行數據分析計算，今年不僅需要簡單的數據分析計算，而且需要學生自己畫出統計表.難度中.

26.有這樣一個問題：探究函數y=x2+的圖象與性質.小東根據學習函數的經驗，對函數y=x2+的圖象與性質進行了探究.下面是小東的探究過程，請補充完整：函數y=x2+自變量x的取值范圍是_________；下表是y與x的幾組對應值，x…-3-2-1--123…y…m…求m的值；如以以下列圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點.根據描出的點.畫出該函數的圖象；進一步探究發現，該函數圖象在第一象限內的最低點的坐標是〔1，〕，結合函數的圖象，寫出該函數的其它性質〔一條即可〕：__________.【答案】〔1〕x≠0〔2〕〔3〕〔4〕該函數與y軸沒有交點；該函數與x軸交點坐標為該函數在y軸左側因變量隨著自變量的增大而減小；y軸右側因變量隨著自變量的增大先減小再增大〔符合圖像的性質均可〕【解析】難度：★★此題考察了學生閱讀材料的能力；函數的根本性質和匯總能力；難度中.此題難點位于描點畫圖的能力，要注意此題函數圖像不可與y軸有交點，但是可以與x軸有交點.

27.在平面直角坐標系xOy中，過點〔0，2〕且平行于x軸的直線，與直線y=x-1交于點A，點A關于直線x=1的對稱點為B，拋物線C1:經過點A、B.〔1〕求點A，B的坐標〔2〕求拋物線C1的表達式及頂點坐標；〔3〕假設拋物線C2：與線段AB恰有一個公共點，結合函數的圖象，求a的取值范圍.備用圖備用圖【答案】〔1〕A(3,2)B(-1,2)〔2〕y=x2-2x-1頂點〔1，-2〕〔3〕【解析】難度：★★此題考查了對數形結合的認識和了解，難度適中.首先必須對根本的函數解析式以及圖像有清晰的認識，進而快速的畫出圖像.①根據交點特征寫出A點坐標，然后根據對稱的性質直接寫出B點坐標.②根據待定系數法快速求出解析式.③的重點在于畫出圖像，分別找出有兩個交點的臨界條件是過B,有一個交點的臨界條件是過點A,進而得出答案在y=ax2剛好過A、B點取值之間.28.在正方形ABCD中，BD是一條對角線.點P在射線CD上〔與點C，D不重合〕，連接AP，平移△ADP，使點D移動到點C，得到△BCQ，過點Q作QH⊥BD于點H，連接AH，PH.〔1〕假設點P在線段CD上，如圖1， ①依題意補全圖1； ②判斷AH與PH的數量關系與位置關系并加以證明；〔2〕假設點P在線段CD的延長線上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的邊長為1，請寫出求DP長的思路〔可以不寫出計算結果〕 備用圖圖1【答案】〔1〕〔2〕∵平移△ADP，使點D移動到點C得到△BCQ∴△ADP≌△BCQ∴DP=CQ∵DC=DP+PCPQ=QC+PC∴DC=PQ∵正方形ABCD∴DA=DC=PQ∵BD是正方形對角線∴∠BDA=∠BDC=45°∵QH⊥BD于點H∴∠HDQ=∠HQD=∠BDA=45°∴HQ=HD在△HAD和△HPQ中∴△HAD≌△HPQ∴HA=HP、∠AHD=∠PHQ∵∠DHP+∠PHQ=90°∴∠DHP+∠AHD=90°∴∠AHP=90°∴HA⊥HP〔3〕∵AHQ=152°,∠AHP=∠DHQ=90°∴∠PHD=360°-∠AHP-∠DHQ=28°∵∠HPD=∠HDQ-∠DHP∴∠HPD=17°∵HA=HP,HA⊥HP∴∠HPA=45°∵∠APD=∠APH+∠HPD∴∠APD=62°∵∠APD+∠PAD=90°∴∠PAD=28°∵，AD=1∴【解析】難度：★★此題考查了平移作圖、旋轉全等和三角形函數，難度適中.今年的幾何壓軸題實際難度相比去年是有所降低的，但是學生的感知難度并不低，主要難點在于兩方面：一、對學生作圖能力的考查，尤其第三問需要學生能精確畫出題中描述的圖形.二、今年出現新穎問法“請寫出求DP長的思路〔可以不寫出計算結果〕〞.這給學生解題帶來了一定干擾，學生在不知道如何使用152度的情況下，還要思考答案究竟該如何表示等問題，問題較為開放，表示方法并不單一.實際上解出答案并不難，關鍵是學生求完了答案不確定對不對.難度中.

29.在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點，點P關于⊙C的反稱點的定義如下：假設在射線CP上存在一點存在，滿足，那么稱為點P關于⊙C的反稱點.以以下列圖為點P關于⊙C的反稱點的示意圖.特別地，在點與圓心C重合時，規定.當⊙O的半徑為1時，=1\*GB3①分別判斷點M〔2,1〕，N〔，