大學文科數學福建師范大學數計學院什么是數學？

數學是研究現實世界的數量關系和空間形式的一門科學（恩格斯）數學的地位？

數學是科學的皇后（高斯）數學的分支

算術、高等代數、歐式幾何等25個分支§1微積分的基礎牛頓的流數法

變量->“流量”

變量的微小變化->“瞬”

認為“瞬”是非零增量，又認為被它所乘的那些項可以算作沒有。極限、實數、集合在微積分中的作用

柯西創建“極限理論”+魏爾斯特拉斯

無窮小=以零為極限的變量

嚴格極限理論

極限是微積分的理論基礎，極限的運算封閉性。例：1，1.4，1.41，1.414，…實數系的建立及領域概念NZQRC

有理數處處稠密，但不是完全覆蓋數軸

不是有理數！

實數具有連續性，在微積分中所指的數均值實數。領域概念

以點為中心，為半徑的鄰域§1.2微積分的研究對象——函數

伽利略經過精確的實驗，測得自由落體的運動方程：

在力學中，質量為m，速度為v的物體運動時所具有的能量（稱為動能）在電學中，電流強度為I

的電流通過電阻為R的導線時，在單位時間內所產生的熱量在幾何中半徑為r的圓的面積上述這些變量之間的關系都有一個相同的抽象形式這就是一個函數關系式。

如果將這個函數關系的性質研究清楚了，那么前面的那些實際變量之間的關系的性質也就清楚了.

數學的一個特點是它的高度抽象性，隨之也就具有應用的廣泛性.下面給出函數的一般定義.一、函數概念x稱為自變量，y稱為因變量.注意：例如，是定義在R上的一個函數，它的值域是確定函數的兩要素：定義域、值域和對應法則。例1

判斷下列各對函數是否相同？

相同不同(定義域不同)不同(對應法則不同)相同不同(定義域不同)(1)根據實際問題；(2)自然定義域：使算式有意義的一切實數值.如何求函數的自然定義域？

(a)分式的分母不等于零；

(b)偶次根號內的式子應大于或等于零；

(c)對數的真數應大于零；

(e)若函數的表達式由多項組成,則定義域為各項定義域的交集；(f)分段函數的定義域是各段定義域的并集.定義域的確定：例2求下列函數的(自然)定義域。

因此，函數的定義域為解即定義域為因此，函數的定義域為1）圖象法2）表格法3）解析法(公式法)二、函數的表示法

在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同的式子來表示的函數,稱為分段函數.分段函數這也是分段函數，其定義域為

yOx11-12-2-1解例31)符號函數幾個分段函數的例子.2)取整函數y=[x][x]表示不超過x的最大整數.12345-2-4-4-3-2-1-1-3xyo1234o有理數點無理數點?1xy3)狄利克雷函數(Dirichlet)函數的幾種基本特性一、有界性M-Mba則稱函數有界。ba函數的有界性還可以細分為：

則稱函數f(x)在I上下有界

.M2

M1

M1稱為

f(x)在I上的下界。M2稱為

f(x)在I上的上界。定理：函數f(x)有界當且僅當f(x)上有界且下有界。則稱函數f(x)在I上上有界

.

因為存在M=1，使對任意x

(-

,+

)，有|sinx|

1，所以y=sinx是(-

,+

)內的有界函數。y

=sinx有界嗎?二、單調性

例如,函數y=x

3在(-

,+

)內單調增加。

而函數

y

=

x

2

在區間(-

,0)內單調減少；在區間(0,+

)內單調增加。三、奇偶性例1

判斷下列函數的奇偶性：

偶函數非奇非偶偶函數奇函數奇函數奇函數例2是偶函數；而是奇函數。證明是容易的。

由此可證：定義域關于原點對稱的函數必可表示為一個偶函數和一個奇函數之和：偶函數的圖形關于y軸對稱。yxox-x具有奇偶性的函數的圖形有某種對稱性：yxox-x奇函數的圖形關于原點對稱。例3解故f(x)是偶函數.2-11四、周期性(通常周期函數的周期是指其最小正周期).注意：并非任意周期函數都有最小正周期.如狄利克雷函數任何正有理數都是它的周期,但并不存在最小的正有理數。2.2 逆向思維的一例——

反函數

定義

設函數y=f

(x)的定義域為D，值域為Z。如果對于每個y

Z，存在唯一x

D，使f

(x)=y，則x是一個定義在Z上的函數，稱為

y=f

(x)的反函數，記為x=f-1(y)。函數y

=f

(x)與函數x

=f-1(y)是互為反函數。將x與y互換，就得所求反函數為例1

求y

=

3x-1的反函數。解

直接函數與反函數的圖形關于直線對稱.

例如，在(-

,+

)內，y

=

x2

不是一一對應的函數關系，所以它沒有反函數。一個函數若有反函數，它必定是一一對應的函數關系。

在(0,+

)內y

=

x2有反函數

在(-

,0)內，y

=

x2有反函數

x-x

y解例2

求函數xyO的反函數。所以所求反函數為例3與互為反函數。1.常數函數2.3 基本初等函數

常函數的定義域為(-

,+

)，圖形為平行于x軸,在y軸上截距為C的直線。

冪函數的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+

)內總有定義。冪函數圖形都經過(1,1)點。常見的冪函數及其圖形：

2.冪函數

冪函數的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+

)內總有定義。冪函數圖形都經過(1,1)點。常見的冪函數及其圖形：

2.冪函數

冪函數的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+

)內總有定義。冪函數圖形都經過(1,1)點。常見的冪函數及其圖形：

2.冪函數

冪函數的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+

)內總有定義。冪函數圖形都經過(1,1)點。常見的冪函數及其圖形：

2.冪函數

冪函數的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+

)內總有定義。冪函數圖形都經過(1,1)點。常見的冪函數及其圖形：

2.冪函數

冪函數的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+

)內總有定義。冪函數圖形都經過(1,1)點。常見的冪函數及其圖形：

2.冪函數3.指數函數

定義域為(-

,+

)，值域為(0,+

)，都通過點(0,1),當a>1時，函數單調增加；當0<a<1時，函數單調減少。4.對數函數

對數函數是指數函數y=ax的反函數,定義域為(0,+

),圖形通過(1,0)點,當a>1時,函數單調增加；當0<a<1時,函數單調減少。對數的基本性質：換底公式對數恒等式5.三角函數正弦函數余弦函數

y

=

sinx與y

=

cosx的定義域均為(-

,+

)，均以2p為周期。y

=

sinx為奇函數，y

=

cosx為偶函數。它們都是有界函數。定義域:x

(2n+1)p/2。周期:p。奇函數。正切函數定義域:x

np。周期:p。奇函數。余切函數正割函數余割函數6.反三角函數定義域：值域：單調增加函數；奇函數.定義域：值域：單調減少函數；無奇偶性.xy定義域：值域：單調增加函數；奇函數.反余切函數xy定義域：值域：單調減少函數；無奇偶性.反三角函數值的確定：求arcsinx值的方法：

例1例2類似地有2.4復合函數例如：可看作由復合而成。注：不是任何函數都可以復合成一個函數。不能復合。和u稱為中間變量。

注意復合次序：

復合可以多次進行。例1例2的復合。

重要問題：把一個復雜的函數分解為幾個簡單函數的復合運算或四則運算。例3例4例5(1)解(2)例6解所以于是

由基本初等函數經過有限次的四則運算或復合運算得到