備戰2022年高考數學核心考點專題訓練

專題11三角函數的圖象與性質

一、單選題(本大題共12小題，共60分)

1.函數f(x)=sin(—2x+》的圖象為C,則下列結論中正確的是()

A.圖象C關于直線X='對稱

O

B.f(x)在區間[一看,爭上遞減

C.圖象C關于點(工,0)對稱

D.由y=sin(-2x)的圖象向左平移g得到C

【答案】B

【解析】解：由函數f(x)=sin(—2x+)=-sin(2x-)的圖象為C,

對于A,X=即寸，fφ=sin(-∣+=)=0,所以圖象C不關于直線X=例稱，A錯誤；

對于B,XC[-卷瀉]時，2x-^∈[-p?],函數f(x)是單調減函數，B正確：

對于C,X=工時，f?=-sin(^-=)=-1,所以圖象C不關于偌,0)對稱,C錯誤;

對于D,y=sin(-2x)的圖象向左平移得y=sin[-2(x+割=sin(-2x-午)的圖象，

不是函數f(x)的圖象，D錯誤.

故選：B.

2.函數f(x)=4sin(ωx+=)(ω>0)的最小正周期是3π,則其圖象向左平移三個單位長度后

?O

得到的函數的一條對稱軸是()

Trπ

AA.χ=znB,X=-C—,X=-5πDn,X=—19π

【答案】D

【解析】解：函數￡。)=45訪(3*+$(3>0)的最小正周期是3死

則：T=3ττ=空，

ω

解得：3=∣,

所以：f(x)=4sin(∣x+^),

其圖象向左平移方個單位長度后得到的函數g(x)=4sin(∣x+；+$=4sin(∣x+y)

令：∣×+γ=kπ+^(k∈Z),

解得：X=Ikπ+?(k∈Z),

當k=1時，

故選：D.

3.摩天輪是一種大型轉輪狀的機械游樂設施,游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往

上轉，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪設置有48個座艙，開啟后按逆時針

方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周需要30min.

已知在轉動一周的過程中，座艙距離地面的高度H(m)關于時間t(min)的函數

關系式為H=65-55cos.(0≤t≤30),若甲、乙兩人的座艙之間有7個座

艙，則甲、乙兩人座艙高度差的最大值為

A.25mB.27.5mC.25D.55m

【答案】D

4.已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,∣φ∣<習圖象相鄰的兩條對稱軸的距離為2π,將函數

y=f(x)的圖象向左平移5個單位長度后，得到的圖象關于y軸對稱，給出下列命題：

①函數f(x)的圖象關于直線X=生寸稱;

②函數f(x)在卜三用上單調遞增；

③函數f(x)的圖象關于點(-零,0)對稱.

其中正確的命題個數為()

A.0B.?C.2D.3

【答案】C

【解析】由題意可知，函數f(x)的最小正周期為T=4ττ=空,可得3=則f(x)=sin仁+φ),

32\2/

將函數f(x)的圖象向左平移三個單位長度后，得到函數g(x)=sin[∣(x+=)+φ]=

SingX+φ+.)的圖象，

由于函數g(x)的圖象關于y軸對稱，則φ+5=kπ+5(k∈Z),解得φ=kτr+5(k6Z),

?.?-^<φ<p.?,φ=p所以，f(χ)=sin(H).

對于①,f(?)=sinɑ×?+=sin?=1=f(x)max,

所以，函數f(χ)的圖象關于直線χ=m對稱，①正確;

對于②，當χe[*用時U≤]+W≤M

所以，函數f(χ)在[γ用上不單調，②錯誤；

對于③，：f(-y)=sin(-i×y+^)=SinO=0,

所以，函數f(x)的圖象關于點(-g,θ)對稱，③正確.

故選：C.

5.如圖為一半徑為3m的水輪，水輪中心O距水面2m,已知水輪每

分鐘旋轉4圈，水輪上的點P到水面距離y(m)與時間X(S)滿足函數

關系y=Asin(ωx+φ)+2則()

A.ω=—,A=5B.ω=-,A=5

152π

C.ω=翌，A=3D.3=0,A=3

2π15

【答案】D

【解析】解：已知水輪每分鐘旋轉4圈??.3=Wm=S

6015

又???半徑為3m,水輪中心O距水面2m,

距水面最高點為5,即A=3,

故選D.

6.在AABC中，若〃V，,則COSASinC的取值范圍是()

A.[-1,1]B.嚀,等]

c?[T等]D?哼,等]

【答案】B

【解析】解：B=45°=p.?.cosAsinC=cosAsin(A+；)=當COSA(SinA+cosA)=

*(]in2A+號叩=]in(2A+f+號,乂0<A<),：<2A+汴:π,二心+乎≤

1.∕.π?√21.√2

-Sin(n2AλH—IHl----≤—I----->

2\4/424

即且≤cosAsinC≤亞，故選B.

44

7.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0zω>0,∣φ∣<》與

函數g(x)=k(x-k)+6的部分圖象如圖所示，直線y=A

與g(x)圖象相交于y軸，與f(x)相切于點N,向量而在X

軸上投影的數量為一亨且A+3=2k,則函數h(x)=

sin(ωx-φ)+cos(ωx-φ)圖象的一條對稱軸的方程可以為()

?llπ?llπ.13πC7π

?-■-b?τrc?--d?R

【答案】A

【解析】解：?.?函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,∣φ∣<T)與函數g(x)=k(x-k)+6的部分圖

象如圖所示，

直線y=A與g(x)圖象相交于y軸，-k?+6=A,k>0.

再根據向量而在X軸上投影的數量為一?，可得I=9空=?，???3=2.

444ω4

結合A+ω=A+2=2k,可得k=2,A=2.

??.f(x)=2sin(2x÷φ),g(x)=2(x—2)+6=2x+2.

再根據f(x)=2sin(2x+φ)的圖象位于y軸的右側且與X軸的第一個交點為舄,0),

???-*TTCTT

?2--1-2--1-φ=0,*φ=—6，,

.??函數h(x)=sin(ωx-φ)+cos(ωx-φ)=sin(2x+}+cos(2x+，)

=√2sin(2x+3+》=V2sin(2x+,

令2x+處=kπ+上求得X=獨+三，kEZ,

122224

令k=-1,可得h(x)的圖象的一條對稱軸的方程可以為X=_詈,

故選：A.

8.已知函數，，八I,人小…的一條對稱軸為X=-T■,f(χj+f(χz)=0，且函數

f(x)在(Xl，X2)上具有單調性，則∣X1+X2∣的最小值為

A.?B.?C,^^D,—

6333

【答案】C

9.已知函數f(x)=Acos2(ωx+φ)÷1(A>0,ω>0,0<φVl)的最大值為3,f(x)的圖象

與y軸的交點坐標為(0,2),其相鄰兩條對稱軸間的距離為2,則f(l)+f(2)+f(3)+…+

f(2016)的值為()

A.2468B,3501C.4032D.5739

【答案】C

【解析】解：函數f(x)=Acos2(ωx+φ)+1=A?LtCoS(;)x+2q))+?

=jcos(2ωx+2φ)+1+?(A>0,ω>0,0<φ<T)的最大值為3,

?-+1÷-=3,可求：A=2.

22

???函數圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為2,可得函數的最小正周期為4,即：==4,

???解得：3=2

4

又?.?哈)的圖象與丫軸的交點坐標為(0,2),可得：cos(2φ)+l÷l=2,

???cos2φ=0,又“”2,'1?*2/~，解得：(P=

???函數的解析式為：f(x)=cos(^x+^)÷2=-sin^x+2,.?.f(l)+f(2)÷???+f(2016)=

-(sin?+sinγ+sin?+???÷sin?^?)÷2×2016=504×0÷4032=4032.故選：C.

10.已知函數f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,∣φ∣V的部分圖象如圖，則

A.f(x)=2sin卜X-

5π

b?f□=衣,^12

C.f(x)的圖象的對稱中心為(kπ-2,θ)(kez)

D.不等式f(x)≥1的解集為[kπ,kπ+^](k∈Z)

【答案】D

【解析】解：由圖象得函數的最小正周期TI■：)丁,

?IAO)

所以一?2π-2,

π

所以-「，-2*k+：.k6Z./=2k#+]keZ,

326

開

又因為∣φ∣<πJ,所以丁，,，

NU

所以所以錯誤；

f(x)=2sin(2x+?O,A

因為嗚)vG,所以B錯誤；

∈所以錯誤;

所以f(X)的圖象的對稱中心為(pθpZ,C

由f(x)=2sin(2x+，)≥1可得sin(2x+≥

由三角函數圖像可得2kπ+[≤2x+l≤2kπ+?,k∈Z,

解得kn<X<kπ+pk∈Z,

故不等式f(x)≥1的解集為M，kπ+=](k∈Z),D正確.

故選D.

11.函數f(x)=Asin(2x÷φ)(∣φ∣≤，A>0)部分圖象如圖所示，且

f(a)=f(b)=0,對不同的X2∈[a,b]?若f(xj=f(x2),有

f(×ι+x2)=√3*則()y\

A.f(x)在(一手勺上是減函數-?一γ→x

B.f(x)在(一,吟)上是增函數I

在上是減函數

c.f(x)3O

D.f(x)在Gw)上是增函數

3o

【答案】B

【解析】解：???f(x)=Asin(2x+φ),??.函數最小正周期為T=π;

由圖象得A=2,且f(a)=f(b)=0,

?????—=b-a,解得b-a=g;

2ω2

又Xi，X2∈[a,b],且f(xι)=f(x2)時，有f(X]+xz)=6,

???sin[2(×ι+x2)+φ]=y?即2(x1+x2)+φ=y,

且sin(2?婦產+φ)=1,即2?笠^+φ=]

解得φ=3

??.f(x)=2sin(2x+^)；

令——+2ku≤2x+—≤+2kτr,k∈Z>

**?-------F2kττ≤2x≤—F2kττ,kEZt

66

解得—,+kτr≤XW己+kττ,kEZ>

???函數f(x)在區間I-"+kπ*+kπ],k∈Z上是單調增函數，

???f(x)在區間(一工,為上是單調增函數.

故選：B.

12.已知函數f(x)=Asin(3χ+φ)(A,3,φ均為正的常數)的最小正周期為π,當x=g時，函

數f(x)取得最小值，則下列結論正確的是()

A.f(-l)<f(0)<f(l)B.f(0)<f(l)<f(-l)

C.f(l)<f(-l)<f(0)D.f(l)<f(0)<f(-l)

【答案】A

【解析】解：依題意得，函數f(x)的周期為n,

ω>0,

2π

——=2n.

π

又??.當X=W?函數f(χ)取得最小值,

?2×y+φ=2kπ+y,k∈Z,可解得：φ=2kπ+?,k∈Z,?f(x)=Asin(2x+2kπ+弓)=

Asin(2x+-).

6

.?.f(-l)=Asin(-2+：)=Asin(2+/<0.

f(l)=Asin(2+-)>0,

f(0)=Asin-=Asin->0,

v766

又'W>萼>2+5?而f(x)=ASinX在區間邑9)是單調遞減的，

Zo62Lz

Λf(-l)<f(0)<f(l).

故選A.

二、單空題(本大題共4小題，共20分)

13.若A為不等邊AABC的最小內角，則f(A)=Jsin∕coSA的值域為____.

''1+sinA+cosA

【答案】(0,√Σ-1]

【解析】解：???A為不等邊^ABC的最小內角，???0VAV；,???SinA÷cosA=√2sin(A+》W

(‰√2].

令t=sinA+cosA,則2sinAcosA=t2—1,

2sinAcosA

???f(A)==T^=t-l∈(0,√2-l].

1+sinA+cosA

.?.f(A)的值域為(0,√Σ-1].

故答案為：(0,魚―1].

14.如圖，摩天輪上一點P在t時刻距離地面高度滿足y=

Asin(ωt+φ)+b,φ∈[-π,π],已知某摩天輪的半徑為50

米，點O距地面的高度為60米，摩天輪做勻速轉動，每3

分鐘轉一圈，點P的起始位置在摩天輪的最低點處.則y(米

)關于t(分鐘)的解析式為.

【答案】y=50sin(yt-≡)+60

【解析】(1)由題意,

A=50,b=60,T=3；

故3=拳

故y=50sin(γt÷φ)+60；

則由50sinφ+60=10及φ∈[―π,τr]得,

π

(P=F

故y=?θsin(?t-?)+60.

故答案為：y=50sin(yt-^)+60.

15.已知函數f(x)=sin(2x+9,將函數y=f(x)的圖象向右平移三個單位長度后，得到函數

g(x)的圖象,若動直線X=t與函數y=f(x)和y=g(x)的圖象分別交干M,N兩點,則IMNl

的最大值為.

【答案】√3

【解析】解：由題意可得卬"；κin(2?r力，

所以IMNl=∣f(x)—g(x)∣=∣sin(2x+：)-sin(2x-；)|=IlSin2x+ycos2x-∣sin2x+

γcos2x∣

=√3∣cos2x∣,

則cos2x=±l時，IMNl的最大值為√5.

故答案為四.

16.筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到

應用，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫1描繪了筒車的工作原理.假定在水

流穩定的情況下，簡車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖2,將筒車抽象為一

個幾何圖形(圓)，筒車的半徑為4m,筒車轉輪的中心O到水面的距離為2m,筒車每

分鐘沿逆時針方向轉動4圈.規定：盛水筒M對應的點P從水中浮現(即Po時的位置)時

開始計算時間，且以水輪的圓心O為坐標原點，過點O的水平直線為X軸建立平面直

角坐標系xθy.設盛水筒M從點Po運動到點P時所經過的時間為t(單位：s),且此時點P

距離水面的高度為h(單位：m),則h與t的函數關系式為,點P第一次到達

最高點需要的時間為s.

又筒車轉輪的中心O到水面的距離為2m,筒車的半徑為4m,

所以NE。/：,

從點PO運動到點P時所經過的時間為3則P點對應的以X軸正半軸為始邊的角為：.，

由三角函數定義知P點縱坐標為八山(；)；)，

則h與t的函數關系式為h=4sin(猾t-')+2,

若點P第一次到達最高點，則解得t=5s,

1562

故答案為h=4sin(得t-》+2；5.

三、解答題(本大題共4小題，共40分)

17.已知當XeR時，不等式α+cos2x<5-4sinx+√恒成立，求實數。的取值范圍.

4

【答案】—≤a<8.

【解析】不等式a+cos2x<5-4sinκ+：5〃-4等價于cos2x+4siox<15〃-4-〃+5，

當x∈R時，不等式α+cos2xV5-4SinX+15〉-4恒成立,等價于當x∈RB?,不等式

COS2x+4SinXVJ5〃-4-々+5恒成立,

令/(x)=4sinx÷cos2x,χ∈R,則/(?)=-2sin2x÷4sinx+l=-2(sinx-l)2÷3,

TT

而一l≤sinxVl,于是當SinX=1,即X=2版■+,/eZ)時，/(x)max=3,

a-2≥0r

Z___a-2<0

因此，√5a-4-a+5>3即反N>CL2,從而得<5α-4≥0或解得

[5a-4≥0

5〃-4>(α-2)

4

—≤6f<8

5

4

所以實數。的取值范圍是］≤α<8.

18.將函數/(x)=COS2χ+KSinXCoSX的圖象向右平移聿個單位長度后，再將所得圖象

上各點的橫坐標擴大為原來的兩倍，縱坐標不變，得到函數g(x)的圖象.

(I)求函數y=g(χ)的最小正周期；

(H)若g(α)=?∣,g(0=-∣?,且求sin(2α-2∕7)的值.

【答案】(I)2萬；(II)竺.

625

^^+gin2x」=gin2x+，cos2x=sin(2x+g

【解析】(1)，(X)=

2222216)

.??g(χ)的最小正周期7=2萬；

34

(II)g(α)=j,g(4)=-］，

3,6J

a-β∈

4

5coV-7=i

=sin(α十卜。SN戈卜

.,.sin(cr-/7)=sin

c(√α-□sin仿-4=工？7

I6jr6J5525

.,.CoS(α一6)=-y∣l-sin2(a-jβ)=_^?

.,.sin(2a-2/?)=2sin(a-∕7)cos(?-/?)=.

19.已知/(x)=αsinx+Z?COSX,

(1)若f(?)=&且/(x)的最大值為J方，求a、6的值;

(2)若嗚)=1且/(x)的最小值為A,求々的取值范圍.

［答案］(1)］：=T或］：=；；⑵丘(9,—1］.

［b=3［?=-l

【解析】(1)/(x)=J∕+:2Sin(X+0),

/《卜忘’?*+￡=&'即“+I，

乂?∣a2+h2=>∕l()，

.*.cr+b2=10,

〃X)的最小值A=-4r1r=-Ja2+(2-√3^)2,

=-J4/—4Λ∕5Q+4，

20.(1)求方程J5cosx+cos2x+sinX=O在［θ,2π］上的解;

7Γ