預(yù)習(xí)02向量的線性運(yùn)算一、向量的加法三角形法則：已知非零向量,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,再作向量,則向量叫做與的和,記作平行四邊形法則：已知不共線的兩個(gè)向量,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量,以為鄰邊作,則就是與的和,規(guī)定：零向量與任意向量的和,都有運(yùn)算律：①交換律：；②結(jié)合律：二、相反向量1.定義:與向量長度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,記作,與互為相反向量,3.性質(zhì)：①；②若互為相反向量,則；③的相反向量是三、向量的減法1.向量的減法的定義:向量加上的相反向量,叫做與的差,即,求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.2.運(yùn)算法則:在平面內(nèi)取一點(diǎn)O,作,則.3.幾何意義表示從向量的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量.4.向量減法的兩個(gè)重要結(jié)論:①如果把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起,則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為始點(diǎn),被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量；②一個(gè)向量等于它的終點(diǎn)相對于點(diǎn)的位置向量減去它的始點(diǎn)相對于點(diǎn)的位置向量或簡記“終點(diǎn)向量減去始點(diǎn)向量”.四、向量的數(shù)乘運(yùn)算1.定義:規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作,它的長度和方向規(guī)定如下:①;②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，2.運(yùn)算律:設(shè)為任意實(shí)數(shù),則有①；②；③特別地,有.(3)向量的線性運(yùn)算:向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.對于任意向量以及任意實(shí)數(shù)恒有.五、共線向量定理1.共線向量定理的內(nèi)容：向量與共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù),使.2.三點(diǎn)共線向量表示的兩個(gè)結(jié)論結(jié)論1：如圖1，點(diǎn)共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使得.結(jié)論2：設(shè)是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)使得.考點(diǎn)01向量的加法運(yùn)算【方法點(diǎn)撥】向量加法的三角形法則與平行四邊形法則作圖的方法法則作法三角形法則①把用小寫字母表示的向量,用兩個(gè)大寫字母表示(其中后面向量的始點(diǎn)與前一個(gè)向量的終點(diǎn)重合,即用同一個(gè)字母來表示);②由第一個(gè)向量的始點(diǎn)指向第二個(gè)向量終點(diǎn)的有向線段就表示這兩個(gè)向量的和平行四邊形法則①把兩個(gè)已知向量的始點(diǎn)平移到同一點(diǎn);②以這兩個(gè)已知向量為鄰邊作平行四邊形;③與已知向量同起點(diǎn)的對角線表示的向量就是這兩個(gè)已知向量的和【例1】如圖，按下列要求作答．(1)以A為始點(diǎn)，作出；(2)以B為始點(diǎn)，作出；(3)若為單位向量，求、和．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析(3)，，【分析】（1）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則即可作出；（2）先將共線向量計(jì)算出結(jié)果再作出；（3）根據(jù)利用勾股定理即可計(jì)算出各向量的模長.【詳解】（1）將的起點(diǎn)同時(shí)平移到A點(diǎn)，利用平行四邊形法則作出，如下圖所示：（2）先將共線向量的起點(diǎn)同時(shí)平移到B點(diǎn),計(jì)算出,再將向量與之首尾相接，利用三角形法則即可作出，如下圖所示：（3）由是單位向量可知，根據(jù)作出的向量利用勾股定理可知，；由共線向量的加法運(yùn)算可知；利用圖示的向量和勾股定理可知，.【例2】下列向量的運(yùn)算結(jié)果為零向量的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)向量加法運(yùn)算規(guī)律，逐項(xiàng)檢驗(yàn)，即可求得答案.【詳解】對A，；對B，；對C，；對D，.綜上所述，只有C符合題意故選：C.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握向量加法運(yùn)算規(guī)律，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式11】（多選）下列四個(gè)等式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由向量的運(yùn)算律、加法法則及相反向量等判斷各項(xiàng)正誤即可.【詳解】由向量的加法交換律及相反向量知：、，即A、B正確，由，C正確，向量的線性運(yùn)算(加減、數(shù)乘運(yùn)算)，結(jié)果應(yīng)為向量，D錯(cuò)誤．故選：ABC【變式12】化簡下列各式:(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）應(yīng)用向量加法運(yùn)算律化簡即可.【詳解】（1）原式.（2）原式【變式13】已知用向量加法的三角形法則作出.(1)；(2).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）（2）利用向量加法法則即可求解.【詳解】（1）（2）考點(diǎn)02向量的減法運(yùn)算【方法點(diǎn)撥】向量減法的三角形法則作圖的方法：平移向量使之共起點(diǎn)，連接兩向量的終點(diǎn)，方向指向被減向量【例3】已知向量、（三點(diǎn)不共線），若，則點(diǎn)是（

）A．的中點(diǎn) B．的中點(diǎn) C．的中點(diǎn) D．的重心【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋裕矗渣c(diǎn)是的中點(diǎn).故選：A．【例4】如圖，已知向量，，不共線，求作向量．【答案】答案見解析【分析】根據(jù)向量的減法運(yùn)算法則及幾何意義作圖即可.【詳解】如圖，作，則即為，再作，則向量即為．【變式21】化簡(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）（2）【變式22】已知正方形的邊長為1，則（

）A．0 B． C． D．4【答案】C【分析】利用向量運(yùn)算法則得到.【詳解】，因?yàn)檎叫蔚倪呴L為1，所以，故.故選：C【變式23】如圖，已知向量、，求作．(1)

(2)

(3)

(4)

【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)平面向量的減法法則可作出向量.【詳解】（1）解：作，，則，即即為所求作的向量.（2）解：作，，則，即即為所求作的向量.（3）解：作，，則，即即為所求作的向量.（4）解：作，，則，即即為所求作的向量.考點(diǎn)03向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義【方法點(diǎn)撥】（1）當(dāng)時(shí),與同向;當(dāng)時(shí),與反向().（2）當(dāng)且時(shí),或當(dāng)且時(shí),,注意是,而不是.【例5】“實(shí)數(shù)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．即不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)“”與“”的互相推出情況判斷出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，此時(shí)不一定成立，例如時(shí)可取任意實(shí)數(shù)，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.【例6】（多選）如圖，設(shè)兩點(diǎn)把線段三等分，則下列向量表達(dá)式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由圖和平面向量線性運(yùn)算逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由圖可得兩點(diǎn)把線段三等分，故，A，B正確；，故C，D，錯(cuò)誤，故選：AB.【變式31】已知，則下列命題正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)乘向量的模的意義即可得解.【詳解】由數(shù)乘向量的模的意義可知，故AB錯(cuò)誤，C正確，當(dāng)或時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：C.【變式32】已知，與的方向相反，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定方向和大小關(guān)系即可得答案.【詳解】由，得，又與的方向相反，所以.故選：C.【變式33】已知，，判斷，是否共線，并說明理由.【答案】共線，理由見解析.【分析】根據(jù)給定結(jié)果，可得，再借助共線向量定理作答.【詳解】由，，得，所以，共線.考點(diǎn)04向量的線性運(yùn)算【方法點(diǎn)撥】向量的線性運(yùn)算形式上類似于實(shí)數(shù)加減法與乘法滿足的運(yùn)算法則,實(shí)數(shù)運(yùn)算中去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等變形手段在向量的線性運(yùn)算中均可使用.【例7】設(shè)是兩兩不共線的向量，且向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量基底運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：C【例8】若，則．【答案】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕裕裕蚀鸢笧椋?【變式41】已知向量，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量混合運(yùn)算即可.【詳解】，故選：C.【變式42】求下列未知向量．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算可解得向量.【詳解】（1）因?yàn)椋裕?（2）因?yàn)椋裕?【變式43】若向量，，則.【答案】【分析】根據(jù)向量的加減與數(shù)乘，可得答案.【詳解】；；；.故答案為：.考點(diǎn)05用已知向量表示其他向量【方法點(diǎn)撥】利用已知向量表示其他向量的一個(gè)關(guān)鍵及三點(diǎn)注意：（1）一個(gè)關(guān)鍵：一個(gè)關(guān)鍵是確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道.（2）三點(diǎn)注意：①注意相等向量、相反向量、共線向量以及構(gòu)成三角形的三向量之間的關(guān)系;②注意應(yīng)用向量加法、減法的幾何意義以及它們的運(yùn)算律;③注意在封閉圖形中利用多邊形法則.【例9】已知四邊形為平行四邊形，與相交于，設(shè)，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則可得結(jié)果.【詳解】,故選：B.【例10】（多選）如圖所示，四邊形為梯形，其中，，，分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算分別判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.【變式51】在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先結(jié)合圖形表示出，；再根據(jù)向量的減法運(yùn)算即可解答.【詳解】因?yàn)椋裕?所以.故選：A【變式52】在中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合圖形，利用向量的線性運(yùn)算的定義進(jìn)行運(yùn)算可得.【詳解】作出圖形如圖，則，所以，故選：D．【變式53】如圖，在四邊形ABCD中，，設(shè)，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合圖形可得.【詳解】因?yàn)椋?故選：C考點(diǎn)06向量共線定理【方法點(diǎn)撥】用向量共線的條件證明兩條直線平行或重合的思路：（1）若,且與所在的直線無公共點(diǎn),則這兩條直線平行.（2）若,且與所在的直線有公共點(diǎn),則這兩條直線重合.例如,若向量,則共線,又與有公共點(diǎn),從而三點(diǎn)共線,這是證明三點(diǎn)共線的重要方法.【例11】已知向量不共線，，，，則（

）A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，C，D三點(diǎn)共線C．A，B，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線【答案】C【分析】根據(jù)向量共線定理進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)椴还簿€，，，，易得互不共線，所以A，B，C三點(diǎn)不共線，B，C，D三點(diǎn)不共線，故AD錯(cuò)誤；又，易得不共線，則A，C，D三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；而，所以A，B，D三點(diǎn)共線，故C正確.故選：C.【例12】在中，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)異于，），且，若，則的最小值為.【答案】【分析】先求得的等量關(guān)系式，然后利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意，由于三點(diǎn)共線，所以，而，由于點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)異于，），所以，則，所以為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：【變式61】設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，向量，共線，則.【答案】【分析】用向量的共線定理，結(jié)合平面向量基本定中的唯一性構(gòu)建參數(shù)方程組，即可求解.【詳解】與共線，，，又，是兩個(gè)不共線的向量，，解得.故答案為：.【變式62】已知與為非零向量，，若三點(diǎn)共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線可得向量共線，由此結(jié)合向量的相等列式求解，即得答案.【詳解】由題意知，三點(diǎn)共線，故,且共線，故不妨設(shè)，則，所以，解得，故選：D【變式63】如圖，在中，，是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】確定，得到，根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】，故，則，又是上一點(diǎn)，所以，解得.故選：A.一、單選題1．下列等式中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①②③④⑤⑥．A．3 B．4C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)向量加減法的概念和相反向量的概念分別判斷即可.【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算及相反向量的概念知①②③④⑤正確，⑥錯(cuò)誤，所以正確的個(gè)數(shù)為5．故選:C．2．如圖，設(shè)D、E、F分別為的三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算化簡求解即可.【詳解】由題意可知，，故選：A3．給出下列命題：①若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；②若與共線，與共線，則與也共線；③若與共線，則A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上；④與是非零向量，若與同向，則與反向；⑤已知為實(shí)數(shù)，若，則與共線.其中真命題的序號(hào)（

）A．③④ B．②③C．②④ D．④⑤【答案】A【分析】根據(jù)向量的概念，舉例即可得出答案.【詳解】對于①，如圖，中，，但是它們的起點(diǎn)、終點(diǎn)均不相同.故①錯(cuò)誤；對于②，若，則與任意向量均滿足條件，故②錯(cuò)誤；對于③，因?yàn)榕c共線，且有公共點(diǎn)A，所以，A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，故③正確；對于④，由已知可得，使得，所以，，所以與反向，故④正確；對于⑤，若，則不論與如何，均有，故不能說明與共線，故⑤錯(cuò)誤.綜上所述，③④正確.故選：A.4．已知，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，，，且A，C，D三點(diǎn)共線，則（

）A． B．2 C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)已知求出.根據(jù)已知可得共線，進(jìn)而得出，代入向量整理得出方程組，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，.因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共線，所以共線，則，使得，即，整理可得.因?yàn)椋还簿€，所以有，解得.故選：D.5．如圖，已知中，為的中點(diǎn)，，，交于點(diǎn)，設(shè)，.若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0.6 B．0.8 C．0.4 D．0.5【答案】D【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算，結(jié)合線段關(guān)系，用，表示出，，，由平面向量的基本定理，即可求得的值．【詳解】因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，且，，故，即，又AE=EC，可得，，又，故，因?yàn)椋簿€，由平面向量的基本定理可知滿足，解得，故選：D．6．若，則的取值范圍是（

）A．[3，7] B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的減法的幾何意義，確定向量共線時(shí)取得最值，即可求得答案.【詳解】由題意知，且,當(dāng)同向時(shí)，取得最小值，；當(dāng)反向時(shí)，取得最大值，；當(dāng)不共線時(shí)，取得最小值，，故的取值范圍是，故選：C二、多選題7．化簡以下各式，結(jié)果為的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】對A，，故A正確；對B，，故B正確；對C，，故C錯(cuò)誤；對D，，故D正確.故選：ABD8．對于菱形，給出下列各式，其中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)向量共線，向量的模，數(shù)量線性運(yùn)算法則依次判斷各選項(xiàng).【詳解】連接，記其交點(diǎn)為，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危栽O(shè)，則，因?yàn)椋较蛳嗤笮∠嗟龋裕珹正確；因?yàn)椴灰欢ㄏ嗟龋訠錯(cuò)誤；因?yàn)椋裕裕珻錯(cuò)誤；因?yàn)椋裕珼正確；故選：AD.三、填空題9．在平行四邊形中，,,．【答案