PAGEII不等式的證明以及應用目錄TOC\o"1-2"\h\u21589摘要 231926abstract 362771引言 4321092基本不等式的證明與應用 5442.1基本不等式的定義 551852.2基本不等式的證明 5125372.3基本不等式的應用 715623均值不等式的證明與應用 987793.1均值不等式的定義 9252543.2均值不等式的證明 10275823.3均值不等式的應用 1259354排序不等式的證明與應用 1343854.1排序不等式的定義 13320464.2排序不等式的證明 14325864.3排序不等式的應用 14272295柯西不等式的證明與應用 16185285.1柯西不等式的定義 16139025.2柯西不等式的證明 17254895.3柯西不等式的應用 1925186結束語 224937參考文獻 2311990致謝 24

摘要在數學中,不等式的證明與應用是重點考察內容，貫穿整個數學的學習。其中的幾個重要不等式，如基本不等式、均值不等式、排序不等式和柯西不等式，均可實現推導證明與應用。本文主要就以上幾個重要不等式歸納推理出證明過程，并結合近幾年數學中的不等式問題進行應用，對不同類型的問題提供了一些解題方法.關鍵詞:數學;重要不等式;證明與應用.

1引言在數學的學習中，重要不等式在數學教學過程中發揮著非常重要的作用，備受數學命題專家的青睞，同時也是一線數學教師的重要研究內容,因此，要認真分析高中數學中重要不等式的相關情況，運用合適的解題策略讓中學數學教學工作得到很好地落實。研究重要不等式，首先要研究其證明方法和幾何意義，掌握其幾何意義能夠更好的幫助學生理解重要不等式；為更好的應用重要不等式解決問題，需掌握其證明方法，重要不等式的證明方法形式多樣，可通過綜合法、參數配方法、比較法、、數學歸納法、配方法等多種不同的方法證明不等式。其次，重要不等式是數學所學不等式知識點中的一個重要組成部分，是研究數學和其他交叉學科的重要工具。事實上,對不等式的研究由來已久,最開始不等式并不是一門學科,只是數學家在他們研究領域使用的引理,或者是證明和研究所得到的副產品而已.自不等式成為一門系統的學科后,不等式的研究開始逐步變得多樣化、系統化.在國外,1961年貝肯巴赫和別爾曼的《不等式》,1970年密特利諾維奇的《解析不等式》這兩本書都對當時的不等式研究成果進行了總結;國內,1989年匡繼昌的《常用不等式》一書是由中國人自己編撰的第一部關于不等式的著作,并第一次大量的收錄了中國數學家們發現的新的不等式.除此之外,在1981發表的一篇論文中,胡克教授提出了一種全新的不等式,現在稱之為胡克(HK)不等式.關于不等式的理論研究至今仍在繼續,從未停歇.研究不等式得到的一些成果不僅限于數學領域的應用,也可用于解決生活中的一些問題,從這些問題中我們可以看出不等式的有用性以及研究它的重要意義.本文通過證明重要不等式、應用重要不等式解決問題，提高學生的思維能力和培養學生解決實際問題的能力，本文對重要不等式的證明與解題應用進行概括研究.

2基本不等式的證明與應用基本不等式在中學是一個必考的知識點,不僅能夠證明許多重要不等式，而且在不等式的解題過程中有著廣泛的應用，如：比較數大小、求最值、解決實際問題等等.基本不等式的證明在課本中有過介紹，老師往往從平面幾何視角中的弦圖法、不等式視角中的綜合法與換元法進行證明，這里將從其他幾個視角給出基本不等式的證明及其應用，加深對基本不等式的理解，提高利用不等式解決問題的能力.2.1基本不等式的定義任意兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.設為正數，則有以下不等式成立：當且僅當時等號成立.2.2基本不等式的證明(1)不等式視角證法1利用柯西不等式根據柯西不等式，可知:所以，即證法2利用排序不等式根據對稱性，不妨設，則，由排序不等式，得，即可證基本不等式(2)向量視角證法3利用向量數量積設根據得即可證基本不等式(3)三角函數視角證法4利用三角函數在平面直角坐標系中，設則.因為即即可證基本不等式2.3基本不等式的應用基本不等式結構簡約，形式優美，是高中數學的重要考點．一正、二定、三相等，是基本不等式在應用時需要依次滿足的條件，三者缺一不可.基本不等式在應用過程中常與其它知識點交匯[3].作為高考的熱點問題，其解決方法一般從這些知識點出發，構建變量與變量之間的等量關系，最后選用適當的方法求解．(1)在不等式中的應用例1(2020年高考天津卷理科題14)已知，，且，則的最小值為[3].解析因為，，且則由基本不等式當且僅當時取等號，結合，得或時取等號.點評本題考查基本不等式的應用，利用常數代換法是解決本題的關鍵[3]。(2)在平面向量中的應用例2(2015年高考天津卷理科題14)在等腰梯形中，已知，2，，，動點和分別在線段和上，且，則的最小值為．解析因為得（）又因為所以（）（）根據題意，，則有當且僅當時取等號.點評本題考查平面向量的基本定理和數量積運算，考察基本不等式的應用，解題關鍵是利用未知數的關系，最后通過基本不等式得出最小值[3].(3)在三角函數中的應用例3(2020年高考全國卷理科題21)已知函數(1)討論在區間()的單調性；(2)證明：；(3)設明：.解析(1)略；(3)略；(2)構建函數化簡得由基本不等式得：故有.點評本題考察三角函數的運算，考察基本不等式的應用，關鍵在于構造.小結從上述例子可以看出，在基本不等式應用解題過程中要注意以下兩方面:一方面是注意基本不等式成立的條件;另一方面是合理構造基本不等式中的和或積[3].3均值不等式的證明與應用均值不等式是證明其他不等式的重要方法，擁有不可代替的重要地位，而運用均值不等式的原理來分析問題、解決問題的重要方法，在解決數學問題上均值不等式的許多性質起到了非常重要的作用，本文著重研究了均值不等式定義證明及其在初等數學中的應用.3.1均值不等式的定義調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數[2].即:設均大于零，其中，調和平均數：幾何平均數：算術平均數：平方平均值：當且僅當時等號成立.3.2均值不等式的證明關于均值不等式的證明方法有很多，數學歸納法(第一數學歸納法或反向歸納法)、拉格朗日乘數法、排序不等式法、柯西不等式法等等[2]，都可以證明均值不等式，在這里采用排序不等式法的證明方法：簡單介紹一下排序不等式及其推論：逆序和不超過亂序和，亂序和不超過同序和.即：其中有兩個有序組數及，是的任意排列，當且僅當或時等號成立[6].推論1：若對于有，則，等號成立的條件是，推論2：若對于，且，則.等號成立的充要條件是.1)證明調和幾何平均不等式：即：等價于又因為由推論2知(1)式成立，故成立，等號成立的充要條件是(2)證明幾何算術平均不等式：即：等價于又因為由推論2知(2)成立，故成立，等號成立的充要條件是.(3)證明算術平方平均不等式：即：令且，則所以從而等號成立的條件是，即由此，即可證，當且僅當時等號成立.3.3均值不等式的應用(1)用均值不等式求極限（1）用均值不等式求極限.例1求極限.[4]解析由幾何算術平均不等式，有從而有由兩邊夾原則，可得(2)用均值不等式求最值例2已知，求.解析因為所以由均值不等式，可得當且僅當即或時，的最小值為1(3)用均值不等式比較大小試判斷之間的大小關系.即即4排序不等式的證明與應用4.1排序不等式的定義設有兩組有序實數組，則有下列不等式成立：其中是自然數的任一排列，當且僅當或時等號成立[8].4.2排序不等式的證明首先，令顯然又因為所以有所以同理即可證排序不等式，當且僅當或時等號成立4.3排序不等式的應用(1)用排序不等式證明不等式例1已知，證明：故原不等式即可證.例2已知且滿足，證明：解析不妨設，則由排序不等式得同理兩式相加得所以由于.所以故原不等式即可證[8].(2)用排序不等式解三角問題例3在中，為三邊長，證明：解析不妨設，則所以同樣所以所以故原不等式即可證[9].5柯西不等式的證明與應用5.1柯西不等式的定義(1)柯西不等式的一般形式對于，則有下列不等式成立：可簡化寫成：當且僅當時等號成立.(2)柯西不等式的特殊形式形式1二維形式：當且僅當時等號成立.形式2三維形式：當且僅當時等號成立.形式3向量形式：當且僅當時等號成立.5.2柯西不等式的證明(1)利用均值不等式因為對任意實數和有：所以有將上述不等式從到相加，可得選取使得則有因為即可證柯西不等式當且僅當時等號成立[5](2)利用排序不等式令且，記.由排序不等式有即于是從而即可證柯西不等式當且僅當時等號成立，即等號成立[7].5.3柯西不等式的應用柯西-施瓦茨不等式的應用常體現在數學中，它是新課程標準教科書的選修課內容，是教學中的一個重要知識點，通常被稱為柯西不等式，其形式的多樣性決定其應用的廣泛.巧妙應用柯西不等式可以將許多繁瑣復雜的問題簡單化，常常用于證明相關數學命題和求解有關數學問題，比如求最值，證明恒等式以及解方程組，要想在題目中運用它，關鍵要按照問題的已知并根據已有的形式巧妙構造出兩組數，下面選取典型例題簡要談談它在數學中的應用.5.3.1用于求最值例1已知,求的最值.解析由柯西不等式可得:即,當且僅當時,等號成立.因為 ,所以 ,即故的最大值是,最小值是,技巧分析：在這類問題中，需要根據題目相應的條件求最值，表面上看與條件聯系不大，但通過仔細觀察分析所給式子的特點，可以看到題目中的代數式 ,它可以拆分成，并且可以改寫成，這樣就湊出了柯西不等式的結構，轉化成了可以應用柯西不等式的形式，再結合柯西不等式的二維形式是 ，以此來達到解題的目的.5.3.2用于證明恒等式例2已知,求證:.解析由柯西不等式,得當且僅當 時，上式取等號，所以,,于是證得.技巧分析：在這類問題中，已知和要證的式子都是恒等式，要證明這類問題，首先要能感受出、，以此為切入點，根據柯西不等式的二維形式的變形 ，合理選用所代表的特定部分，直接使用柯西不等式，并利用取等號的充要條件來實現這一目標.5.3.3用于求解方程組例3在實數集內解方程組解析由柯西不等式得，，又，所以有通過觀察不等式只有等號成立,再根據柯西不等式等號成立的條件,有 ，與原方程聯立有計算得解為技巧分析：在這類問題中，題目是兩個方程，要求解3個未知數，它本是不定方程組，其特點是解往往有無窮多個，不能唯一確定，根據題意求實數，方程只有有限組解，屬于技巧方程.首先,這里的柯西不等式將用于將方程轉化為不等式，根據方程的特點，不等式也可以轉化為方程，這是一個非常重要的步驟.然后，根據柯西不等式的取等號條件，得到一個新的方程，并將其與原方程組中的一個簡明方程相結合，形成一個新的方程組,這個新的方程組與方程組具有相同的解，并且新方程組簡單且容易解出.還有一類題目涉及到與解析幾何知識相關，正常解題需要用到解析幾何相關知識，相對步驟繁雜，但對有一部分題目如果能夠靈活借助柯西不等式進行處理會在原步驟基礎上簡單不少，最終問題解決往往呈現的是幾步代數推理.綜上可以看到通過恰當的配湊，巧妙應用柯西不等式解決某些初等數學問題是很便利的，但是大多數學題目是有差異的，因此要準確識別這些差異，抓住問題的個性化特征，多進行歸納思考來優化認知結構，此時可以通過巧拆常數、重新安排某些項的次序達到利用柯西不等式結構的目的，在差異中尋找共性，最終找到解決問題的通用方法

6結束語本文列舉的幾個重要不等式是數學學習中的重點，包含的內容較多，高考中出現的題型及解題技巧也是多種多樣[8-10],所以對該部分知識進行學習的時候也是有一定的難度.通過以上的研究可以得到，熟知重要不等式的證明方法與應用方向對解題有極大的幫助，選擇合適的重要不等式，掌握其運算技巧，從而就能找出解題的突破口.

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