山東省青島市市內四區聯考2023年中考數學一模試卷(解析版)

一.選擇題(本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分)

1.絕對值為』的數是(

5

1

5

2.下列圖形中,既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的有幾個(

A.4個B.3個C.2個D.1個

3.Iphone?5系列蘋果手機預計于2023年9月份上市中國大陸，其內部的A16芯片加入光

線追蹤功能，將寬度壓縮到0.000000005米，將數字0.000000005米用科學記數法表示為

()

A.-5X1()9米B.-0.5Xl()8米c.0.5X108米口.5義1。9米

4.如圖所示的幾何體的左視圖為()

5.如圖，ZVlBC的頂點坐標分別為A(4,6)、B(5,2)、C(2,1),如果將aABC繞點

8按順時針方向旋轉90°,得到BC,將BC向下平移2個單位，得△{'

B'C",那么點C的對應點C”的坐標是()

A.(3,2)B.(3,3)C.(4,3)D.(4,2)

6.如圖，四邊形ABC。內接于連接對角線4C與8。交于點E,且8。為。。的直徑,

已知NBoC=40°，ZAEB=IlO0,則NABC=()

7.如圖，已知正方形ABCD邊長是6,點尸是線段8C上一動點，過點。作。ELAP于點

E.連接EC,若CE=CD,則ACDE的面積是()

8.二次函數y=0x2+?r+c(a≠0)的圖象如圖所示，則一次函數y=αχ-26(a≠0)與反比

例函數y=￡(CWO)在同一平面直角坐標系中的圖象大致是()

X

二、填空題（本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分）

9.計算，倔盧?仕V2=

√2,2，

10.已知關于X方程（m-1）x2-√而χ[=°的有兩個實數根，則〃，的取值范圍是

11.2021年6月17日，中國第7艘載人航天飛船“神舟12號”圓滿發射成功，激勵更多

的年輕人投身航天事業.現有甲、乙兩名學員要進行招飛前的考核，按照4：3：2：1的

比例確定成績，甲、乙兩人成績（百分制）如表：

候選人心理素質身體素質科學頭腦應變能力

甲86858890

乙90828190

選擇1名學員，最后應選.

12.如圖，在等腰aABC中，AB=AC,NBAC=44°.NBAC的平分線與AB的中垂線交

于點。，點C沿EF折疊后與點。重合，則/CEF的度數是度.

13.如圖所示，NAOB=90°,OA=OB=4,將扇形OAB繞邊OB的中點。順時針旋轉90°

得到扇形0‘A'B',弧Ab交OA于點E,則圖中陰影部分的面積為.

14.如圖，正方形ABC。中，40=12,點E是對角線8。上一點，連接AE,過點E作E尸

VAE,交BC于點F,連接AF,交BD于點G,將aEFG沿EF翻折，得到AEFM,連

接AM,交EF于點M若點尸是BC邊的中點，下列說法正確的是.（填序號）

Φ?AGD^>?FGB;

②NEFG=NABD=45°；

③AM=Io&；

④SAE4M=匹.

三、作圖題（本題滿分4分）

15.（4分）已知：NAOB和線段”.求作：OP,使它與NAOB的兩邊相切，半徑等于線段

a.

A

a/

OB

四、解答題（本題滿分74分，共有9道小題）

2

16.（8分）（1）計算：（?^--X+2x）÷×∑±.

X+2X2+4X+4x+2

'2x+5<3（x+2）

（2）解不等式組：ι+3x/,并求出不等式組的非負整數解.

17.（6分）由于疫情爆發，小王家所在的小區被管控，規定每兩日每戶可派一人出小區購

買生活必需品.小王和爸爸用如圖所示的兩個轉盤做游戲，游戲規則如下：分別旋轉兩

個轉盤，將A盤轉出的數字作為被減數，8盤轉出的數字作為減數；如果差為負數，爸

爸出小區購買生活必需品；若差為正數，小王出小區購買生活必需品.這個游戲對雙方

公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明你的理由.

18.（6分）為了解我校學生每天的睡眠時間（單位：小時），隨機調查了我校的部分學生，

根據調查結果，繪制出如圖統計圖.若我校共有IO（X）名學生，請根據相關信息，解答下

列問題：

(1)本次接受調查的學生人數為人，扇形統計圖中的機=；

(2)請補全條形統計圖；

(3)求所調查的學生每天睡眠時間的方差；

(4)若睡眠時間超過7小時及以上在白天才能達到良好的學習效果，估計我校學生每天

睡眠時間不足的人數.

19.(6分)如圖，某電影院的觀眾席成“階梯狀”，每一級臺階的水平寬度都為Im,垂直

高度都為0.3在測得在C點的仰角NACE=42°,測得在。點的仰角NAOF=35°.求

銀幕AB的高度.(參考數據：sin35°=O.57,cos35o≈?0.82,tan35α≡≡≈0.7,sin42o≈?

0.67,cos42°?=0.74,tan42og0.9)

20.(6分)如圖，直線>=-1+〃?與X軸，y軸分別交于點3、A兩點，與雙曲線相交于C、

3

。兩點，過C作CE,X軸于點E,已知。B=3,OE=

(1)求直線AB和雙曲線的表達式；

(2)設點下是X軸上一點，使得SACEF=2SZXCOB,求點尸的坐標.

21.(6分)(1)問題提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積.

問題探究：為了解決上述問題，我們先由特殊到一般來進行探究.

探究一：如圖1,在BC中，NABC=90°,AC=b,BC=a,NC=Na,求aABC

的面積.

在RtzM8C中，NABC=90°,

sinα=-?5.

AC

ΛAB=??sinα.

二SAABC=LBC?AB=LZ?6Sina.

22

探究二：如圖2,ΔAfiCψ,AB=AC=6,BC=a,NB=Na,求AABC的面積（用含a、

b、a代數式表示），寫出探究過程.

探究三：如圖3,Z?A8C中，AB=h,BC=a,ZB=Za,求aABC的面積（用a、b、a

表示）寫出探究過程.

問題解決：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：（用文字敘

述）.

問題應用：如圖4,已知平行四邊形ABC。中，AB=b,BC=a,NB=a,求平行四邊形

ABCO的面積（用心b、a表示）寫出解題過程.

問題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結論直接寫出任意四邊形的面積（用心b.c、

d、ct、β表示），其中AB=b,BC=c,CD=d,AD=a,ZA=a,ZC=β.

22.（8分）為了改善湘西北地區的交通，我省正在修建長（沙）-益（陽）-常（德）高

鐵，其中長益段將于2021年底建成.開通后的長益高鐵比現在運行的長益城際鐵路全長

縮短了40千米，運行時間為16分鐘；現乘坐某次長益城際列車全程需要60分鐘，平均

速度是開通后的高鐵的」W?

30

（1）求長益段高鐵與長益城際鐵路全長各為多少千米？

（2）甲、乙兩個工程隊同時對長益段高鐵全線某個配套項目進行施工，每天對其施工的

長度比為7：9,計劃40天完成；施工5天后，工程指揮部要求甲工程隊提高工效，以確

保整個工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程隊后期每天至少施工多少千米？

23.（8分）已知：如圖，在直角梯形ABC。中，NABC=90°,AD∕∕BC,OE_LAC于點凡

交BC于點G,交AB的延長線于點E,且AE=4C.

（1）求證：AB—AF；

（2）若∕AC8=30°,連接AG,判斷四邊形AGS是什么特殊的四邊形？并證明你的

結論.

24.（10分）青島方特夢幻王國位于美麗的山東省青島市紅島海濱，由深圳華強集團投資興

建.火流星是其經典項目之一.如圖所示，FfE-G為火流星過山車的一部分軌道，它

可以看成一段拋物線.其期OE=至米，OF=2型米（軌道厚度忽略不計）.

816

（1）求拋物線FfEfG的函數關系式；

（2）在軌道距離地面5米處有兩個位置P和G,當過山車運動到G處時，平行于地面

向前運動了至米至K點，又進入下坡段K-H（K接口處軌道忽略不計）.已知軌道拋物

8

線KfHf。的形狀與拋物線PfE-G完全相同，在G到。的運動過程中，求。”的距

離；

（3）現需要在軌道下坡段FfE進行一種安全加固，建造某種材料的水平和豎直支架AM、

CM.BN、OM旦要求OA=AB.已知這種材料的價格是80000元/米，如何設計支架，

會使造價最低？最低造價為多少元？

y

25.(10分)如圖，在△?!￡：￡>中，AD=IOcm,ZAfD=90o,延長AE到點B,使DE=EB

=8cm,過點B作C8LAB,CB=Ictn,連接CQ；點N從點A出發，沿AO方向勻速運

動，速度為ICTO/S；過點N作NFLAE,以DE和EF為鄰邊作矩形DEFG,點、M與點N

同時出發，點例從點B沿84方向勻速運動，速度為ItTn∕s,連接例MMD,MC,設運

動時間為f(S)(0<Z<8).解答下列問題：

(1)當EQ垂直平分MF時，求/的值；

(2)設四邊形MNGO的面積為S(α"2),求S與/的函數關系式(0<∕<8);

(3)當點M在NfW尸的角平分線上時，求，的值；

(4)連接AC,在運動過程中，是否存在某一時刻/,使直線MN過線段AC的中點0?

若存在，求出■的值；若不存在，請說明理由.

參考答案與試題解析

一.選擇題（本題滿分24分,共有8道小題，每小題3分）

1.絕對值為工的數是（）

5

A.5B.?C.-?D.±A

555

【分析】根據絕對值的意義求解.

【解答】解：士工的絕對值是工，

55

即絕對值為工的數是土工.

55

故選：D.

【點評】本題考查了絕對值：數軸上某個數與原點的距離叫做這個數的絕對值.互為相

反數的兩個數絕對值相等；絕對值等于一個正數的數有兩個，絕對值等于O的數有一個,

沒有絕對值等于負數的數.

2.下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的有幾個（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：第一個圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；

第二個圖形是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；

第三個圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；

第四個圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；

既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的有1個，

故選：D.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找

對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩

部分重合.

3.加力。wel5系列蘋果手機預計于2023年9月份上市中國大陸，其內部的A16芯片加入光

線追蹤功能，將寬度壓縮到0.000000005米，將數字0.000000005米用科學記數法表示為

()

A.-5Xlθ9米B.-O.5X，米C.O.5X1(T8米D.5X1(∕9米

【分析】科學記數法的表示形式為“χio”的形式，其中ι<ια<∣o,〃為整數.確定〃

的值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，”的絕對值與小數點移動的位數相

同.當原數絕對值》10時，”是正數；當原數的絕對值<1時，"是負數.

【解答】解:0.000000005米=5義10”米.

故選：D.

【點評】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為“X10”的形式，其

中IWla<10,〃為整數，表示時關鍵要正確確定α的值以及〃的值.

4.如圖所示的兒何體的左視圖為()

【分析】根據從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案.

【解答】解：從左邊看，幾何體的左視圖為長方形，下側有一條虛線.

故選：A.

【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖.

5.如圖，Z?ABC的頂點坐標分別為A(4,6)、B(5,2)、C(2,1),如果將AABC繞點

8按順時針方向旋轉90°,得到△?!'BC,將△/!'BC'向下平移2個單位，得△〃'

B'C",那么點C的對應點C”的坐標是()

A.(3,2)B.(3,3)C.(4,3)D.(4,2)

【分析】分別利用旋轉變換，平移變換的性質畫出圖形可得結論.

【解答】解：如圖，

二點C繞點B順時針旋轉90°得到C'(4,5),再向下平移2個單位得到C"(4,3),

故選：C.

【點評】本題考查坐標與圖形變化-旋轉，平移等知識，解題的關鍵是熟練掌握旋轉變

換，平移變換的性質，屬于中考常考題型.

6.如圖，四邊形ABC。內接于G)O,連接對角線AC與8。交于點E,且8。為G)。的直徑,

已知∕BDC=40°,ZAEfi=IlOo，則/ABC=()

C.75°D.80°

【分析】根據圓周角定理得到NBCD=90°,根據直角三角形的性質求出/QBC,計算

即可.

【解答】解：：8。為。。的直徑，

ΛZBCD=90o,

ΛZDfiC=90°-40°=50°,

由圓周角定理得，NBAC=∕8OC=40°,

ΛZABD=180°-NAEB-NBAC=30°,

ZABC=ZABD+ZDBC=80°,

故選：D.

【點評】本題考查的是圓周角定理，掌握直徑所對的圓周角為90°、直角三角形的性質

是解題的關鍵.

7.如圖，已知正方形ABC。邊長是6,點P是線段3C上一動點，過點。作QELAP于點

E.連接EC,若CE=CD,則的面積是（）

A.18B.4λfl3C.14.4D.6√3

【分析】根據正方形的性質和全等三角形的判定可以得到44OE和4OC尸全等，然后即

可得到C尸和OE的關系，根據等腰三角形的性質可以得到。尸和力E的關系，再根據勾

股定理可以得到DF1的值，然后即可計算出ACDE的面積.

【解答】解：作CF,E。于點F,如右圖所示，

；四邊形ABCo是正方形，

.'.AD=DC,NCD4=90°,

,NADE+NFDC=90°,

,：CFLDE,CD=CE,

EF=DF=LDE,NC尸。=90°,

2

；.NFDC+NDCF=90°,

ZADE=ZDCF,

在aAOE和aOCF中,

'NAED=NDFC

<ZADE=ZDCF.

AD=DC

：./\ADE^/\DCF(A4S),

.?DE=CF,

：.DF=I.CF,

2

VZCFD=90o,CD=6,

J.DF1+CF1^CD1,

即DF2+(.2DF)2=62,

解得Z)F2=7.2,

.?SmE=運"=迎!型_=IDF1=2X7.2=14.4,

22

【點評】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、等腰三角形的

性質，解答本題的關鍵是求出。尸的值.

8.二次函數y=αr2+fer+c(a≠0)的圖象如圖所示，則一次函數y=αr-26(α≠0)與反比

例函數y=￡(c≠0)在同一平面直角坐標系中的圖象大致是()

【分析】先根據二次函數的圖象開口向上可知α>0,對稱軸在y軸的左側可知6>0,再

由函數圖象交y軸的負半軸可知cV0,然后根據一次函數的性質和反比例函數的性質即

可得出正確答案.

【解答】解：二次函數的圖象開口向上，對稱軸在y軸的左側，函數圖象交于y軸的

負半軸

.?.4>0,?>0,CV0,

.?.反比例函數>=￡的圖象必在二、四象限；

X

一次函數y=αx-2b一定經過一三四象限，

：對稱軸為直線X=-1,且與X軸的交點為（-3,0）,

,另一個交點為（1,0）,

-且=-1,

2a

??h~—2a,

把（-3,0）代入y=αx2+20x+c?得，9a-6α+c*=0,

Λc=-3α,

方程ax-2力=￡整理得aj?-2hx-C=0,即0r2-4ΛT+3Q=0,

X

ΛX2-4x+3=0,

?.?（-4）2-4×3=4>0,

工一次函數y=以-2方（α≠0）與反比例函數y=￡（c≠0）的圖象有兩個交點,

X

故選：D.

【點評】本題考查的是二次函數的圖象與系數的關系，反比例函數及一次函數的性質，

熟知以上知識是解答此題的關鍵.

二、填空題(本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分)

9.計算，畫d?.(L)-2=8.

√2'2'

【分析】原式利用二次根式性質，以及負整數指數幕法則計算即可求出值.

【解答】解：原式=(楞-稗)×4

=(√25-√9)×4

=(5-3)X4

=2X4

=8.

故答案為：8.

【點評】此題考查了二次根式的混合運算，以及負整數指數累，熟練掌握運算法則是解

本題的關鍵.

?o.已知關于X方程(/?-1)/-J西Xl=O的有兩個實數根，則一的取值范圍是0

W,%W2.PL1?

【分析】若一元二次方程有兩個實數根，則根的判別式A=Z>2-44c20,建立關于,"的

不等式，求出相的取值范圍.還要注意二次項系數不為0和被開方數2-機20.

【解答】解：???關于X方程(機-1)√WGχ[=O的有兩個實數根，

m-1≠0

??<Δ=2-m+2(In-I)》0,

2-m^0

解得：0≤"2≤2且，77#1.

故答案為：0WmW2且mWl.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，根的判別式以及一元二次方程的定義，根

據二次項系數非零及根的判別式△》(),找出關于m的一元一次不等式組是解題的關鍵.

II.2021年6月17日，中國第7艘載人航天飛船“神舟12號”圓滿發射成功，激勵更多

的年輕人投身航天事業.現有甲、乙兩名學員要進行招飛前的考核，按照4：3：2：1的

比例確定成績，甲、乙兩人成績(百分制)如表：

候選人心理素質身體素質科學頭腦應變能力

甲86858890

乙90828190

選擇1名學員，最后應選甲.

【分析】根據題意和表格中的數據可以分別求得甲乙甲乙兩名航天員的成績，從而可以

解答本題.

【解答】解：由題意和圖表可得，

甲的成績為：86X4+85X3+88X2+90X1=86.5,

4+3+2+1

乙的成績為：9°X4+82X3+81X2+90=85.8,

4+3+2+1

V86.5>85.8,

二應選甲，

故答案為：甲.

【點評】此題考查了加權平均數，用到的知識點是加權平均數的計算公式，關鍵是根據

公式求出甲、乙的最終得分.

12.如圖，在等腰AABC中，AB=AC,ZBAC=44°./BAC的平分線與AB的中垂線交

于點。，點C沿EF折疊后與點O重合，則NCE1的度數是44度.

【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分線的性質得出NoBC=∕OCB=46°,求

出NoC8即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接80,

:等腰AABC中，AB=AC,NBAC=44°,

ΛZABC=ZACB=(180o-44o)÷2=68o,

：AO是NBAC的平分線，

：.ZBAO=22°,

又,：。力是AB的中垂線，

：.ZOBA=ZOAB=22°,

BC=NoeB=68°-22°=46°,

：EF垂直平分線段OC,

ΛZCEF=90°-46°=44°.

故答案為：44.

【點評】本題主要考查了折疊問題，中垂線及等腰三角形的性質，解題的關鍵是能正確

作出輔助線..

13.如圖所示，NAo8=90°,OA=OB=4,將扇形OAB繞邊OB的中點。順時針旋轉90°

得到扇形O'A'B',弧Ab交OA于點E,則圖中陰影部分的面積為-∑π±4→√3.

-3―

【分析】延長Eo交O'A'于P,連接O'E,根據扇形面積公式、三角形的面積公式

計算，得到答案.

【解答】解：延長Eo交O'A'于尸，連接0'E,

VZΛOB=90o,OA=O8=4,。為OB中點，

2

：.SBissOPO?=2-9°兀義2=4-π,

360

`:θ'P=I.O1A1=1.0'E,

22

,NO'EP=30°,

.".ZPO1E=60o,EP=-∕3O'P=2√3,

:?S陰影/VPE=S扇形。/VE-S?0,PE

2

=60KX4-工X2X2Vs

3602

="r-2√ξ,

3

.?.S陰影=4-π+?-2√3=?+4-2√3.

33

故答案為：SlT+4-2Λ∕3-

3

【點評】本題考查的是扇形面積計算、旋轉變換的性質、直角三角形的性質，掌握扇形

面積公式是解題的關鍵.

14.如圖，正方形ABC。中，AC=12,點E是對角線B。上一點，連接AE,過點E作EF

LAE,交BC于點F,連接AR交BD于點、G,將aEFG沿EF翻折，得到AEFM,連

接AM,交EF于點、N,若點尸是BC邊的中點，下列說法正確的是①②③.（填序

號）

①4AGOs"GB;

②∕EFG=NA2O=45°；

③AM=IO&；

④SAE?M=15.

2

BC

【分析】利用勾股定理求出AF=6收，再證明AAGQSAFGB,得出幽=2,進而求得

FG

FG=2√至，再根據NABC+/AEF=180°,判斷出點A,B,F,E四點共圓，進而得出

NEFG=NABD=45°,由翻折得出：FG=FM,ZEFM=ZEFG,可得NAFM=90°,

利用分割法求出AAEM的面積.

【解答】解：如圖，設對角線的交點為O，

；四邊形ABCD是正方形，

J.AD∕∕BC,AB=BC=AC=12,

；點尸是AB的中點,

ΛBF=AβC=6,

2

在RtAABF中，AF=√AB2+BF2=√122+62=6√5,

?'AD∕∕BC,

:AAGDSAFGB,故①正確，

-

AG而

A-D

-BF2

AG而

162

：.AG=2FG,

?.,AG+FG=AF,

Λ2FG+FG=6√5

ΛFG=2√5,

YBD是正方形ABCD的對角線，

ΛZABD=45o,

'：EFlAE,

：.ZAEF=90a=ΛABC,

：.ZABC+ZAEF=ISOo,

點A,B,F,E四點共圓，

ΛZEFG=ZABD=45o,故②正確，

；將AEFG沿EF翻折，得到AEFM,

：.FG=FM,ZEFM=ZEFG

：.FM=2辰,NEFM=NEFG=45°,

ΛZAFM=ZEFM+ZEFG=45o+45o=90o,

AM=2

ΛVAF+FM2V(6√5)2+(2√5)2=1°V2?故③正確?

連接EC,過點E作EPLAQ于點尸交BC于點Q,過點F作FH上BD于點H.

：四邊形是正方形，

：.NADE=NCDE=45°,DA=DC,

?：DE=DE,

MADEgACDE(SAS),

J.EA=EC,

:EA=EF,

.".EF=EC,

:EQLCB,

：.FQ=CQ,

'：∕?APE^∕?EQF,

：.PE=FQ=CQ=?),

：.DE=3近,

?'AD∕∕BF,BD=12√2)AF=6√5,

ΛBG:GD=BF:AD^FG-AG=I-2,

ΛBG=4√2,EG=12√2-3√2^4√2=5√2>FG=FM=2爬,

'JFHVBH,

：.FH=BH=3?,

的面積=S“EF+SzsEFM-S“FM=」X(6√5)2+A×5√2×3√2--×6√5×

422

2√5=30,故④錯誤，

故答案為：①②③.

【點評】本題考查了正方形的性質，折疊的性質，相似三角形的判定和性質，四點共圓,

構造出相似三角形是解本題的關鍵?

三、作圖題（本題滿分4分）

15.（4分）已知：NAoB和線段α.求作：QP,使它與NAo8的兩邊相切，半徑等于線段

【分析】先作NAOB的平分線0M,在OC上取一點C,再過C點作OB的垂線，在垂

線上截取CO=α,然后過。點作C。的垂線交OM于P,最后以P點為圓心，”為半徑

作圓.

【點評】本題考查J'作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質,

結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

四、解答題（本題滿分74分，共有9道小題）

2

16.（8分）（1）計算：（三Z一÷2∑2;

X+2X2+4X+4x+2

,2x+5<3（x+2）

（2）解不等式組：ι+3x/,并求出不等式組的非負整數解.

2X-JL/<2

【分析】（1）直接將括號里面通分運算，再利用分式的混合運算法則計算得出答案；

（2）分別解不等式，進而得出不等式組的解集，即可得出答案.

【解答】解：（1）原式=[Z2x一（x+2）]?三世

x+2（χ+2）2x^4

=（x-2_x）?x+2

x+2x+2χ-4

=χ-2-X?x+2

x+2χ-4

=-2.x+2

x+2χ-4

=一2；

χ-4

'2x+5<3(x+2)①

2x±f~<2②

解①得：x2^1(

解②得：x<5,

故不等式組的解集為：-IWXV5,

則不等式組的非負整數解為：0,1,2,3,4.

【點評】此題主要考查了分式的混合運算、不等式組的解法，正確掌握相關運算法則是

解題關鍵.

17.(6分)由于疫情爆發，小王家所在的小區被管控，規定每兩日每戶可派一人出小區購

買生活必需品.小王和爸爸用如圖所示的兩個轉盤做游戲，游戲規則如下：分別旋轉兩

個轉盤，將4盤轉出的數字作為被減數，8盤轉出的數字作為減數；如果差為負數，爸

爸出小區購買生活必需品；若差為正數，小王出小區購買生活必需品.這個游戲對雙方

公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明你的理由.

【分析】列表得出所有等可能結果，從中找到差為負數和正數的情況，分別求出對應概

率，比較后即可得出答案.

【解答】解：這個游戲對雙方不公平，理由如下：

列表如下：

1256

3-2-123

5-4-301

5-4-301

由表知，共有12種等可能結果，其中差為負數的有6種結果，差為正數的有4種結果，

.?.爸爸出小區購買生活必需品的概率為且=」,小王出小區購買生活必需品的概率為

122

4_1

123

???1-Z￡1,

23

這個游戲對雙方不公平.

【點評】本題考查的是游戲公平性的判斷以及列表法求概率.判斷游戲公平性就要計算

每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.用到的知識點為：概率=所求情況

數與總情況數之比.

18.（6分）為了解我校學生每天的睡眠時間（單位：小時），隨機調查了我校的部分學生，

根據調查結果，繪制出如圖統計圖.若我校共有IOOO名學生，請根據相關信息，解答下

列問題：

（2）請補全條形統計圖；

（3）求所調查的學生每天睡眠時間的方差；

（4）若睡眠時間超過7小時及以上在白天才能達到良好的學習效果，估計我校學生每天

睡眠時間不足的人數.

【分析】（1）由兩個統計圖可得樣本中睡眠時間為5/?的有4人，占調查人數的10%,由

頻率=日鰲可求出調查人數，進而求出睡眠時間為8/?所占的百分比，得出m的值；

忌數

(2)求出睡眠時間為7/?的學生人數，即可補全條形統計圖；

(3)根據方差的計算公式進行計算即可；

(4)用樣本中的“睡眠時間不足7"'的學生所占的百分比去估計全校IOoo名學生“睡

眠時間不足7〃”所占的百分比，再根據頻率=頻數進行計算即可.

【解答】解:(1)4÷10%=40(人),

10÷40X100%=25%,即巾=25,

故答案為:40,25；

(2)樣本中睡眠時間為7/?的學生人數為：40-4-8-10-3=15(人)，

40

所以方差為：S2≈J-[(5-7)2×4+(6-7)2X8+(7-7)2×15+(8-7)2×10+(9

40

-7)2×3]

=1.15,

答:方差為1.15；

(4)IOOO生&=300(名)，

40

答：全校IOOo名學生中，睡眠時間不足7〃，即每天睡眠時間不足的大約有300名.

【點評】本題考查扇形統計圖、條形統計圖、方差、平均數以及頻數分布直方圖，掌握

頻率=日望以及方差的計算方法是正確解答的前提.

息數

19.(6分)如圖，某電影院的觀眾席成“階梯狀”，每一級臺階的水平寬度都為1m，垂直

高度都為0.3〃?.測得在C點的仰角NACE=42°,測得在。點的仰角NAOF=35°.求

銀幕AB的高度.(參考數據：sin35o?=0.57,cos35o-0.82,tan35°≈?0.7,sin420≈

0.67,cos42oQo.74,tan42o=≈0.9)

【分析】延長CE、DF交AB于H、G,在RtAAGO中，由三角函數的定義用AG表示

出即。G,在RtZ?AC7∕中，由三角函數的定義用AG表示出即C”,根據。G-CH=I得

到關于AG的方程，解方程求出AG即可求出AB.

【解答】解：延長CE、DF交AB于H、G,

由題意知，ZAGD=ZAHC=W,

在RtZ?AGO中，NAQG=35°,

Λtan35o=幽，

DG

即典L

JDG=—

tan350

在RtZXACH中，ZACH=42o,

Λtan42o=旭，

CH

即CH=—期—,

tan420

"：AH=AG+GH,GH=O.3,

.?.CH=AG+0?3

??tan420

VDG-CH=I,

.?.AG_AG÷O.3—],

tan350tan420

?AG_AG+O.3—.?

0.9

解得：AG=4.2,

，AB=AG+GH+8∕∕=4.2+0.3+0.6=5.1.

答：銀幕A8的高度約為5.1〃?.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，仰角的定義，以及三角函數，熟練掌握三角

函數的定義是解決問題的關鍵.

20.(6分)如圖，直線y=-1+〃?與X軸，y軸分別交于點2、A兩點，與雙曲線相交于C、

3

。兩點，過C作CELX軸于點E,已知OB=3,OE=

(1)求直線AB和雙曲線的表達式；

(2)設點F是X軸上一點，使得S^CEF=2SACOB,求點尸的坐標.

【分析】(1)根據已知條件求出A、B、C點坐標，用待定系數法求出直線AB和反比例

函數的解析式；

(2)根據三角形面積公式求得EF的長，即可求得點F的坐標；

【解答】解：⑴?.,OB=3,OE=I,

：.B(3,0),C點的橫坐標為-1,

直線y=--kr+∕n經過點B,

3

.".O=--×3+m,解得zn=l,

3

，直線為：y=--kr+I,

3

把X=-1代入y=-Ar+1得，y=-工X(-1)+1=4,

333

.?.C(-1,A),

3

?.?點C在雙曲線y=K(?≠0)上，

X

'.k=-1×A=-生

33

.?.雙曲線的表達式為：)，=--￡；

3x

(2)'：0B=3,CE=支,

3

.?.S?C0β=A×3×A=2,

23

?：SACEF=2SACOB,

SACEF=-×EF×--4,

23

.?.EF=6,

'：E(-L0),

：.F(-7,0)或(5,0)；

【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交

點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無

解，則兩者無交點.

21.(6分)(1)問題提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積.

問題探究：為了解決上述問題，我們先由特殊到一般來進行探究.

探究一：如圖1,在aABC中，ZAfiC=90o,AC=6,BC=a,ZC=Zα,AR?ABC

的面積.

在RtZiABC中，NABC=90°,

Sina=????

AC

.*.Aβ=??sina.

S^ABC--BC?AB=-lz∕?ftsinα.

22

探究二：如圖2,ZXABC中，AB=AC=b,BC=a,ZB=Za,求AABC的面積（用含a、

b、a代數式表示），寫出探究過程.

探究三：如圖3,AABC中，AB=b,BC=a,NB=Na,求AABC的面積（用a、b、a

表示）寫出探究過程.

問題解決：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：一個三角形兩邊

及其夾角的正弦值的積的一半（用文字敘述）.

問題應用：如圖4,已知平行四邊形ABCD中，AB=b,BC=a,NB=a,求平行四邊形

ABCZJ的面積（用〃、b、a表示）寫出解題過程.

問題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結論直接寫出任意四邊形的面積（用“、6、c、

d、a、B表示），其中48=b,BC=c,CD=d,AD—a,ZA=a,ZC=β.

圖4圖5

【分析】探究二：如圖2中，作A",CB于H.求出高A”，即可解決問題;

探究三：如圖3中，作A”,CB于從求出高AH,即可解決問題；

問題解決：S=Aa?sinZC（/C是a、6兩邊的夾角）；

2

問題應用：如圖4中，作A”,CB于求出高A”，即可解決問題；

問題拓廣：如圖5,連接BZZ由探究三的結論可得出答案.

【解答】解：探究二：如圖2中，作A”,CB于從

A

圖2

"."AB=AC-b,BC=a,NjB=Nα,

.*.NB=NC=a,

在RtZ?A4C中，NA”C=90°,

.?.sinα=???,

AC

.'.AH=b?sina,

SAABC=—BC'AH—^absina.

22

探究三：如圖3中，作AH，CB于H.

在RtZ?AHC中，ZAHC=90°

Sina=

AC

AH=b?sina

.'.S^ABC--BC?AH-^cιbsina.

22

問題解決：一個三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半.

故答案為：一個三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半.

問題應用：如圖4中，作AH_LCB于凡

圖4

在Rtz‰4"B中，NAHB=90°

Sina=理■,

AB

.?AH=h9sina

...S平行四邊形ABC0=3C?A"=aASina.

問題拓廣:

連接8￡>,由探究三的結論可得：SAABO=工XA8XAOXsina=L仍?Sina.

22

SABC。=/XBCXCDVCd?SinB?

?.S四邊形ABCD-^^^ab,sina+:cd*siπβ.

【點評】本題考查四邊形綜合題、三角形的面積、平行四邊形的面積、銳角三角函數等

知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題.

22.（8分）為了改善湘西北地區的交通，我省正在修建長（沙）-益（陽）-常（德）高

鐵，其中長益段將于2021年底建成.開通后的長益高鐵比現在運行的長益城際鐵路全長

縮短了40千米，運行時間為16分鐘；現乘坐某次長益城際列車全程需要60分鐘，平均

速度是開通后的高鐵的迫.

30

（1）求長益段高鐵與長益城際鐵路全長各為多少千米？

（2）甲、乙兩個工程隊同時對長益段高鐵全線某個配套項目進行施工，每天對其施工的

長度比為7：9,計劃40天完成；施工5天后，工程指揮部要求甲工程隊提高工效，以確

保整個工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程隊后期每天至少施工多少千米？

【分析】（1）設長益段高鐵全長為X千米，長益城際鐵路全長為y千米，由題意得到二

元一次方程組，求解即可.

（2）設甲隊后期每天施工a千米，甲原來每天的施工長度為64÷40X工=0.7（千米）,

16

乙每天的施工長度為64÷40Xa=0.9（千米），根據題意列出一元一次不等式即可.

【解答】解：(I)設長益段高鐵全長為X千米，長益城際鐵路全長為y千米,

根據題意，

y=x+40

得：｛yXXZI3，

601630

解得：卜=64,

]y=104

答：長益段高鐵全長為64千米，長益城際鐵路全長為104千米.

(2)設甲隊后期每天施工“千米，

甲原來每天的施工長度為64÷40X-L=0.7(千米)，

16

乙每天的施工長度為64÷40xX-=0.9(千米)，

16

根據題意，得：0.7×5+0.9×(40-3)+(40-3-5)心64,

解得：420.85,

答：甲工程隊后期每天至少施工0.85千米，可確保工程