2022-2023學年遼寧省大連市沙河口區、甘井子區八年級（下）

期中數學試卷

1.若二次根式有意義，則實數X的取值范圍是（）

A.%≥2B.%>2C.%≥0D.%>0

2.若正方形的面積為S,則其邊長可表示為（）

A.4SB.JC.y∕~SD.

3.下列計算正確的是（）

A.?/-2+√-3=√^^5B.3y∕~~2—'J~2=3C.y∕-8-y∕~2—4D.

√^2÷2√^2=2

4.如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形A,B,C,若正方形B,C/\

的面積分別為6,18,則正方形A的面積是（）?

A

A.2√-3B.2√-6C.12D.24

5.如圖，一木桿在離地面3機處折斷，木桿頂端落在離木桿底端

4〃?處，則木桿折斷之前的高度是（）

A.4m

B.5m

C.

D.9m

6.如圖,O、E、F分別是A4BC三邊的中點，若Na=60°,48=45°,

則4EDF的度數為（）

A.45°

B.60°

C.75。

D.80°

7.由下列長度的三條線段組成的三角形不是直角三角形的是（）

A.1,2,3B.3,4,5

C.1,1,√-2D.y∕~2,q,√-5

8.如圖，在△4BC中，CA=CB,NaCB=90。，CDj.4B于Q,

若CC=α,貝∣JC4=（）

ADB

A.√-2aD.2a

9.為了保證鐵路的兩條直鋪的鐵軌互相平行，只要使互相平行L.

的夾在鐵軌之間的枕木長相等就可以了.這其中的數學道理是逐

A.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

B.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

C.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

D.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

10.如圖，把一個長方形的紙片對折兩次，然后剪下一個角.要得到一個

正方形，剪口與折痕所成銳角的大小為()

A.30。B.45。C.60oD.90°

11.化簡”的結果是.

12.如圖,矩形ABCO的面積為4,若48=2/2,則BC=.r

13.己知”是正整數，J礪是整數，則”的值可以是.(寫出一個即可

如圖，在平面直角坐標系中有兩點4(3,0)和B(0,2),則

AB的長是

15.當α=l,b=-2,C=—2時，代數式上』三三的值是

2a

16.我國古代數學家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理,成為中國

古代數學成就的標志之一.如圖，若弦圖中四個全等的直角三角形的兩條

直角邊長分別為3和4,則中間小正方形的對角線長為.

17.如圖，在平面直角坐標系中，點4(-3,0),B(3,0),C(3,2),如果以A,B,C,。為頂點

的四邊形為平行四邊形，且點。在第三象限，那么點。的坐標是.

18.如圖，兩個長為12,寬為3的矩形紙條傾斜地重疊著.若N4DC=

60。，則疊合部分四邊形ABCO面積的是.

19.計算：

(】)唇昌3

(2)<6(√7-√^6)+(C-/7產

20.已知％=√~5+1，y=7"與—1，求下列各式的值：

(l)x2+2xy+y2；

(2)x2-y2.

21.如圖，在。ABCD中，對角線AClBC,過點。作DEJ.BC于E.

求證：四邊形ACEO是矩形.

22.如圖，在四邊形ABCO中，NB=90。，AB=4,BC=3,CD=12,AD=13,求四邊

形ABC。的面積.

23.(1)求證：菱形兩對角線的平方和等于邊長平方的四倍.

(2)若將(1)中命題題設中的“菱形”改為“平行四邊形”，其它條件不變，可以得到的真命

題是：(直接寫出結論

)

24.(1)如圖1,若NMoN=90。,AB=A1B，，氤D,0'分別是如峰A'B'的中點，連接0￡>,

OD',可以判斷。。與0。的數量關系是.(直接寫出結論)

(2)如圖2,若NMON=60。，AB=6,且。4=。8,。是AB上一動點，連接。。，以。。、

AD為鄰邊，OA為對角線作平行四邊形ODAE,則對角線DE的最小值為.(直接寫出

結論)

(3)如圖3,若。是AB的一點，以08,OA為邊，在NMoN的內部作平行四邊形AOBC,以

OD,DA為邊，以OA為對角線作平行四邊形OD4E,連接EC,交AB于點凡求證:①EF=CF,

@BD=2AF.

25.數學課上，師生們以“利用正方形和矩形紙片折疊特殊角”為主題開展數學活動.

(1)操作判斷

小明利用正方形紙片進行折疊，過程如下：

步驟①：如圖1，對折正方形紙片ABCr）,使AD與BC重合，得到折痕E凡把紙片展平；步

驟②：連接AF,BF.可以判定AABF的形狀是：.（直接寫出結論）

小華利用矩形紙片進行折疊，過程如下：

如圖2,先類似小明的步驟①，得到折痕EF后把紙片展平；在BC上選一點P,沿AP折疊

AB,使點8恰好落在折痕EF上的一點M處，連接AM

小華得出的結論是：乙BAP=?PAM=?MAD=30。.請你幫助小華說明理由.

（2）遷移探究

小明受小華的啟發，繼續利用正方形紙片進行探究，過程如下：

如圖3,第一步與步驟①一樣；然后連接AF,將Ao沿AF折疊，使點。落在正方形內的一

點、M處,連接&W并延長交BC于點P,連接AP,可以得到：?PAF=。（直接寫出

結論）；同時，若正方形的邊長是4,可以求出8P的長，請你完成求解過程.

（3）拓展應用

如圖4,在矩形ABC。中，AB=6,BC=8.點P為BC上的一點（不與B點重合，可以與C

點重合）,將4ABP沿著AP折疊,點B的對應點為M落在矩形的內部,連結MA,MD,當aMAD

為等腰三角形時，可求得BP的長為.（直接寫出結論）

答案和解析

1.【答案】A

【解析1解：由題意得：x-2≥0,

解得：X≥2,

故選：4

根據二次根式的被開方數是非負數列出不等式，解不等式得到答案.

本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開方數是非負數是解題的關鍵.

2.【答案】C

【解析】解：設正方形邊長為“，則α2=s,

.??a=y∕-S.

故選：C.

根據正方形的面積公式計算.

本題考查了正方形的性質，解題的關鍵是熟練掌握正方形的面積公式.

3.【答案】C

【解析】解：4，五與C不能合并，所以A選項不符合題意；

B.3√7-√7=2/7,所以B選項不符合題意；

C.√^8?=4,所以C選項符合題意；

D.y∕~2÷2<2=所以。選項不符合題意.

故選：C.

根據二次根式的加減乘除法運算的計算法則計算即可求解.

本題考查了二次根式的混合運算，在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次

根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍.

4.【答案】D

【解析】解：如圖，

???正方形SC的面積分別為6,18,

.?.DF2=6,EF2=18,

V?DFE=90°,

?DE2=DF2+EF2=6+18=24,

???正方形4的面積=DE2=24,

故選：D.

222

由正方形的面積得。F?=6,EF=18,再由勾股定理得DE?=DF+EF=24,即可得出結論.

本題考查了勾股定理以及正方形的面積，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

5.【答案】C

【解析】解：???一木桿在離地面3團處折斷，木桿頂端落在離木桿底端4,"處，

???折斷的部分長為：√32+42=5，

???折斷前高度為5+3=8(m).

故選：C.

由題意得，在直角三角形中，知道了兩直角邊，運用勾股定理即可求出斜邊，從而得出木桿折斷

之前的高度.

此題考查了勾股定理的應用，主要考查學生對勾股定理在實際生活中的運用能力.

6.【答案】C

【解析】解：?：在AABC中，44=60。，NB=45°,

.?.ZC=180°-?B-?A=180°-45°-60°=75°.

■-D.E、尸分別是AABC三邊的中點，

???DE/∕BC,DF//AC,

四邊形QFCE是平行四邊形，

.?.Z.EDF=Ne=75°.

故選：C.

先根據三角形內角和定理求出NC的度數，再由E、F分別是AABC三邊的中點得出DE〃BC,

DF//AC,從而可得四邊形D尸CE是平行四邊形，進而可得出結論.

本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180°是解答此題的關鍵.

7.【答案】A

【解析】解：1+2=3,

???不能組成三角形，

故A符合題意；

B、V32+42=25,52=25,

32+42=52,

???能組成宜角三角形，

故8不符合題意；

22

C,■：I+I=2,(ΛΓΣ)2=2.

.?.I2+I2=(")2,

???能組成直角三角形，

故C不符合題意；

2

D,?.■(√7)+(G2=5,(ΛΓ5)2=5,

???(√^)2+(O=(G)2,

???能組成直角三角形，

故。不符合題意；

故選：A.

根據勾股定理的逆定理進行計算，逐一判斷即可解答.

本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵.

8.【答案】A

【解析】解：???C4=CB,?ACB=90。，

??A=Z-B=45°,

XvCDIABf

????ADC=90°,

????ACD=180°—45°-90°=45°,

??.AD=CD=α,

?CA=√AD2+CD2

—?∕~2a>

故選為：A.

根據等腰直角三角形的性質可得NA=45。，從而推出三角形A。C為等腰直角三角形，這樣便可以

利用勾股定理求出AC.

本題考查了等腰直角三角形的性質及勾股定理，關鍵是證明出DC=AD,再用勾股定理計算.

9.【答案】D

【解析】解：這其中的數學道理是：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

故選：D.

根據平行四邊形的判定定理可得答案.

此題主要考查了平行四邊形的判定方法，關鍵是掌握平行四邊形的判定定理.

10.【答案】B

【解析】解：設剪口與折痕所成銳角的大小為α,貝M為45。就可以得到一個正方形.

根據題目中的折疊方法，我們可知剪下的是一個四邊相等的四邊形，即菱形，

菱形里只要有一個角是90°就是正方形.

展開四邊形后的角為：2a=90。，即a=45。.

故選：B.

根據翻折變換的性質及正方形的判定進行分析從而得到最后答案.

本題考查了剪紙問題、通過折疊變換考查正方形的有關知識及學生的邏輯思維能力，解答此類題

最好動手操作，易得出答案.

11.【答案】5

【解析】解：J（一5）2=I一5|=5.

根據二次根式的性質解答.

解答此題，要弄清二次根式的性質：G=Ial的運用.

12.【答案】√^2

【解析】解：???矩形ABCQ的面積為4,

.?.ABBC=4,

?.?AB=2√r^,

4L

:?BC=-■===??

2y∏,

故答案為：?∕~2.

根據矩形的面積公式，即可得到BC=白，然后分母有理化即可.

本題考查了矩形的面積，二次根式的除法，能正確分母有理化是解此題的關鍵.

13.【答案】2（答案不唯一）

【解析】解:8=23,

???門是正整數，/而是整數，

???∏的值可以是2.

故答案為：2（答案不唯一）.

先求出8=23,再根據二次根式的性質求出答案即可.

本題考查了二次根式有意義的條件，能熟記二次根式的性質是解此題的關鍵.

14.【答案】√^3

【解析】解：???點4(3,0),B(0,2),

?OA—3,OB=2,

-Z-AOB=SOo,

.?.AB=√OA2+OB2=√32+22=√^13,

即AB的長為S3，

故答案為：√13.

由題意得04=3,OB=2,再由勾股定理求出AB的長即可.

本題考查了勾股定理以及坐標與圖形性質，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

15.【答案】1+，口

【解析】解：???α=1?b=-2,c=-2,

：.b2—4ac-(―2)2—4×1×(—2)=12,

一b+Jb-4ac2+2"L

2a2×1

故答案為：I+/?.

先計算〃-4ac的值，然后根據二次根式的性質計算代數式的值.

本題考查了解一元二次方程：記住一元二次方程的求根公式是解決問題的關鍵.也考查了二次根

式的性質與化簡.

16.【答案】yΓ2

【解析】解：由題意可得，

中間小正方形的邊長為4-3=1,

中間小正方形的對角線長為JN+/=y∕-2,

故答案為：√^^2.

根據題意可知：中間小正方形的邊長為4-3=1,然后根據勾股定理即可得到中間小正方形的對

角線的長.

本題考查勾股定理的證明，明確題意，利用數形結合的思想是解題的關鍵.

17.【答案】(-3,-2)

【解析】解：???B(3,0),C(3,2),

.?.BC〃y軸，BC=2,

???以A,B,C,力為頂點的四邊形為平行四邊形，且點。在第三象限，

AD/∕BC,AD=BC=2,

???AD∕∕y軸，

VA(-3,0),

點。的坐標是(-3,-2),

故答案為:(-3,-2).

先由B(3,0),C(3,2),證明BC〃y軸，BC=I,再由以A,B,C,D為頂點的四邊形為平行四邊

形，且點。在第三象限，證明4。=BC=2,4)〃y軸，則。(一3,-2),于是得到問題的答案.

此題重點考查圖形與坐標、平行四邊形的判定等知識，由B(3,0),C(3,2)證明BC〃y軸，BC=2是

解題的關鍵.

18.【？全案】δV^^3

【解析】W：-CD//AB,AD//CB1

，四邊形ABCO是平行四邊形，

作AEj.CD于點E,CFlAD于點R則4CFD=乙4E。=90°,

兩個矩形的寬都是3,

:.CF=AE=3f

在ACFD和AAED中，

NCDF=Z-ADE

?CFD=?AED,

CF=AE

???△CFZWAAED(44S),

:?CD=AD,

????ADC=60°,

?Z-DAE=30°,

.?.DE=^AD,

AD2-DE2=AE2,

.?.AD2-(g∕W)2=32,

.?.CD=AD=2「，

?,?S四邊形ABCD~CD-AE—2√3×3=6V3,

故答案為：6，至

先證明四邊形ABeZ)是平行四邊形，作AEICO于點E,CF_L4。于點F,則CF=AE=3,再證

明ACFD絲AAED,貝∣JCD=TW,由ZJIED=90°,?ADC=60",得ZDAE=30°,則DE=TAD,

所以4。2—=32,求得CD=AD=2C，即可求得四邊形ABC。面積的是6√^,得到問

題的答案.

此題重點考查平行四邊形的判定與性質、平行四邊形的面積公式、全等三角形的判定與性質、直

角三角形中30。角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵.

19.【答案】解：(i)J]÷J]-(q)2

(2)√^6(√^-√^^6)+(C-√^^6)2

=3<2-6+3-6√^2+6

=3—3??∕-2.

【解析】(1)先算乘方，二次根式的除法，再算減法即可求解；

(2)根據二次根式的乘法，完全平方公式計算即可求解.

本題考查了二次根式的混合運算，在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次

根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍.

20.【答案】解：(1)/+2Yy+V

=(X+y)2

=(y∕~3+1+√I-1)2

=(2門)2

=12；

(2)X2-y2

=(%+y)(x—y)

=+1+q-1)X+1--1)]

=2√^3X2

=4>∕-3.

【解析】(1)先把所求的式子進行整理，再代入相應的值運算即可；

(2)先把所求的式子進行整理，再代入相應的值運算即可.

本題主要考查二次根式的化簡求值，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握.

21.【答案】證明：四邊形ABCO是平行四邊形，

.?.AD//BC,

AD//CE,

?：AC1BC,DE1BC,

.?.AC//DE,

二四邊形ACED是平行四邊形，

V4E=90°,

.?.四邊形ACED是矩形.

【解析】由平行四邊形的性質得AZV/BC,貝IL4D〃CE,由ACJ.BC,DELBC,得AC〃DE,即可

根據平行四邊形的定義證明四邊形ACEZ）是平行四邊形，而ZE=90。，則四邊形4CEZ）是矩形.

此題重點考查平行四邊形的判定、在平面內垂直于同一條直線的兩條直線平行、矩形的判定等知

識，證明4C〃DE是解題的關鍵.

22.【答案】解：連接AC如圖所示：

?.?NB=90°,.?.A4BC為直角三角形，/：

又AB=4,BC=3,≡

???根據勾股定理得：AC=√AB2+CB2=5,?×J-----------------------—

Cυ

又AD=13,CD=12,

.?.AD2=132=169,CD2+AC2=122+52=144+25=169,

.?.CD2+AC2=AD2,

.???ACD為直角三角形，?ACD=90。，

IIll

則S四邊形ABCD-S^ABC+SHACD=]4B-BC+-TlC?CD=-×3×4+-×12×5=36.

【解析】連接AC,在直角三角形ABC中，由AB及BC的長，利用勾股定理求出AC的長，再由

AO及CO的長，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACO為直角三角形，根據四邊形ABCO的面

積=直角三角形ABC的面積+直角三角形ACQ的面積，即可求出四邊形的面積.

此題考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟練掌握定理及逆定理是解本題的關鍵.

23.【答案】平行四邊形兩對角線的平方和等于邊長平方的四倍，是假命題

【解析】解：（1）己知：四邊形ABC。是菱形，

求證：AC2+BD2=4AB2,

證明：四邊形A88是菱形，

■■■AC1BD,AB=BC=CD=DA,

.-.BC2=OB2+0C2,CD2=OC2+OD2,AD2=OA2+OD2,AB=2=OA2+OB2,

.?.AC2+BD2=4AB2；

(2)平行四邊形兩對角線的平方和等于邊長平方的四倍，是假命題，

故答案為：平行四邊形兩對角線的平方和等于邊長平方的四倍，是假命題.

(1)根據菱形的性質解答即可；

(2)根據平行四邊形的性質解答即可.

此題考查菱形的性質，關鍵是根據菱形的對角線互相垂直解答.

24.【答案】OD=0D"3y∏>

【解析】解：(1)乙MoN=90°,

???Δ力。8和4A'OB'為直角三角形,

???點。，D'分別是AB,AB'的中點，

.?.OD=^AB,OD'=^A'B',

VAB=A'B',

.?.OD=OD'.

故答案為：OD=OD'.

(2)記AO與OE交于點C,

四邊形ODAE為平行四邊形，

.?.C為A。的中點，DE=2CD=2CE,

二要使DE最小，即CD最小，

當CDLAB時，CZ)取得最小值，如圖，

????M0N=60SAB=6,S.0A=0B,

；.△AOB為等邊三角形,

?OA—OB=AB=6,Z-OAB—60°,

??.OC=AC=3,Z-ACD=90°-Z-CAD=30°,

在RtMCC中，AD=∣ΛC=p

.?.CD=√AC2-AD2=J32-(∣)2=?-

.?.DE=2CD=3√^3,

???DE的最小值為3C.

故答案為：3√-3.

(3)證明：①如圖，在AB上截取點G,使ZG=BD,

???四邊形AOBC為平行四邊形，

?.AC=OB,AC//0B,

???Z-CAG=Z.OBD9

在44CG和^BoD中，

ZC=OB

Z-CAG=?0BDy

AG=BD

.MACG以BOD(SAS),

CG=0Dt?AGC=?BD0f

???180o-?AGC=180°-乙BDO,即4CFG=乙ODG,

??.CG//OD1

???四邊形OD4E為平行四邊形，

：,DE=OD,AE//0D,

ΛCG=OD=AE9CG//AE9

：,Z-EAF=?CGF,

在△4E尸和AGCF中，

Z-AFE=Z.GFC

?EAF=?CGF,

AE=CG

???△力EFgZkGCF(44S),

??.EF=CF；

②由①知，△4EF咨AGCF,

???AF=FG,

：?AF=2AF=FG,

???BD=AG,

???BD=2AF.

(1)直接利用直角三角形斜邊上的中線性質即可得到結論.

(2)記A。與。E交于點C,由平行四邊形的對角線互相平分可知C為Ao的中點，DE=2CD,由

垂線段最短可知CD1AB時，CQ取得最小值，易得△AOB為等邊三角形，貝(IOC=AC=3,?ACD=

30。，再根據含30度角的直角三角形性質即可得到結果.

(3)①在A8上截取點G,使4G=BD,根據平行四邊形的性質AC=OB,AC//0B,易通過SAS

證明△4CG絲ABOD,CG=0D,/.AGC=?BD0,根據等角的余角相等得4CFG=NODG,于是

CG//0D,進而根據平行四邊形的性質得到CG=。。=4E,CG//AE,以此可通過AAS證明△

AEF^ΔGCF,以此即可得到EF=CF；

②由(I)知,XAEFmxGCF,得到AF=24F=FG,由BD=4G即可證明.

本題主要考查直角三角形斜邊上的中線性質、平行四邊形的性質、垂線段最短、含30度角的直角

三角形性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質，熟記相關知識點及性質，正確作出輔助線，

構建合適的全等三角形解決問題是解題關鍵.

25.【答案】等腰三角形459-3，石或16-24荏

【解析】解：(1)由折疊可知，EF是AB的垂直平分線，

?AF=BF,：.△ABF是等腰三角形；

故答案為：等腰三角形.

由折疊可知：AE=BE=^AB,AB=AM,44EM=90。，

AP1

Rt△4EM中l，S?nz.AME=τu=?

AM2

???Z.AEM=30°