第二節(jié)與圓有關(guān)的位置關(guān)系第六章圓

（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；（2）直線與圓的位置關(guān)系；（3）切線的性質(zhì)與判定；（4）三角形的外心與內(nèi)心.從安徽省近幾年的中考試卷看，與本節(jié)有關(guān)的命題常常是切線的性質(zhì)與圓的基本性質(zhì)綜合考查，命題的題型有選擇題、填空題和解答題，考試的難度中等及以下.從近幾年的考查來(lái)看，直線與圓的位置關(guān)系，三角形的外心和內(nèi)心要求較易，切線的概念和切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑的關(guān)系（切線的性質(zhì)）要求較高，預(yù)測(cè)對(duì)這部分知識(shí)的考查著力點(diǎn)還是放在切線的概念和切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑的關(guān)系上.呈·真題呈面前

切線的性質(zhì)與判定

1.（2018·安徽）如圖，菱形ABOC的邊AB，AC分別與☉O相切于點(diǎn)D，E.若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則∠DOE＝

60°

?.

60°

2.（2020·安徽）如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓O上不同于A，B的兩點(diǎn)，AD＝BC，AC與BD相交于點(diǎn)F

，BE是半圓O所在圓的切線，與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.（1）求證：△CBA≌△DAB；【解答】（1）證明：∵AB為半圓O的直徑，

∴∠ACB＝∠BDA＝90°，

在Rt△CBA和Rt△DAB中，∵BC＝AD，BA＝AB，∴Rt△CBA≌Rt△DAB.（2）若BE＝BF，求證：AC平分∠DAB.【解答】（2）證明：方法一：∵BE＝BF.又由（1）知BC⊥EF

，∴BC平分∠EBF，

∵AB為半圓O的直徑，BE為切線，∴BE⊥AB，∴∠DAC＝∠DBC＝∠CBE＝90°－∠E＝

∠CAB

，故AC平分∠DAB.

方法二：∵BE＝BF，∴∠E＝∠BFE，

∵AB為半圓O的直徑，BE為切線，∴BE⊥AB，∴∠CAB＝90°－∠E＝90°－∠BFE＝90°－∠AFD＝∠CAD，故AC平分∠DAB.3.（2022·安徽）已知AB為☉O的直徑，C為☉O上一點(diǎn)，D為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD.（1）如圖1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的長(zhǎng)；

（2）如圖2，若DC與☉O相切，E為OA上一點(diǎn)，且∠ACD＝∠ACE.求證：CE⊥AB.【解答】（2）∵DC與☉O相切，∴OC⊥CD，即∠ACD＋∠OCA＝90°，

∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，

∵∠ACD＝∠ACE，

∴∠OAC＋∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，即CE⊥AB.

三角形的外接圓與內(nèi)切圓

5.（2017·安徽）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AD交△ABC的外接圓☉O于點(diǎn)E，連接AE.（1）求證：四邊形AECD為平行四邊形；【解答】證明：（1）由圓周角定理得，∠B＝∠E，又∠B＝∠D，∴∠E＝∠D，

∵CE∥AD，∴∠D＋∠ECD＝180°，

∴∠E＋∠ECD＝180°，

∴AE∥CD，∴四邊形AECD為平行四邊形；（2）連接CO，求證：CO平分∠BCE.【解答】證明：（2）作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，

∵四邊形AECD為平行四邊形，

∴AD＝CE，又AD＝BC，∴CE＝CB，

∴OM＝ON，又OM⊥BC，ON⊥CE，

∴CO平分∠BCE.

【解答】證明：（2）作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，∵四邊形AECD為平行四邊形，∴AD＝CE，又AD＝BC，∴CE＝CB，∴OM＝ON，又OM⊥BC，ON⊥CE，∴CO平分∠BCE.理·梳理知識(shí)點(diǎn)

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系示意圖數(shù)量關(guān)系點(diǎn)A在圓內(nèi)

d表示點(diǎn)到圓心O的距離，r表示☉O的半徑

d＜r

d＝r點(diǎn)B在圓上

d＞r點(diǎn)C在圓外d＜rd＝rd＞r

直線與圓的位置關(guān)系

1.設(shè)☉O的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則直線與圓的位置關(guān)系如下表所示：位置關(guān)系相離相切相交示意圖d與r的關(guān)系d＞rd＝rd＜r直線與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)012d＞rd＝rd＜r012①直線與圓相交時(shí)，這條直線叫做圓的割線，公共點(diǎn)叫做直線與圓的交點(diǎn).②直線與圓相切時(shí)，這條直線叫做圓的

切線?，唯一的公共點(diǎn)叫做

切點(diǎn)?.

切線切點(diǎn)2.相關(guān)概念：

切線的性質(zhì)與判定

1.切線的性質(zhì)：圓的切線

垂直于?過(guò)切點(diǎn)的半徑.

2.切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.【點(diǎn)睛】（1）遇到切線，通常連接過(guò)切點(diǎn)的半徑；（2）證明切線的方法是：①“連半徑，證垂直”，即已知直線與圓有公共點(diǎn)，連接過(guò)公共點(diǎn)的半徑，證明這條半徑垂直于直線；②“作垂直，證半徑”，即已知直線與圓的公共點(diǎn)位置，過(guò)圓心作這條直線的垂線段，證明這條垂線段是圓的半徑.垂直于3.切線長(zhǎng)及切線長(zhǎng)定理①經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)與切點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).②切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)

相等?，并且這一點(diǎn)與圓心的連線平分兩切線的夾角.

相等

三角形的外接圓與內(nèi)切圓

名稱三角形的外接圓三角形的內(nèi)切圓描述經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓與三角形各邊都相切的圓圖形圓心名稱外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)內(nèi)心：三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)性質(zhì)三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等

講·名師講典例

?典例1

（切線的性質(zhì)）如圖，已知AB是☉O的直徑，BC是☉O的切線，連接OC與☉O相交于點(diǎn)D，過(guò)B點(diǎn)作BE⊥OD，垂足為E，連接AD.（1）當(dāng)點(diǎn)E為OD的中點(diǎn)時(shí)，求證：BC＝AD；【解答】（1）證明：如圖，連接BD，∵BE⊥OD，點(diǎn)E為OD的中點(diǎn)，OB＝OD，∴△OBD為等邊三角形，∴∠DOB＝∠DBO＝∠ODB＝60°，∵AB為☉O的直徑，BC為☉O的切線，∴∠ADB＝∠OBC＝90°，∠A＝30°＝∠C，∴△ADB≌△CBO，∴AD＝CB；

【解答】（2）設(shè)OE＝x，而DE＝2，∴OA＝OB＝OD＝x＋2，

意，舍去），∴AB＝2x＋4＝10.

已知切線，通常連接過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用過(guò)切點(diǎn)的半徑與切線的垂直關(guān)系，證明推理，或利用勾股定理、相似進(jìn)行計(jì)算.

1.（2022·眉山）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA，PB分別相切于點(diǎn)A，B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB＝28°，則∠APB的度數(shù)為（

C

）A.28°B.50°C.56°D.62°C

3

【解答】（1）連接AD，OD，∵DE與☉O相切于點(diǎn)D，∴∠EDO＝90°，∵AB為☉O的直徑，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵E是AC的中點(diǎn)，∴EA＝ED，∴∠EDA＝∠EAD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠EDO＝∠EAO＝90°，∴AB⊥AC；3.如圖，AB為☉O的直徑，BC交☉O于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，DE與☉O相切于點(diǎn)D，ED與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.（1）求證：AB⊥AC；（2）求證：AB·DF＝AC·BF.【解答】（2）∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∴∠C＝∠BAD，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，

∴AB∶AC＝BD∶AD，∵∠FDB＋∠BDO＝∠BDO＋∠ADO＝90°，

∴∠FDB＝∠ADO＝∠OAD，

∵∠F＝∠F，∴△FDB∽△FAD，

∴DB∶AD＝BF∶DF，∴AB∶AC＝BF∶DF，

∴AB·DF＝AC·BF.

?典例2

（切線的判定）（2022·濱州）如圖，已知AC為☉O的直徑，直線PA與☉O相切于點(diǎn)A，直線PD經(jīng)過(guò)☉O上的點(diǎn)B且∠CBD＝∠CAB，連接OP交AB于點(diǎn)M.求證：PD是☉O的切線.【解答】證明：連接OB，如圖所示，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵AC是☉O的直徑，∴∠CBA＝90°，∴∠CAB＋∠OCB＝90°，∵∠CBD＝∠CAB，∴∠CBD＋∠OBC＝90°，∴∠OBD＝90°，∵OB是☉O的半徑，∴PD是☉O的切線.

證明某直線是圓的切線時(shí)，一般作輔助線的方法：若已知直線與圓有公共點(diǎn)，連接過(guò)公共點(diǎn)的半徑，證明這條半徑與直線垂直；若已知直線與圓沒(méi)有給出公共點(diǎn)，過(guò)圓心作直線的垂線段，證明垂線段是圓的半徑.

4.（2022·衡陽(yáng)）如圖，AB為☉O的直徑，過(guò)圓上一點(diǎn)D作☉O的切線CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)O作OE∥AD交CD于點(diǎn)E，連接BE.（1）直線BE與☉O相切嗎？并說(shuō)明理由；【解答】（1）直線BE與☉O相切，理由：連接OD，∵CD與☉O相切于點(diǎn)D，∴∠ODE＝90°，∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，

∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠DOE＝∠EOB，

∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE（SAS），∴∠OBE＝∠ODE＝90°，

∵OB是☉O的半徑，∴直線BE與☉O相切；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的長(zhǎng).【解答】（2）設(shè)☉O的半徑為r，在Rt△ODC中，OD2＋DC2＝OC2，∴r2＋42＝（r＋2）2，

∴r＝3，∴AB＝2r＝6，∴BC＝AC＋AB＝2＋6＝8，

由（1）得：△DOE≌△BOE，∴DE＝BE，在Rt△BCE中，BC2＋BE2＝CE2，

∴82＋BE2＝（4＋DE）2，∴64＋DE2＝（4＋DE）2，解得DE＝6，∴DE的長(zhǎng)為6.

【解答】（2）設(shè)☉O的半徑為r，在Rt△ODC中，OD2＋DC2＝OC2，∴r2＋42＝（r＋2）2，∴r＝3，∴AB＝2r＝6，∴BC＝AC＋AB＝2＋6＝8，由（1）得：△DOE≌△BOE，∴DE＝BE，在Rt△BCE中，BC2＋BE2＝CE2，∴82＋BE2＝（4＋DE）2，∴64＋DE2＝（4＋DE）2