2023年浙江省杭州市普通高校對口單招數(shù)

學自考模擬考試（含答案）

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題（10題）

1.某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生視力

是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學生進行

調(diào)查，則最合理的抽樣方法是O

A.抽簽法B.系統(tǒng)抽樣法C分層抽樣法D.隨機數(shù)法

2.從1,2,3,4,5這5個數(shù)中，任取四個上數(shù)組成沒有重復數(shù)字的四

個數(shù)，其中5的倍數(shù)的概率是（）

1

A.5

1

B.4

2

C.5

1

D.10

3若100"=5,10"=2,則2α+Z)=()

A.lB.-lC.2D.-2

4."a,b,c都不等于0”的否定是

A.a,b,c都等于0B.a,b,c不都等于0C.a,b,c中至少有一?z↑1"不等于0D.a,b,c

中至少有一個等于0

5.若f(x)=41og2X+2,則f(2)+f(4)+f⑻=()

A.12B.24C.30D.48

∏袋中裝有大小和材質(zhì)相同的6個小球，其中有3個紅球，2個黃球

6和1個月球，從中隨機摸;I；個球，那么攜A歸一球或白球的概率()

2

1

C.2

7.函數(shù)KX)=&的定義域是()

A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(0,2)D.R

8.設(shè)集合A={x∣lgxS5},Z為整數(shù)集，則集合AnZ中元素的個數(shù)是()

A.6B.5C.4D.3

9.下列各組數(shù)中成等比數(shù)列的是()

111

—，一，一

A.246

b2,-2√2,4

C.4,8,12

o?g2.?4.?8

10.??ABC,A=60o,B=75o,a=10,則c=()

A.5J2

BJT2

】0痣

C.3-

106

D.一

二、填空題(10題)

11.等差數(shù)列中，aι>O,S4=S9,Sn取最大值時，n=

12.已知α為第四象限角，若COSa=I/3,則COS(a+π∕2)=.

13.圓χ2+y2-4x-6y+4=0的半徑是.

若方程(l-a)x+y=a-4表示焦點在x軸上

14的雙曲線，則參數(shù)a的取值范國

15.五位同學站成一排，其中甲既不站在排頭也不站在排尾的排法有

_____種.

16.??≡??????≡J....

某程序框圖如下圖所示，該程序運行后諭出的。的最大值為

1若、“】0---?Ianθ<(X則J〃-

17.S

18.

設(shè)m∈R,過JE點A的動直線x+my=O和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P

(χ,y).則∣PA∣?∣PB∣的最大值是.

19.在平面直角坐標系xθy中，直線2x+ay-l=0和直線(2a-l)x-y+l=0

互相垂直，則實數(shù)a的值是.

20.已知父=1°X9K8K…κ5那.么m=_____.

三、計算題(5題)

1

f(x)+3f(—)=x.

21.已知函數(shù)f(x)的定義域為｛x∣x≠0｝,且滿足?

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并簡單說明理由.

22解不等式4<∣l-3x∣<7

23.某小組有6名男生與4名女生，任選3個人去參觀某展覽，求

(1)3個人都是男生的概率；

(2)至少有兩個男生的概率.

24.在等差數(shù)列⑶｝中,前n項和為Sn,且S4=-62,S6=-75,求等差數(shù)列

｛an｝的通項公式an.

25.有語文書3本，數(shù)學書4本，英語書5本，書都各不相同，要把這

些書隨機排在書架上.

(1)求三種書各自都必須排在一起的排法有多少種？

(2)求英語書不挨著排的概率P。

四、簡答題(10題)

31_____2

26計算+(°2*網(wǎng)+卜布1(卷)+3)°

27.在ABC中,BC=6AC=3,sinC=2sinA

(1)求AB的值

sm(2A—)

(2)求2,的值

28點A是BCD所在平面外的一點，且AB=AC,BAC=BCD=90。，

BDC=60o,平面ABC_L平面BCD。

(1)求證平面ABD_L平面ACD；

(2)求二面角A-BD-C的正切值。

A

29.設(shè)拋物線y2=4x與直線y=2x+b相交A,B于兩點，弦AB長2石,

求b的值

_3

30.已知cos=5(2/,求CoSI6J的值.

31.以點（0,3）為頂點，以y軸為對稱軸的拋物線的準線與雙曲線

3χZy2+12=0的一條準線重合，求拋物線的方程。

32.已知拋物線y2=4x與直線y=2x+b相交與A,B兩點，弦長為2君,

求b的值。

33.在拋物線y2=12x上有一弦（兩端點在拋物線上的線段）被點M

（1,2）平分.

（1）求這條弦所在的直線方程;

(2)求這條弦的長度.

/(x)=log^(α>0.ɑ≠0)

34.已知函數(shù)

(1)求f(x)的定義域;

(2)判斷f(x)的奇偶性，并加以證明；

(3)a>l時，判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明。

35.組成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15,并且這三個數(shù)列分別加上

1、3、5后又成等比數(shù)列，求這三個數(shù)

五、解答題(10題)

36.給定橢圓C:x2/a2+y2/b2(a>b>0),稱圓d+y2=a2+b2為橢圓C的

“伴隨圓已知橢圓C的離心率為72,且經(jīng)過點(0,1).

(1)求橢圓C的方程；

(2)求直線1:x—y+3=0被橢圓C的伴隨圓Ci所截得的弦長.

37.近年來，某市為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為“廚余

垃圾”、“可回收垃圾，，、“有害垃圾，，和“其他垃圾”等四類，并分別垛置

了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾的正確分類投放情況，現(xiàn)隨機

抽取了該市四類垃圾箱總計IOO噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下(單位:

噸）:

“廚余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱

廚余垃圾24412

可回收垃圾41923

有害垃圾22141

其他垃圾15313

(1)試估計“可回收垃圾”投放正確的概率;

(2)試估計生活垃圾投放錯誤的概率。

38.某化工廠生產(chǎn)的某種化工產(chǎn)品，當年產(chǎn)量在150噸至250噸之內(nèi)，

其年生產(chǎn)的總成本：y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的關(guān)系可近似地表

示為y=x2∕10-30x+400030x+4000.

(1)當年產(chǎn)量為多少噸時，每噸的平均成本最低，并求每噸最低平均成

本；

(2)若每噸平均出廠價為16萬元，求年生產(chǎn)多少噸時，可獲得最大的年

利潤，并求最大年利潤.

討論函數(shù)f(X)=∣件丁I的奇偶性

k-4-∣4+x∣

39.

已知?Λ8C,a也C是?A8C中，ZA.NB、NC的對邊，b=l,c=√3.∠C=y

⑴求。的值；

40(2)求co、B的值.

41.已知數(shù)列｛atl｝是首項和公差相等的等差數(shù)列，其前n項和為Sn,且

Sιo=55.

⑴求an和Sn

(2)設(shè)=bn=l∕Sn,數(shù)列｛bn｝的前n項和為T=n,求Tn的取值范圍.

42.已知橢圓Cχ2∕a2+y2∕b2=i(a>b>0)的兩焦點分別FiR點P在橢圓C

o

上，KZPF2Fi=90,∣PFι∣=6,∣PF2∣=2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在直線L與橢圓C相交于A、B兩點，且使線段AB的中點

恰為圓M:x2+y2+4x-2y=0的圓心，如果存在，求直線1的方程；如果不

存在，請說明理由.

43.從含有2件次品的7件產(chǎn)品中，任取2件產(chǎn)品，求以下事件的概率.

⑴恰有2件次品的概率P;

⑵恰有1件次品的概率P2.

44.已知函數(shù)f(x)=4cosxsin(x+π∕6)-1.

⑴求f(x)的最小正周期；

⑵求f(x)在區(qū)間［-π∕6,π∕4］上的最大值和最小值.

45.已知橢圓的中心為原點，焦點在X軸上，離心率為且經(jīng)過點

M(4,1),直線1：y=x+m交橢圓于異于M的不同兩點A,B直線

MA,MB與X軸分別交于點E,F.

⑴求橢圓的標準方程；

⑵求m的取值范圍.

六、單選題(0題)

46.*9=

A.lB.2C.3D.4

參考答案

1.C

為了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生視力是否存在

顯著差異，這種方式具有代表性，比較合理的抽樣方法是分層抽樣。

2.A

依題，從1,2,3,4,5這五個數(shù)中，任取四個數(shù)

組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)有&種取法，

其中恰好是5的倍數(shù)的有A：種取法

Λ3

.?.概率PT4

A!5

5

3.A

4.D

5.C

對數(shù)的計算:f(2)=4log22+2=4x1+2=6,

f(4)=4z4+2=4x2+2=10,f(8)=41og28+2=4×3+2=14,f(2)+f(4)+f(8)=6+10+14=

30.

6.A

7.B

X是y的算術(shù)平方根，因此定義域為B。

8.B

集合的運算.?.?A={x∣l≤xS5},Z為整數(shù)集,則A∩Z={1,2,3,4,5).

9.B

由等比數(shù)列的定義可知，B數(shù)列元素之間比例恒定，所以是等比數(shù)列。

10.C

用.由于A+8+€'-1&/.所以。.180?一M

√I2

75,≡45,,正弦定理.用，=&^?-lo×

`?n\

√23

解三角形的正弦定理的運Ir-故選］

11.6或7,由題可知，4a∣+6d=9aι+36d,解得aι=-6d,所以Sn=-

d139169

6dn+n(n+l)d∕2=又因為aι大于O,d小

于0,所以當n=6或7時，Sn取最大值。

12.

2√2

^3利用誘導公式計算三角函數(shù)值.???α為第四象限角，??.sinα-

/i~772~^_2,?∕Z/In、242

/1-8Sa--------^cos(α+-)=-sιnσ=-r-.

J43

13.3,

(1)因為x2-?-y2—4x,-6τ∕+4=0,

所以(N-2)2+(3)2=9,

所以圓的圓心坐標是(2,3),半徑長是3.

14.1<a<4

15.72,

假設(shè)5個人分別對應(yīng)5個空位，甲不排在排頭

也不排在排尾，有3個位置可選；

則其他4人對應(yīng)其他4個位置，有禺=24種

情況，

則不同排列方法種數(shù)3X24=72種；

故答案為72.

16.45

17.-4/5

18.

有題意可知，動直線x÷my=O經(jīng)過定點A(0,0),

動直線mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0,經(jīng)過點定點B(1,3),

注意到動直線x+my=O和動直線mx-y^-m+3=0始終垂直，P又是兩條直線的交點,

則有PAlPB,∣PA∣?∣PB∣z=∣ABlF0.

故∣PA∣?∣PB∣<IPAlFPBI=5(當且僅當IPAl=IPB∣=√ξ時取“=”)

故答案為：5

19.2/3

兩直線的位置關(guān)系.由題意得-2∕ax(2a-l)=-l，解得a=2∕3

20.6,

依題意

?.?A、=n(n—1)(n—2)???(n—?+1)

A^=10×9×8×7×6×5

,?.10—m+1=5,Hi=6

21.

(1)依題意有

/(x)+3/(1)=x

X

/(-!-)+3∕(x)=i

XX

解方程組可得：

3-丁

/W=8x

(2)函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

?.?函數(shù)/(X)的定義域為｛x∣XHθ｝關(guān)于原點對稱，且

3-(-Λ)23-X2

=T(X)

f(-x)=8(-x)8x

.?.函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

22.

解：對不等式進行同解變形得:

4<l-3x<7或-7<l-3x<-4

58

解得：一VXV—或-2VXV-I

33

23.

解：(1)3個人都是男生的選法：Cl

任意3個人的選法：C；。

nCl1

3個人都是男生的概率：P=T÷=-

CIo6

(2)兩個男生一個女生的選法：C：C；

ɑ?+_2

至少有兩個男生的概率P=

636-=3

jθ

24.解:設(shè)首項為&、公差為d,依題意：4a,+6d=-62,6a,+15d=-75

解得aι=-20,d=3,an=a∣+(n-l)d=3∏-23

25.

解：(1)利用捆綁法

先內(nèi)部排：語文書、數(shù)學書、英語書排法分別為N?、㈤、6

再把語文書、數(shù)學書、英語書看成三類，排法為力；

排法為：力=l°3680

(2)利用插空法

全排列：

語文書3本，數(shù)學書4本排法為：4

插空：英語書需要8個空中5個：4

英語書不挨著排的概率：尸=4津=Z

有99

26.

?1?1412

22

^5ζ=(A)-÷(ir+3×(-)+l=-×2-2+-+l=-

24393，

27.

(1)VBC=V5tsinC=2sin

由正弦定理得“8=型粵￡=2石

SmA

(2)由余弦定理得：

XB2+XCj-βCj2√5

COS4-----------------------=

2AB-AC5

ΛsinA=4，sin2A≡g,cos24??

則sin(2y4--)■W

410

28.分析：本題考查面面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法。

(1)推導出CDLAB,AB±AC,由此能證明平面ABD_L平面

ACDo

(2)取BC中點0,以0為原點，過0作CD的平行線為X軸，OC

為y軸，OA為Z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角

A-BD-C的正切值。

解答:

證明：（I）?.?面ABCJ_底面BCD,ZBCD=90o,面ABCn面

BCD=BC,y

.?.CD_L平面ABC,ΛCD±AB,

VZBAC=90o,ΛAB±AC,

VAC∩CD=C,

平面ABDL平面ACDo

解：（∏）取BC中點0,＜面ABC_L底面BCD,NBAC=90°,

AB=AC,

ΛAO±BC,.?.AOL平面BDC,

以O(shè)為原點，過O作CD的平行線為X軸，OC為y軸，OA為Z軸,

建立空間直角坐標系，

A(0,0,√2a),B(0,-√2a,0),D,√2a,0),

O

AB=(0,-√2a,-√2a),啟=√2a,-√2a),

O

設(shè)平面ABD的法向量盛=(x,y,z),

?AB=-y∕2ay—y∕2az=OTr

則_+L,取y=1,得九=(-√δ,1,-1),

~n?AD—='H+χ∕2αt/—?∕2az=O

平面BDC的法向量有=(00,1),

設(shè)二面角A-BD-C的平面角為仇

C?m?^n?1/I2χ∕7CL

5!kose=?--------=——,sinθ=/1—(——)=——,tanθ=√7.

∣m∣?∣n∣2√24V2√^2√2

.?.二面角A-BD-C的正切值為0.

y3≈4x

29.由已知得Lr=3x+掰

整理得(2x+m)2=4x

gp4xa+4(w-l)x+ma=0

m2

.?+?=-(w-l).X?=-

..14

再根據(jù)兩點間距離公式得

Ja

\AB\-71+2y∣(xl+x)-4X1X3=石y{↑-2m=2-75

3

m=-

2

30.

3不、.4

∞sα=——,α∈(―,∕r),???Slna=一

525

.?.cos(α+-)=cosacos衛(wèi)一Sinasin-

666

3√3+4

5252IO

31.由題意可設(shè)所求拋物線的方程為i=2Pa-3)3>0)

y-3=-2

準線方程為2

則y=-3代入得：p=12

所求拋物線方程為χ2=24(y-3)

32.

y'=4x

由已知得

?=3x÷6

整理得(2x+b)2=4X

即4√+4(b-l)x÷J>,=0

,X∣+XLCbT),x∣x=—

24

再根據(jù)兩點間距離公式得

2

IABI=Jl+2十七)2-4xlx2=V57，-2b=2√5

33.V(1)這條弦與拋物線兩交點4孫丹?(孫R.?.W=12x1M=12xa

???(切-力)(必+%)=12(X72)???弦的中點為Md,2)

.y-y12126_.

??-i------2=---------=-----=-=?—2=2(X-1)

X}-X2??+yi2%2

，弦所在的直線方程為3χ-y-l=0

(2).,.<v2=—12xX得Gx-D2-12x=0Λ9√-18x+l=0

3x-?-1=O

：.弦長/=√i+9^4-4×∣=√iδ×^^=竽

34.(1)-l<x<l

(2)奇函數(shù)

(3)單調(diào)遞增函數(shù)

35.

解:設(shè)組成等差數(shù)列均三個數(shù)為a-d,a+d依題意

a—d+a+a+d=15

(a-d+l×α+d+9)=(α+3『

得:a=5,和d=2或d=—10

當a=5,d=2時,這三個數(shù)分別是3,5,7

當a=5,d=-10時,這三個數(shù)分別是15,5,—5

36.

：1)記摘IWC的半焦距為C.由發(fā)意.得z,

.C√3.

=La=爹.<''=/-bil*Wα-2M=1?所以

林圓C的方鍛為f+/=1.

(2)由(D知.府IWC的方程］+y，=i.*g的

方程為一+/=5.留心到在線/的距離d=

晨〒US.所以宜級/被留/+V?5所敏得

的弦長為275-(73)?≈2√2.

37.

解：⑴依題意得，“可回收垃圾”共有4+19+2+3=28(噸)

其中投放正確的，即投入了“可回收垃圾”箱的有19噸

19-19

所以，可估計“可回收垃圾”投放正確的概率為：19+4+2+3—28

(2)據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計，總共抽取了IOO噸生活垃圾，其巾“廚余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃

圾”,“其他垃圾”投放正確的數(shù)量分別為24噸，19噸，14噸，13%故生活垃圾投放正

確的數(shù)量為24+19+14+13=70噸，所以，生活拉圾投放錯誤的總量為IOo-70=30噸，

100-(19+24+14+13)_3

所以生活垃圾投放錯誤的概率：-----ioo----=Io

38.⑴設(shè)每噸的平均成本為W(萬元/噸)，ω=y∕x=x∕10+4000∕x-30>

C/?4000

?-30=10,當且僅當x∕10M000∕x,x=200噸時每噸成本最低為

10萬元.

(2)設(shè)年利潤為u萬元u=16x-(x2/10-30x+4000)=-x2/10+46x-4000=-1/10(x-

230)2+1290,當乂=230時，UmaX=I290,故當年產(chǎn)量為230噸時，最大年利

潤為1290萬元.

39.

9+ó()

由

∣X-4∣-∣4?Λ∣≠()

xeR,

解得-β.χ≠0

X≠O

,這困數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,

√9÷(-Λ)2

又f(-X)=------------------r

∣.,r-4∣-∣4-.t∣

J9+.J

=----------------------

l-t÷4I-∣-t-4I

2

√9+x

Iv-4I-I4+vI

=T（X）

，函數(shù)f（X）是苛函數(shù)

40.

(I)Q〃=1,c=V5.cos∕C=?

???由余弦定理得

a2+爐-C2

COSNC=

2ab

a2+l2-iβV

TFy

cos-=-----------'L

32χ∣?“

I標+1-3

.?.-=------------

2Ia

解得:α=T（舍去）或ci=2

：.〃=2

（2面⑴知。=2

又Q∕）=1,C=√5

.?.由余弦定理得

2士T6√3

24。

41.(1)設(shè)數(shù)列｛a∏｝的公差為d則aι=d,a∏=aι+(n-l)d=nd,?

Sn=a1+a2+…+aιo=55d=55,解得d=l,所以an=n,Sn=(1+n)n∕2=l∕2n(n+1)

(2)由⑴得b∏=2∕n(n+1)=2(1∕n-l∕n)所以Tn=2(l-1/2)+2(1/2-1/3)+2(1/3-

1/4)+...+2(l/n-1/n+l)=2(1-l∕n+l).由于2(l-l∕n+l)隨n的增大而增大，可

得l≤Γn<2.即Tn的取值范圍是[1,2).

42.

(1)由楠網(wǎng)的定義得.2ɑ≈∣PF11+

PHl=6+2=8.α=4又NPF2F1=90、

sJJ2

.?.(2c)=PFtΓ-!PFi∣=32.C≡=8.Λ6=

16—8=8Λ桶PllC的方程為÷?^=?-

Ib0

(2)答：存在.假設(shè)存住宜線1滿足題設(shè)條件.；

圓M,∕+y'+4?r-2y=0.??圓心M(-2,D不

在工軸上二直線/_LH軸通然不滿足條件.當直

線I與?r軸不垂直時,設(shè)直線/的方程為丫一1一

y—I=A(Jr+2)

A(Jr+2).由?*力消去y得(2-+

——十—=1

168

?)j-1÷4?(2*+DJ+2(2*+DJ-16=0.△-

16*j(2*+D*-4(2**+1)[2(