不等式中恒成立問題在不等式的綜合題中，經常會遇到當一個結論對于某一個字母的某一個取值范圍內所有值都成立的恒成立問題。恒成立問題的根本類型：類型1：設，〔1〕上恒成立；〔2〕上恒成立。類型2：設〔1〕當時，上恒成立，上恒成立〔2〕當時，上恒成立上恒成立類型3：。類型4：恒成立問題的解題的根本思路是：根據條件將恒成立問題向根本類型轉化，正確選用函數法、最小值法、數形結合等解題方法求解。一、用一次函數的性質對于一次函數有：例1：假設不等式對滿足的所有都成立，求x的范圍。解析：我們可以用改變主元的方法，將m視為主變元，即將元不等式化為：，；令，那么時，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。二、利用一元二次函數的判別式對于一元二次函數有：〔1〕上恒成立；〔2〕上恒成立例2：假設不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應用上面的結論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數含有參數m，所以要討論m-1是否是0。〔1〕當m-1=0時，元不等式化為2>0恒成立，滿足題意；〔2〕時，只需，所以，。三、利用函數的最值〔或值域〕〔1〕對任意x都成立；〔2〕對任意x都成立。簡單計作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問題實質上是一類求函數的最值問題。例3：在ABC中，恒成立，求實數m的范圍。解析：由，，恒成立，，即恒成立，例4：〔1〕求使不等式恒成立的實數a的范圍。解析：由于函，顯然函數有最大值，。如果把上題稍微改一點，那么答案又如何呢？請看下題：〔2〕求使不等式恒成立的實數a的范圍。解析：我們首先要認真比照上面兩個例題的區別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得的最大值取不到，即a取也滿足條件，所以。所以，我們對這類題要注意看看函數能否取得最值，因為這直接關系到最后所求參數a的取值。利用這種方法時，一般要求把參數單獨放在一側，所以也叫別離參數法。四：數形結合法對一些不能把數放在一側的，可以利用對應函數的圖象法求解。例5：，求實數a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標系中做出兩個函數的圖象，如果兩個函數分別在x=-1和x=1處相交，那么由得到a分別等于2和0.5，并作出函數的圖象，所以，要想使函數在區間中恒成立，只須在區間對應的圖象在在區間對應圖象的上面即可。當才能保證，而才可以，所以。由此可以看出，對于參數不能單獨放在一側的，可以利用函數圖象來解。利用函數圖象解題時，思路是從邊界處〔從相等處〕開始形成的。例6：假設當P(m,n)為圓上任意一點時，不等式恒成立，那么c的取值范圍是〔〕A、B、C、D、解析：由，可以看作是點P(m,n)在直線的右側，而點P(m,n)在圓上，實質相當于是在直線的右側并與它相離或相切。，應選D。其實在習題中，我們也給出了一種解恒成立問題的方法，即求出不等式的解集后再進行處理。以上介紹了常用的五種解決恒成立問題。其實，對于恒成立問題，有時關鍵是能否看得出來題就是關于恒成立問題。下面，給出一些練習題，供同學們練習。練習題：1、對任意實數x，不等式恒成立的充要條件是_______。

2、設上有意義，求實數a的取值范圍.。3、當恒成立，那么實數a的范圍是____。4、不等式：對一切大于1的自然數n恒成立，求實數a的范圍。恒成立問題的解法“恒成立”問題是數學中常見的問題，在高考中頻頻出現，是高考中的一個難點問題.恒成立問題涉及到一次函數、二次函數的性質和圖像，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用，因此也成為歷年高考的一個熱點.一、恒成立問題常見的題型1.由等式或不等式恒成立求參數的值或取值范圍2.證明不等式恒成立二、解決恒成立問題常用的方法1.函數性質法〔1〕一次函數：給定一次函數，假設在內恒有，那么根據函數的圖像〔直線〕可得上述結論等價于ⅰ〕或ⅱ〕，亦可合并成，如圖1所示.同理，假設在內恒有，那么有.圖SEQ圖表\*ARABIC1【例1】〔2007年·遼寧卷·文22)函數，，且對任意的實數均有，.(Ⅰ)求函數的解析式；(Ⅱ)假設對任意的，恒有，求的取值范圍.〖解析〗(Ⅰ)略〔Ⅱ〕由(Ⅰ)，所以.令，那么即.由于，那么有.解得.〔2〕二次函數：給定二次函數，假設大于0恒成立，那么有，如圖2所示.〔注：恒成立〕圖SEQ圖表\*ARABIC2假設是二次函數在指定區間上的恒成立問題，還可用韋達定理以及根與系數的分布知識求解.【例2】〔2007年·江蘇卷9)二次函數的導數為，，對于任意實數都有，那么的最小值為〔〕 A． B． C． D．〖解析〗由題意知.所以〔當且僅當時取“=”號〕.【例3】〔2007年·重慶卷·理13)假設函數的定義域為，那么的取值范圍為．〖解析〗函數的定義域為，即在恒成立，也即恒成立，所以有.解得.【例4】〔2007年·陜西卷·理20〕設函數，其中為實數.(Ⅰ)假設的定義域為,求的取值范圍；(Ⅱ)當的定義域為時，求的單減區間.〖解析〗(Ⅰ)〔解法同例3〕(Ⅱ)略〔3〕其它函數：恒成立〔注：假設的最小值不存在，那么恒成立的下界大于0〕；恒成立〔注：假設的最大值不存在，那么恒成立的上界小于0〕.【例5】〔2007年·山東卷·理22)設函數,其中.(Ⅰ)當，判斷函數在定義域上的單調性；(Ⅱ)求函數的極值點；〔Ⅲ〕證明對任意的正整數,不等式)都成立.〖解析〗(Ⅰ)、〔Ⅱ〕略〔III〕當時，.令，那么在上恒正，∴在上單調遞增，當時，恒有.即當時，有.對任意正整數，取得.【例6】〔2007年·重慶卷·理20)函數在處取得極值，其中、為常數. 〔Ⅰ〕試確定、的值； 〔Ⅱ〕討論函數的單調區間； 〔Ⅲ〕假設對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.〖解析〗(Ⅰ)、〔Ⅱ〕略〔III〕由〔Ⅱ〕知，在處取得極小值，此極小值也是最小值.要使恒成立，只需.即，從而.解得或.所以的取值范圍為.【例7】〔2007年·浙江卷·理22)設，對任意實數，記.〔Ⅰ〕求函數的單調區間；〔Ⅱ〕求證：①當時，對任意正實數成立；②有且僅有一個正實數，使得對任意正實數成立.〖解析〗(Ⅰ)略〔Ⅱ〕①令，那么，當時，由得.當時，；當時，.所以在內的最小值是.故當時，對任意正實數成立.【例8】〔2007年·福建卷·理22)函數，.〔Ⅰ〕假設，試確定函數的單調區間；〔Ⅱ〕假設，且對于任意，恒成立，試確定實數的取值范圍；〔III〕設函數，求證：.〖解析〗(Ⅰ)、〔III〕略〔Ⅱ〕由可知是偶函數．于是對任意成立等價于對任意成立．由得．①當時，．此時在上單調遞增．故，符合題意．②當時，．當變化時的變化情況如下表：單調遞減極小值單調遞增由此可得，在上，．依題意，，又,∴．綜合①，②得，實數的取值范圍是．【例9】〔2007年·安徽卷·理18)設，〔Ⅰ〕令，討論在內的單調性并求極值；〔Ⅱ〕求證：當時，恒有．〖解析〗(Ⅰ)略〔Ⅱ〕證明：由知，的極小值．于是由上表知，對一切，恒有．從而當時，恒有，故在內單調增加．所以當時，，即．故當時，恒有．〔4〕函數的奇偶性、周期性：為奇函數恒成立；為偶函數恒成立；為周期函數恒成立.【例10】〔2007年·寧夏卷·理14)設函數為奇函數，那么．〖解析〗因為函數為奇函數，所以恒成立，即恒成立恒成立恒成立，故．2.別離參數法將含參數的恒成立式子中的參數別離出來，化成形如：或或恒成立的形式.那么恒成立的范圍是的值域；恒成立；恒成立.假設在等式或不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，那么可將恒成立問題轉化成函數的最值問題求解.【例11】〔2007年·山東卷·文15)當時，不等式恒成立，那么的取值范圍是.〖解析〗當時，由得.令，那么易知在上是減函數，所以，∴.【例12】〔2007年·江西卷·理12)設在內單調遞增，，那么是的〔〕 Ａ．充分不必要條件 Ｂ．必要不充分條件 Ｃ．充分必要條件 Ｄ．既不充分也不必要條件〖解析〗由題意知在恒成立，那么對任意的恒成立.∵時，，∴的最大值要小于-5，不妨設為，∴不可能推出，但由可推出.故答案B正確.【例13】〔2007年·上海卷·理19)函數，常數．(Ⅰ)討論函數的奇偶性，并說明理由；(Ⅱ)假設函數在上為增函數，求的取值范圍．〖解析〗(Ⅰ)略〔Ⅱ〕函數在上為增函數在上恒成立在上恒成立在上恒成立．∵，∴，∴，即的取值范圍為．3.數形結合法