專題4.14相交線與平行線（幾何模型2）（專項練習(xí)）一、單選題1．(2023·河南開封市·九年級二模）如圖，已知BM平分∠ABC，且BMAD，若∠ABC＝70°，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．70°2．(2023·陜西師大附中九年級一模）如圖，點A、C為∠FBE邊上的兩點，AD∥BE，AC平分∠BAD，若∠FAD＝45°，則∠ACE＝（）A．45° B．67.5° C．112.5° D．135°3．(2023·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）在鈍角△ABC中，延長BA到D，AE是∠DAC的平分線，AE//BC，則與∠B相等的角有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．(2023·錫林浩特市第六中學(xué)八年級期中）如圖，在中，平分，平分，經(jīng)過點O，與，相交于點N，M，且，設(shè)，，，則的周長為（）A．18 B．30 C．36 D．425．(2023·石家莊潤德學(xué)校八年級期中）如圖，O是的，的平分線的交點，交BC于點D，交BC于點E．若，則的周長是（）A．16 B．10 C．8 D．以上都不對6．(2023·景縣第二中學(xué)八年級期中）如圖，在中，和的平分線交于點，過點作交于交于，若則線段的長為（）A． B． C． D．二、填空題7．(2023·河南焦作市·九年級其他模擬）如圖，直線分別于直線、相交于點、，平分交直線于點，若，則的度數(shù)為_.8．(2023·福建南平市·七年級期末）如圖，PC∥OA，PD∥OB，∠AOB＝∠CPD，則∠AOB=________°．9．(2023·江蘇鹽城市·八年級期中）如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點G、F，若BE=3，CD=4，ED=5，則FG的長為_________．10．(2023·富順縣趙化中學(xué)校八年級期中）如圖，在△，的平分線交于點，過點作，分別交于點兩點，已知，，則△的周長為______．（用式子表示）11．(2023·余干縣第六中學(xué)八年級月考）如圖，中，，與分別是與的平分線，，．則的周長是__________．

12．(2023·全國八年級）如圖，在中，，，BD平分，CD平分，，且EF過點D，則的周長是________．13．(2023·陜西九年級專題練習(xí)）如圖，AB∥CD，直線EF交AB于點E，交CD于點F，EG平分∠BEF，交CD于點G，∠1=50°，則∠2等于_________三、解答題14．(2023·全國九年級專題練習(xí)）如圖所示，，點為兩條平行線外部一點，為兩條平行線內(nèi)部一點，分別為上兩點，平分，平分，且與互補(bǔ)，求的大小.15．(2023·西安臨潼區(qū)驪山初級中學(xué)八年級月考）如圖①，、分別平分四邊形的外角和，設(shè)，．（1）若，則；（2）若與相交于點，且，求、所滿足的等量關(guān)系式，并說明理由；（3）如圖②，若，試判斷、的位置關(guān)系，并說明理由．16．(2023·河南洛陽市·七年級期末）完成下面的證明．如圖：與互補(bǔ)，，求證：．對于本題小明是這樣證明的，請你將他的證明過程補(bǔ)充完整．證明：與互補(bǔ)，（已知）．．兩直線平行，內(nèi)錯角相等，（已知），（等量代換）即．．內(nèi)錯角相等，兩直線平行．17．(2023·鹽池縣第五中學(xué)七年級期中）如圖，若直線AB，CD被直線EF所截，∠EMB=∠END，且MG平分∠EMB，NP平分∠END，猜想MG與NP是否平行？請說明理由．18．(2023·四川資陽市·七年級期末）閱讀理解：我們知道“三角形三個內(nèi)角的和為180°”，在學(xué)習(xí)平行線的性質(zhì)之后，可以對這一結(jié)論進(jìn)行推理論證．請閱讀下面的推理過程：如圖①，過點A作DEBC∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°∴∠B+∠BAC+∠C=180°即：三角形三個內(nèi)角的和為180°．閱讀反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠BAC、∠B、∠C“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系．方法運(yùn)用：如圖②，已知ABDE，求∠B+∠BCD+∠D的度數(shù)．（提示：過點C作CFAB）深化拓展：如圖③，已知ABCD，點C在點D的右側(cè)，∠ADC=70°，點B在點A的左側(cè)，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直線交于點E，且點E在AB與CD兩條平行線之間，求∠BED的度數(shù)．19．(2023·四川省射洪縣射洪中學(xué)外國語實驗學(xué)校七年級月考）如圖，已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，AD平分∠BAC，求證：∠1=∠E．下面是部分推理過程，請你填空或填寫理由證明：∵AD⊥BC，EG⊥BC

(已知)，∴∠ADC=∠EGC=90°（），∴AD∥EG（），∴∠2=______，()∠3=______(兩直線平行，同位角相等)．又∵AD平分∠BAC（），∴∠2=∠3（），∴∠1=∠E（）20．(2023·全國九年級專題練習(xí)）如圖所示，，為上方一點，分別為上兩點，，，和的角平分線交于點，求的值.21．(2023·全國九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，，，且（1）如圖1，過點作軸于，連結(jié)，求的面積；（2）如圖2，延長交軸于，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，它的延長線交軸負(fù)半軸于點.在第四象限的點，使得軸、軸分別平分、，試求的值.22．(2023·全國九年級專題練習(xí)）（1）如圖，，平分，若，，求的度數(shù)；（2）如圖，，，平分，若的2倍與的補(bǔ)角的和為，求的度數(shù).（3）如圖，為（2）中射線上一點，是上任一點，平分，，平分，求的度數(shù).23．(2023·深圳市福田區(qū)外國語學(xué)校七年級期中）AB∥CD，C在D的右側(cè)，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直線交于點E．∠ADC＝70°．（1）求∠EDC的度數(shù)；（2）若∠ABC＝30°，求∠BED的度數(shù)；（3）將線段BC沿DC方向移動，使得點B在點A的右側(cè)，其他條件不變，若∠ABC＝n°，請直接寫出∠BED的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）．24．(2023·浙江杭州市·七年級期中）直線AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點A、C，CM是的平分線，CM交AB于點N．（1）如圖①，過點A作AC的垂線交CM于點M，若，求的度數(shù)；（2）如圖②，點G是CD上的一點，連接MA、MG，，MC平分．①和滿足怎么樣的數(shù)量關(guān)系時？②若，求的度數(shù)．25．(2023·巨野縣高級中學(xué)七年級月考）如圖，AC∥DE，BD平分∠ABC交AC于F，∠ABC=70°，∠E=50°，求∠D，∠A的度數(shù)．26．(2023·浙江紹興市·七年級月考）如圖，，點在點的右側(cè)，，的平分線交于點（不與，點重合），．設(shè)．（1）若點在點的左側(cè)，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）（2）將（1）中的線段沿方向平移，當(dāng)點移動到點右側(cè)時，請畫出圖形并判斷的度數(shù)是否改變．若改變，請求出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；若不變，請說明理由．27．(2023·重慶渝中區(qū)·七年級期末）如圖，已知AB//CD，直線EF與AB、CD相交于H、F兩點，F(xiàn)G平分∠EFD．（1）若∠AHE=112°，求∠EFG和∠FGB的度數(shù)；（2）若∠AHE=n°，請直接寫出∠EFG和∠FGB的度數(shù)．28．(2023·北京二十中七年級期末）在小學(xué)認(rèn)識三角形的基礎(chǔ)上我們來繼續(xù)學(xué)習(xí)三角形．三角形可用符號“”表示．例：如圖1中的三角形可記作“”；在一個三角形中，如果有兩個角相等，我們新定義這個三角形為等角三角形．（1）如圖1，的角平分線交于D，交于，①請在圖1中依題意補(bǔ)全圖形；②判斷是不是等角三角形；(直接寫出結(jié)論即可)．（2）如圖2，是的角平分線，．判斷是不是等角三角形，并說明理由．（3）如圖3，BM，CM分別是和的角平分線，請過圖中某一點，作一條圖中已有線段的平行線，使圖中出現(xiàn)一個或兩個等角三角形，標(biāo)出字母，并就出現(xiàn)的一個三角形是等角三角形說明理由．29．(2023·全國八年級單元測試）如圖，已知∠AOB，作∠AOB的平分線OC，將直角尺DEMN如圖所示擺放，使EM邊與OB邊重合，頂點D落在OA邊上，DN邊與OC交于點P．（1）猜想DOP是三角形；（2）補(bǔ)全下面證明過程：∵OC平分∠AOB∴＝∵DN∥EM∴＝∴＝∴＝30．(2023·陜西安康市·七年級期末）已知直線，直線EF分別交AB、CD于點A、C，CM是∠ACD的平分線，CM交AB于點H，過點A作AG⊥AC交CM于點G．（1）如圖1，點G在CH的延長線上時，若∠GAB=36°，求∠MCD的度數(shù)；（2）如圖2，點G在CH上時，試說明：2∠MCD+∠GAB=90°．31．(2023·四川省射洪縣射洪中學(xué)外國語實驗學(xué)校七年級月考）如圖，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于點D，∠CDE=160°，求∠C的度數(shù)32．(2023·安徽省安慶市外國語學(xué)校七年級期末）如圖，已知，，點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC，BD分別平分和，分別交射線AM于點C，D．（1）求的度數(shù)（2）當(dāng)點P運(yùn)動時，的比值是否隨之變化？若不變，請求出這個比值；若變化，請找出變化規(guī)律；（3）當(dāng)點P運(yùn)動到某處時，，求此時的度數(shù)．33．(2023·全國九年級專題練習(xí)）如圖，點C、M、N在射線DQ上，點B在射線AP上，且AP∥DQ，∠D=∠ABC=80°，∠1=∠2，AN平分∠DAM．（1）試說明AD∥BC的理由；（2）試求∠CAN的度數(shù)；（3）平移線段BC．①試問∠AMD：∠ACD的值是否發(fā)生變化？若不會，請求出這個比值；若會，請找出相應(yīng)變化規(guī)律；②若在平移過程中存在某種位置，使得∠AND=∠ACB，試求此時∠ACB的度數(shù)．34．(2023·山東濟(jì)寧市·七年級期中）如圖，已知直線l1∥l2，點A、B在直線l1上，點C、D在直線l2上，點C在點D的右側(cè)，∠ADC＝80°，∠ABC＝n°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直線BE、DE交于點E．（1）寫出∠EDC的度數(shù)_____；（2）試求∠BED的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）；（3）將線段BC向右平行移動，其他條件不變，請直接寫出∠BED的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）35．(2023·山東臨沂市·七年級期末）已知射線與直線交于點，平分，于點，．（1）如圖1，若；①求的度數(shù)；②試說明平分．（2）如圖2，設(shè)的度數(shù)為，當(dāng)為多少度時，射線是的三等分線？并說明理由．參考答案1．B【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)，求出∠ABC的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)得到∠A的度數(shù)．【詳解】解：∵BM平分∠ABC，∴∠MBA＝∠ABC＝35°．∵BM∥AD，∴∠A＝∠MBA＝35°．故選：B．【點撥】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】先根據(jù)平角的定義求出∠BAD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠DAC，再利用平行線的性質(zhì)，得到∠ACB的度數(shù)．最后通過平角求出∠ACE．【詳解】解：∵∠FAD＝45°，∴∠BAD＝180°-45°＝135°．∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝＝67.5°．∵AD∥BE，∴∠ACB＝∠DAC＝67.5°．∴∠ACE＝180°-67.5°＝112.5°．故選：C．【點撥】本題考查平行的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是運(yùn)用題目中的條件去求解角的度數(shù)，能夠從角平分線和平行這兩個條件想到圖中存在等腰三角形．3．C【分析】依據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解析：依據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，可知∠B=∠DAE=∠CAE=∠C故選C．【點撥】此題主要考查角平分線的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì)．4．B【分析】先根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定求得、，再由三角形周長公式、線段的和差即可求得結(jié)論．【詳解】解：∵平分，平分∴，∵∴，∴，∴，∵，∴∴的周長為．故選：B【點撥】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定（等角對等邊）、三角形周長公式、線段的和差等知識點，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng)．5．A【分析】根據(jù)題意判斷出和是等腰三角形，再轉(zhuǎn)化的邊長即可．【詳解】平分，，是等腰三角形，，同理可得：是等腰三角形，，，故選：A．【點撥】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，能夠從平行線與角平分線中辨別出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．6．A【分析】由∠ABC、∠ACB的平分線相交于點D，∠MBD=∠DBC，∠DCN=∠DCB，利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等，利用等量代換可∠MBD=∠MDB，∠NDC=∠DCN，然后即可求得結(jié)論．【詳解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點D，∴∠MBD=∠DBC，∠DCN=∠DCB，∵M(jìn)N∥BC，∴∠DBC=∠MDB，∠NDC=∠DCB，∴∠MBD=∠MDB，∠NDC=∠DCN，∴BM=MD，DN=CN，∴MN=MD+DN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=8∴MN=8，故選：A．【點撥】此題考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線性質(zhì)的理解與掌握．此題關(guān)鍵是證明△BME△CNE是等腰三角形．7．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求出的度數(shù)，然后由平行四邊形的判定與性質(zhì)即可得出的度數(shù).【詳解】解：平分又故答案為【點撥】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，靈活應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8．60【分析】根據(jù)PC∥OA得∠AOB=∠PCB，再根據(jù)PD∥OB，得到∠DPC+∠PCB=180°，所以得到∠AOB+∠DPC=180°，再結(jié)合∠AOB＝∠CPD，即可求出∠AOB的度數(shù)．【詳解】解：∵PC∥OA∴∠AOB=∠PCB又∵PD∥OB∴∠DPC+∠PCB=180°∴∠AOB+∠DPC=180°又∠AOB＝∠CPD∴∠CPD=2∠AOB∴3∠AOB=180°∴∠AOB=60°故答案為：60．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．9．2【分析】由題意易得BE=EG，DF=DC，然后由線段的數(shù)量關(guān)系可求解．【詳解】解：∵ED∥BC，∴∠EGB=∠GBC，∵BG平分∠ABC，∴∠ABG=∠GBC，∴∠ABG=∠EGB，∴BE=EG，同理可得DF=DC，∵BE=3，ED=5，∴GD=ED-EG=5-3=2，∴FG=FD-DG=4-2=2；故答案為2．【點撥】本題主要考查角平分線的定義、平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)與判定，數(shù)量掌握角平分線的定義、平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵，這屬于典型的“雙平等腰”模型．10．【分析】根據(jù)題中條件，可得、是等腰三角形，DP=DB，EP=EC，三邊周長就是兩邊AB、AC之和，直接寫出答案即可．【詳解】BP是的角平分線，，，，，DB=DP；CP是的角平分線，，，，，EP=EC；周長=AD+DP+PE+AE，AD+DP=AD+DB=AB=，PE+AE=CE+AE=AC=；周長．故答案為：．【點撥】本題考查平行線性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)及判定，將周長轉(zhuǎn)化為的兩條邊長AB、AC之和是解題關(guān)鍵．11．6【分析】由OB，OC分別是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分線和OD∥AB、OE∥AC可推出BD＝OD，OE＝EC，顯然△ODE的周長即為BC的長度．【詳解】∵OD∥AB，∴∠ABO＝∠BOD，∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBD，∴∠ABO＝∠BOD，∴BD＝OD，則同理可得CE＝OE，∴△ODE的周長＝OD＋DE＋OE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6．故答案為：6．【點撥】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．【分析】利用角平分線的性質(zhì)與平行線結(jié)合證得與均為等腰三角形即可．【詳解】平分，CD平分，，，，，，，，，，的周長．故答案為：8cm．【點撥】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，能夠明確角平分線與平行線結(jié)合，會產(chǎn)生等腰三角形，并運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決問題，是本題考查的核心．13．65°【分析】根據(jù)平行線和角平分線得到等腰三角形進(jìn)行解題.【詳解】∵AB∥CD，∴∠BEG=∠2，又∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠2；又∵AB∥CD，∴∠1+2∠2=180°，∵∠1=50°，∴∠2=65°.故答案為65°.14．.【分析】先設(shè)，，則，，由題意及平行線的性質(zhì)得，，得到，，由于與互補(bǔ)，得到，最終得出【詳解】設(shè)，，則，由側(cè)M圖可知：，由鳥嘴圖可知：，即，，與互補(bǔ).【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設(shè)，，且由題意得到x，y的關(guān)系.15．（1）110；（2），理由見解析；（3），理由見解析【分析】（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和與鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解；（2）連接BD，先得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到角度的關(guān)系即可求解；（3）由（1）有，∠MBC＋∠NDC＝，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，則∠CBE＋∠CDH＝（），∠CBE＋β?∠DHB＝（），根據(jù)＝，則有∠CBE＋?∠DHB＝（＋）＝，得到∠CBE＝∠DHB，故可得到BE∥DF．【詳解】解：（1）∵∠ABC＋∠ADC＝360°?（）＝250°，∴∠MBC＋∠NDC＝180°?∠ABC＋180°?∠ADC＝360°-（∠ABC＋∠ADC）=＝110°．故答案為：110；（2）．理由如下：如解圖①，連接BD，由（1）知，，、分別平分四邊形的外角和，∴，．在△BCD中，∠BDC＋∠CBD＝180°?∠BCD＝180°?，在△BDG中，∠GBD＋∠GDB＋∠BGD＝180°，∴∠CBG＋∠CBD＋∠CDG＋∠BDC＋∠BGD＝180°，∴（∠CBG＋∠CDG）＋（∠BDC＋∠CBD）＋∠BGD＝180°，∴（）＋180°?＋25°＝180°，整理得；（3）．理由如下，如解圖②所示，延長交于點，由（1）、（2）可知，，．，，．，，，．【點撥】此題考查了平行線的性質(zhì)及其判定，多邊形的內(nèi)角和公式，利用多邊形的內(nèi)角和公式倒角為解題關(guān)鍵．16．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；；；；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【分析】已知∠BAP與∠APD互補(bǔ)，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，可得AB∥CD，再根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)及等式相等的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】證明：與互補(bǔ)，（已知）（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），，（已知），即，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．故答案為：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；；；；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【點撥】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)和等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解與運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)．17．MG∥NP，理由見詳解【分析】由∠EMB=∠END，再根據(jù)MG平分∠EMB，NP平分∠END．可得∠EMG=∠ENP，從而得到MG∥NP．【詳解】解：MG∥NP．理由如下：

∵M(jìn)G平分∠EMB，NP平分∠END，

∴∠EMG=∠EMB，∠ENP=∠END，又∵∠EMB=∠END，

∴∠EMG=∠ENP，

∴MG∥NP．【點撥】本題考查了平行線的判定、角平分線的性質(zhì)．此題利用了“同位角相等，兩直線平行”判定圖中的兩組直線相互平行．18．方法運(yùn)用：360°；深度拓展：65°【分析】方法運(yùn)用：過C作CF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論；深化拓展：過點E作EF∥AB，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，再利用角平分線的定義和等量代換即可求∠BED的度數(shù)．【詳解】方法運(yùn)用：解：過點C作CF∥AB∴∠B=∠BCF∵CF∥AB且AB∥DE∴CF∥DE∴∠D=∠DCF∵∠BCD+∠BCF+∠DCF=360°∴∠B+∠BCD+∠D=360°深化拓展：過點E作EF∥AB∴∠BEF=∠ABE又∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°∴∠BEF=∠ABE=∠ABC=30°∵EF∥AB，AB∥CD∴EF∥CD∴∠DEF=∠EDC又∵DE平分∠ADC，∠ADC=70°∴∠DEF=∠EDC=∠ADC=35°∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°【點撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，能夠作出平行線是解題的關(guān)鍵．19．垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；∠1；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；∠E；已知；角平分線的定義；等量代換【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定以及角平分線的定義證明即可．【詳解】證明：∵AD⊥BC，EG⊥BC(已知)，∴∠ADC=∠EGC=90°（垂直的定義），∴ADEG（同位角相等，兩直線平行），∴∠2=，(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∠3=∠E(兩直線平行，同位角相等)．又∵AD平分∠BAC（已知），∴∠2=∠3（角平分線的定義），∴∠1=∠E（等量代換）．【點撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)及判定，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)及判定是解題的關(guān)鍵．20．.【分析】先設(shè)，，由題意可得，，，由，，從而求出x,y；根據(jù)題意得，，從而得到的值.【詳解】設(shè)，，由題意可得，，，由，，解得，；由靴子圖AEGFC知，，由靴子圖AEHFC知，，即，，.【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設(shè)，，由題意得到x，y的關(guān)系式.21．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由絕對值和二次根式的非負(fù)性可求得a和b的值，從而求得點A和點C的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可；（2）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式，由A、B兩點坐標(biāo)求得解析式，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)求得∠ADF=90°，過E作，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求得，進(jìn)一步求解∠DEF即可.【詳解】解：（1）依題意知解得，；（2）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，∵點，，∴，解得，∴直線AB的函數(shù)解析式為：y=-x+4，當(dāng)x=0時，y=4；當(dāng)y=0時，x=4，∴點D、點G的坐標(biāo)分別為（4,0）、（0,4），等腰直角三角形，，又∵軸平分，.過E作，如圖所示：，，，,于是由“同”型圖結(jié)論得.【點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、一次函數(shù)解析式、絕對值和二次根式的非負(fù)性等知識點，根據(jù)題意求出點A和點C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.22．（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由兩直線平行同位角相等和三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和來證明即可；（2）設(shè)∠ABF=x，∠DCF=y，先由角平分線的性質(zhì)可得∠EBF=2x，∠ECF=y，然后再由兩直線平行的性質(zhì)及三角形的外角的性質(zhì)和已知條件來求解即可；（3）設(shè)∠BPQ=x，∠MGN=y，由角平分線的性質(zhì)可得∠QPG=∠NGP=x，∠DGM=x+y，再由平行線的性質(zhì)可求得∠MGN.【詳解】解：（1）∵AB∥CD，∴，，，；（2）設(shè)，，∴，，∵AB∥CD，∴，即，①，由鳥嘴圖DVFBA知，，即，②，由已知得③，將①、②代入③得，∴；（3）設(shè)，，∴，，由鳥嘴圖知得，，即.【點撥】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.23．（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)角平分線定義即可得到答案；（2）過點作，然后根據(jù)角平分線的定義、平行線的判定和性質(zhì)以及角的和差進(jìn)行推導(dǎo)即可得解；（3）過點作，然后根據(jù)角平分線的定義、平行線的判定和性質(zhì)以及角的和差進(jìn)行推導(dǎo)即可得解．【詳解】解：（1）∵平分，∴；（2）過點作，如圖：∵平分，；平分，∴，∵，∴∴，∴；（3）過點作，如圖：∵平分，；平分，∴，∵，∴∴，∴．故答案是：（1）（2）（3）【點撥】本題考查了角平分線的定義、平行線的判定和性質(zhì)以及角的和差，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，要求同學(xué)們掌握平行線的性質(zhì)，難度中等．24．（1）20°；（2）①當(dāng)＋=180°時，；②108°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠ACD，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EAB=∠ACD=110°，然后根據(jù)垂直的定義求出∠MAE=90°，即可求出結(jié)論；（2）①當(dāng)＋=180°時，根據(jù)平行線的性質(zhì)可推出∠AMG＋∠ACD=180°，然后根據(jù)角平分線的定義可得出∠ACM＋∠AMC=90°，利用三角形的內(nèi)角和即可求出∠MAC=90°，從而得出；②設(shè)∠ACD=x，根據(jù)角平分線的定義可得∠GCM==，∠GMC==18°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EAB=∠ACD=x，從而得出∠MGD=180°－x，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)列出方程即可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵CM是的平分線，∴∠ACD=2∠MCD=110°∵AB∥CD，∴∠EAB=∠ACD=110°∵M(jìn)A⊥AC∴∠MAE=90°∴∠MAN=∠EAB－∠MAE=20°（2）①當(dāng)＋=180°時，∵AB∥CD，∴∠EAB=∠ACD∴∠AMG＋∠ACD=180°∵CM是的平分線，MC平分∴∠ACM=，∠AMC=∴∠ACM＋∠AMC=＋==90°∴∠MAC=180°－（∠ACM＋∠AMC）=90°∴；②設(shè)∠ACD=x∵CM是的平分線，MC平分，∴∠GCM==，∠GMC==18°∵AB∥CD，∴∠EAB=∠ACD=x∵∴∠MGD=180°－x∵∠MGD=∠GCM＋∠GMC即180－x=＋18解得：x=108即∠ACD=108°【點撥】此題考查的是平行線的性質(zhì)、垂直的定義、三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)、垂直的定義、三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．25．【分析】根據(jù)BD平分∠ABC，∠ABC=70°得出,再根據(jù)得出,從而計算．【詳解】∵根據(jù)BD平分∠ABC交AC于F，∠ABC=70°∴又∵∴∴∴綜上所述：【點撥】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化相關(guān)的角度是解題關(guān)鍵．26．（1）；（2）的度數(shù)改變，度數(shù)為【分析】（1）過點E作，根據(jù)平行線性質(zhì)推出∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，根據(jù)角平分線定義得出，∠CDE=∠ADC=35°，求出∠BEF的度數(shù)，進(jìn)而可求出∠ABC的度數(shù)；（2）過點E作，根據(jù)角平分線定義得出，∠CDE=∠ADC=35°，根據(jù)平行線性質(zhì)得出即可．【詳解】（1）如圖1，過點作．∵，∴，∴，．∵平分，平分，，∴，．∵，∴，∴．（2）的度數(shù)改變．畫出的圖形如圖2，過點作．∵平分，平分，，∴，．∵，∴，∴，．∵，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了平行線性質(zhì)和角平分線定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．27．（1）∠EFG=34°，∠FGB=146°；（2）∠EFG=90°n°；∠FGB=90°+n°【分析】（1）由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)計算∠1=68°，根據(jù)AB∥CD得∠1=∠EFD，∠FGB+∠DFG=180°，角平分線的定義得∠EFG=34°，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得∠FGB=146°；

（2）根據(jù)同樣的方法計算出∠EFG=90°n°；∠FGB=90°+n°．【詳解】解：如圖所示：

（1）∵∠1+∠AHE=180°，∠AHE=112°，

∴∠1=68°，

又∵AB∥CD，

∴∠1=∠EFD，∠FGB+∠DFG=180°

∴∠EFD=68°，

又∵FG平分∠EFD，

∴∠EFG=∠DFG=∠EFD=34°，

∴∠FGB=146°；

（2）若∠AHE=n°時，

由（1）同理可得：

∠EFG=90°n°；

∠FGB=90°+n°【點撥】本題綜合考查了平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，角平分線的定義等相關(guān)知識，重點掌握平行線的性質(zhì)，難點是運(yùn)用從特殊到一般的數(shù)學(xué)歸納方法．28．（1）①見解析；②△EBD是等角三角形；（2）△ABC是等角三角形，理由見解析；（3）見解析【分析】（1）①根據(jù)題意畫出圖形即可；②根據(jù)角平分線定義可得∠ABD＝∠DBC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDB＝∠DBC，進(jìn)而可得∠EBD＝∠EDB，從而可得△EBD是等角三角形；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠B，∠2＝∠C，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠1＝∠2，進(jìn)而可得結(jié)論；（3）過點M作GH∥BC，交AB于點G，交AC于點H，利用平行線的性質(zhì)和角平分線定義解答即可．【詳解】解：（1）①補(bǔ)全圖形如圖4所示．②△EBD是等角三角形．理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴△EBD是等角三角形；（2）△ABC是等角三角形．理由如下：如圖5，∵AF∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，∵AF是∠GAC的角平分線，∴∠1＝∠2，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等角三角形．（3）過點M作GH∥BC，交AB于點G，交AC于點H，如圖6，出現(xiàn)兩個等角三角形分別是：△GBM和△HMC．下面說明△GBM是等角三角形．理由：∵GH∥BC，∴∠1＝∠2，∵BM是∠ABC角平分線，∴∠GBM＝∠2，∴∠1＝∠GBM，所以△GBM是等角三角形．【點撥】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，正確理解題意、熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．29．等腰，∠DOP，∠BOP，∠DPO，∠BOP，∠DOP，∠DPO，OD，PD，見解析【分析】（1）三角形的種類有多種，從邊和角的關(guān)系上看常見的有：等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、觀察此三角形即可大體猜想出三角形的類型；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，求得∠DOP＝∠DPO，即可判斷三角形的形狀．【詳解】解：（1）我們猜想△DOP是等腰三角形；（2）補(bǔ)全下面證明過程：∵OC平分∠AOB，∴∠DOP＝∠BOP，∵DN∥EM，∴∠DPO＝∠BOP，∴∠DOP＝∠DPO，∴OD＝PD．故答案為：等腰，∠DOP，∠BOP，∠DPO，∠BOP，∠DOP，∠DPO，OD，PD．【點撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及等腰三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)定理，找到相等的角．30．（1）63°；（2）見解析【分析】（1）依據(jù)AG⊥AC，∠GAB=36°，可得∠CAH的度數(shù)，依據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)，即可得到∠MCD的度數(shù)；

（2）結(jié)合（1）得ACD+∠CAH=180°，再依據(jù)角平分線的定義，即可得2∠MCD+∠GAB=90°．【詳解】（1）∵AG⊥AC，∠GAB=36°，

∴∠CAH=90°-36°=54°，

∵AB∥CD，

∴∠ACD+∠CAH=180°，

∴∠ACD=126°，

∵CM是∠ACD的平分線，

∴∠ACH=∠DCM=63°；

（2）∵∠ACH=∠DCM，

∴∠ACD=2∠MCD，

由（1）得ACD+∠CAH=180°，

∵AG⊥AC，

∴∠CAG=90°，

∴2∠MCD+90°+∠GAB=180°，

∴2∠MCD+∠GAB=90°．【點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，角平分線的定義，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解決問題的關(guān)鍵．31．140°【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠CDB的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義得出∠ADB及∠ABC的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)可得出∠C的度數(shù)．【詳解】解：∵∠CDE=160°，∴∠CDB=180°-∠CDE=180°-160°=20°，∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB=20°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD=2×20°=40°，∴∠C=180°-∠ABC=180°-40°=140°．【點撥】本題考查的是平行線的性質(zhì)、角平分線的定義及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，熟知平行線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．32．（1）60°；（2）不變，∠APB：∠ADB=2：1；（3）30°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義只要證明∠CBD=∠ABN即可；（2）不變．可以證明∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN=∠PBN．

（3）想辦法證明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN即可解決問題；【詳解】解：（1）∵AM∥BN，

∴∠ABN=180°-∠A=120°，

又∵BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，

∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=（∠ABP+∠PBN）=∠ABN=60°，（2）不變．理由如下：

∵AM∥BN，

∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，

又∵BD平分∠PBN，

∴∠ADB=∠DBN=∠PBN=∠APB，∴∠APB：∠ADB=2：1．（3）∵AM∥BN，

∴∠ACB=∠CBN，

又∵∠ACB=∠ABD，

∴∠CBN=∠ABD，

∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN，

∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，

∴∠ABC=∠ABN=30°，【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．33．（1）見解析；(2)∠CAN＝50°；(3)①不會,∠AMD：∠ACD＝2；②∠ACB＝75°．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和判定即可得到結(jié)論；（2）由角平分線的定義和角的和差可以得到結(jié)論；（3）①不會．根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②由平行線的性質(zhì)和∠AND＝∠ACB，得到∠NAB＝∠DAC，進(jìn)而得到∠1＝∠DAN，即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AP∥DQ，∴∠D＋∠DAB＝180°．∵∠D＝80°，∴∠DAB＝100°．∵∠ABC＝80°，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC．（2）∵AN平分∠DAM，∴∠NAM＝∠NAD＝∠DAM．∵∠1＝∠2，∴∠CAM＝∠BAM．∴∠NAM＋∠CAM＝∠DAM＋∠BAM，即：∠CAN＝∠DAB∵∠DAB＝100°，∴∠CAN＝50°．（3）①不會．∵AP∥DQ，∴∠AMD＝∠MAB＝2∠1，∠ACD＝∠1，∴∠AMD：∠ACD＝2．②∵AP∥DQ，AD∥BC，∴∠AND＝∠NAB，∠ACB＝∠DAC．∵∠AND＝∠ACB，∴∠NAB＝∠DAC，∴∠NAB－∠NAC＝∠DAC－∠NAC，即：∠1＝∠DAN，∴∠1＝∠2＝∠DAN＝∠MAN＝25°，∴∠ACB＝∠DAC＝75°．【點撥】靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定是解答本題的關(guān)鍵．34．（1）40°；（2）∠BED＝n°+40°；（3）∠BED的度數(shù)變化，度數(shù)為n°+40°或220°﹣n°或n°﹣40°．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，即可得到；

（2）過點作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，，根據(jù)角平分線的定義求出，，然后求解即可；

（3）過點作，然后分類討論：①點在點的左邊，根據(jù)角平分線的定義求出，，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，，然后求解；②點在點的右邊時，根據(jù)角平分線的定義求出，，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出，然后求解即可．【詳解】解：（1）∵平分，，∴，故答案為：；（2）如圖1：過點作，∵，∴，∴，，∵平分，平分，，，∴，，∴；（