高二數學選擇性必修二同步練習《4.1數列的概念》同步練習（基礎篇）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．數列的一個通項公式是（）A． B． C． D．2．下列說法正確的是（）A．數列中不能重復出現同一個數B．與是同一數列C．不是數列D．若兩個數列的每一項均相同，則這兩個數列相同3．已知數列的通項公式為，則257是這個數列的（）A．第6項 B．第7項 C．第8項 D．第9項4．若數列{an}的通項公式為an＝n(n－2)，其中n∈N*，則a6＝（）A．8 B．15 C．24 D．355．下列說法正確的是（）A．數列1，3，5，7可以表示為B．數列-2，-1，0，1，2與數列2，1，0，-1，-2是相同的數列C．數列若用圖象表示，從圖象看都是一群孤立的點D．數列的項數一定是無限的6．已知數列的前項依次為，，，，則數列的通項公式可能是（）A． B．C． D．7．已知數列的前項和，則的值為（）A．4 B．6 C．8 D．108．一個正整數數表如表所示（表中下一行中數的個數是上一行中數的個數的2倍），則第9行中的第6個數是（）第1行1第2行23第3行4567……A．132 B．261 C．262 D．5179．已知數列的通項公式為，則該數列的前4項依次為（）A．1，0，1，0 B．0，1，0，1C． D．2，0，2，010．在數列中，，，則的值為（）A． B． C． D．以上都不對二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．數列的一個通項公式是___________12．已知數列中，…，則__________．13．已知數列的前項和，則__________.14．填適當的數：1，，（________），2，，（________），15．在數列中，第3項是______；是它的第______項.16．函數的最小值記為，設，則數列，的通項公式分別是________，________.17．已知數列的前項和為，滿足，，則_______；___________．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．在數列中，.若是遞增數列，求的取值范圍.19．已知數列的前n項和為（1）當取最小值時，求n的值；（2）求出的通項公式.20．已知數列中，.（1）寫出數列的前5項.（2）猜想數列的通項公式.21．已知數列的通項公式為，且，，求和.22．已知數列滿足.（1）計算；（2）并猜想的通項公式（不需要證明但要求簡要寫出分析過程）.答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．數列的一個通項公式是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先寫出的通項是，數列的通項公式是．故選：A．2．下列說法正確的是（）A．數列中不能重復出現同一個數B．與是同一數列C．不是數列D．若兩個數列的每一項均相同，則這兩個數列相同【答案】D【解析】由數列的定義可知，數列中可以重復出現同一個數，如，故A不正確；B中兩數列首項不相同，因此不是同一數列，故B不正確；由數列的定義可判斷，是數列，即C不正確；由數列定義可知，D正確，故選：D.3．已知數列的通項公式為，則257是這個數列的（）A．第6項 B．第7項 C．第8項 D．第9項【答案】C【解析】令，解得.故選：C4．若數列{an}的通項公式為an＝n(n－2)，其中n∈N*，則a6＝（）A．8 B．15 C．24 D．35【答案】C【解析】代入通項公式得，，故選：C．5．下列說法正確的是（）A．數列1，3，5，7可以表示為B．數列-2，-1，0，1，2與數列2，1，0，-1，-2是相同的數列C．數列若用圖象表示，從圖象看都是一群孤立的點D．數列的項數一定是無限的【答案】C【解析】A中，表示集合，不是數列；B中，兩個數列中包含的數雖然相同，但排列順序不同，不是相同的數列；D中，數列的項數可以是有限的也可以是無限的．故選：C．6．已知數列的前項依次為，，，，則數列的通項公式可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，，故A錯誤.對于B，，故B錯誤.對于C，，故C正確.對于D，，故D錯誤.故選：C.7．已知數列的前項和，則的值為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】由已知．故選：C．8．一個正整數數表如表所示（表中下一行中數的個數是上一行中數的個數的2倍），則第9行中的第6個數是（）第1行1第2行23第3行4567……A．132 B．261 C．262 D．517【答案】B【解析】由題意知第行有個數，此行最后一個數為，∴第八行的最后一個數為，∴該數表中第9行的第6個數為261.故選：B.9．已知數列的通項公式為，則該數列的前4項依次為（）A．1，0，1，0 B．0，1，0，1C． D．2，0，2，0【答案】A【解析】因為，所以分別取1，2，3，4，可得．故選：A．10．在數列中，，，則的值為（）A． B． C． D．以上都不對【答案】A【解析】在數列中，，，，，，數列是周期為3的周期數列，，．故選：A二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．數列的一個通項公式是___________【答案】，【解析】因為數列，所以通項公式可以為，故答案為：，12．已知數列中，…，則__________．【答案】【解析】當時，有①當時，有②由①÷②，可得故答案為：13．已知數列的前項和，則__________.【答案】【解析】當時，，當時，，當時，，所以，故答案為：14．填適當的數：1，，（________），2，，（________），【答案】【解析】分析可得，這列數可化為：，，，，，，，故答案為：；.15．在數列中，第3項是______；是它的第______項.【答案】【解析】令，則，所以第3項是；令，解得，所以是它的第項.故答案為：；.16．函數的最小值記為，設，則數列，的通項公式分別是________，________.【答案】【解析】當時，，即；將代入得，，故答案為，17．已知數列的前項和為，滿足，，則_______；___________．【答案】5【解析】依題意，設，則，，故，，故；因為，，，故以此類推，n是奇數，，故，n是偶數，，故，所以.故答案為：；5.三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．在數列中，.若是遞增數列，求的取值范圍.【答案】【解析】解析由是遞增數列得，，即，整理得，恒成立，解得.∴的取值范圍是.19．已知數列的前n項和為（1）當取最小值時，求n的值；（2）求出的通項公式.【答案】（1）或；（2）【解析】（1），因為，所以當或時，取最小值，（2）當時，，當時，，當時，滿足上式，所以20．已知數列中，.（1）寫出數列的前5項.（2）猜想數列的通項公式.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，可得：，，，.（2）猜想：21．已知數列的通項公式為，且，，求和.【答案】,.【解析】∵，，代入通項公式中得，解得，,∴,∴.22．已知數列滿足.（1）計算；（2）并猜想的通項公式（不需要證明但要求簡要寫出分析過程）.【答案】（1）.，，，.（2），詳見解析【解析】解：（1）當時，，.當時，，，當時，，，當時，，，當時，，.（2），，，，，由此猜想.《4.2等差數列》同步練習（基礎篇）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．在等差數列中，，公差，則等于（）A．13 B．14 C．15 D．162．在等差數列中，，，則（）A． B． C． D．03．已知等差數列的前n項和為，且，則＝（）A．0 B．10 C．15 D．304．已知公差為2的等差數列滿足，則（）A．5 B．7 C．9 D．115．在等差數列{an}中，若a4＝5，則數列{an}的前7項和S7＝（）A．15 B．20 C．35 D．456．數列中，，，那么這個數列的通項公式是（）A． B． C． D．7．已知等差數列的前5項和為25，且，則（）A．10 B．11 C．12 D．138．有窮等差數列5，8，11，…，的項數是（）A． B． C． D．9.我國古代數學名著《算法統宗》中說：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏．次第每人多十七，要將第八數來言．務要分明依次第，孝和休惹外人傳．”意為：“996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第1個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止．分配時一定要按照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說閑話．”在這個問題中，第8個孩子分到的棉花為（）A．184斤 B．176斤 C．65斤 D．60斤10．已知為等差數列，為公差，為前n項和，，則下列說法錯誤的是（）A． B．C．和均為的最大值 D．二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．與的等差中項是____________.12．數列為等差數列，已知公差，，則_______.13．已知等差數列的前n項和為，若，則_______.14．已知等差數列中，，，則公差________，________.15.設等差數列的前項和為，若，，則______，______．16．我國古代《九章算術》一書中記載關于“竹九”問題：“今有竹九節，下三節容量四升，上四節容量三升，問五、六兩節欲均容各多少？意思是下三節容量和為4升，上四節容量和為3升，且每一節容量變化均勻，問第五、六兩節容量分別是多少?在這個問題中，最下面一節容量是______，九節總容量是______.17．中國古代數學著作《孫子算經》中有這樣一道算術題：“今有物不知其數，三三數之余二，五五數之余三，問物幾何？”，將上述問題的所有正整數答案從小到大組成一個數列，則______；______.（注：三三數之余二是指此數被3除余2，例如“5”）三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知等差數列的前項和為，且，.（1）求的通項公式；（2）若，求.19.在等差數列中，（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.20．數列{an}是首項為23，公差為整數的等差數列，且第6項為正，第7項為負．(1)求數列的公差；(2)求前n項和Sn的最大值．21．記為等差數列的前項和，已知，．（1）求的通項公式；（2）求的最小值．22．在等差數列中，，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．在等差數列中，，公差，則等于（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【解析】,故選：C.2．在等差數列中，，，則（）A． B． C． D．0【答案】C【解析】是等差數列，，.故選：C.3．已知等差數列的前n項和為，且，則＝（）A．0 B．10 C．15 D．30【答案】C【解析】由等差數列性質可知：本題正確選項：4．已知公差為2的等差數列滿足，則（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【解析】由題意知，因為，可得所以.故選：C5．在等差數列{an}中，若a4＝5，則數列{an}的前7項和S7＝（）A．15 B．20 C．35 D．45【答案】C【解析】因為數列是等差數列，故可得.故選：.6．數列中，，，那么這個數列的通項公式是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以數列是以5為首項，3為公差的等差數列，則.故選：B7．已知等差數列的前5項和為25，且，則（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【解析】因為，所以，則公差，故．故選：D8．有窮等差數列5，8，11，…，的項數是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由等差數列中，知，，設為數列中的第k項，則，解得，故選：D9.我國古代數學名著《算法統宗》中說：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏．次第每人多十七，要將第八數來言．務要分明依次第，孝和休惹外人傳．”意為：“996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第1個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止．分配時一定要按照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說閑話．”在這個問題中，第8個孩子分到的棉花為（）A．184斤 B．176斤 C．65斤 D．60斤【答案】A【解析】依題意得，八個子女所得棉花斤數依次構成等差數列，設該等差數列為，公差為d，前n項和為，第一個孩子所得棉花斤數為，則由題意得，，解得，．故選：A10．已知為等差數列，為公差，為前n項和，，則下列說法錯誤的是（）A． B．C．和均為的最大值 D．【答案】C【解析】由，由，故選項B說法正確；因為，，所以，因此選項A說法正確；因為，所以等差數列是單調遞增數列，因此沒有最大值，故選項C說法錯誤；由，因為，所以，因此選項D說法正確.故選：C二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．與的等差中項是____________.【答案】【解析】由題得與的等差中項為.故答案為：12．數列為等差數列，已知公差，，則_______.【答案】20【解析】因為數列為等差數列，公差，所以，解得，故答案為：2013．已知等差數列的前n項和為，若，則_________.【答案】1【解析】由有，而∴結合等差數列的前n項和公式及通項公式即可得故答案為：114．已知等差數列中，，，則公差________，________.【答案】29【解析】等差數列中，，，則公差，所以.故答案為：2；915.設等差數列的前項和為，若，，則______，______．【答案】【解析】由題得；故答案為：.16．我國古代《九章算術》一書中記載關于“竹九”問題：“今有竹九節，下三節容量四升，上四節容量三升，問五、六兩節欲均容各多少？意思是下三節容量和為4升，上四節容量和為3升，且每一節容量變化均勻，問第五、六兩節容量分別是多少?在這個問題中，最下面一節容量是______，九節總容量是______.【答案】【解析】設由下到上九節容量分別記為，則成等差數列，設公差為，且，，即，，所以，，故故答案為：；17．中國古代數學著作《孫子算經》中有這樣一道算術題：“今有物不知其數，三三數之余二，五五數之余三，問物幾何？”，將上述問題的所有正整數答案從小到大組成一個數列，則______；______.（注：三三數之余二是指此數被3除余2，例如“5”）【答案】8.【解析】三三數之余二的正整數從小到大排列得到數列為：；五五數之余三的正整數，從小到大排列，構成數列為：.所以三三數之余二，五五數之余三的正整數，從小到大排列得到數列為：，數列是以首項為8，公差為15的等差數列.空1：；空2：.故答案為：8；三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知等差數列的前項和為，且，.（1）求的通項公式；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設等差數列的首項為，公差為，因為，，所以，，解得，.所以，，所以的通項公式為，.（2）由（1）知，，因為，所以，即，化簡得，解得.19.在等差數列中，（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由等差數列的性質可得，解得，因此，；（2）由等差中項的性質和等差數列的求和公式得.20．數列{an}是首項為23，公差為整數的等差數列，且第6項為正，第7項為負．(1)求數列的公差；(2)求前n項和Sn的最大值．【答案】（1）；（2）78【解析】(1)由已知，得，.解得.又，∴.(2)∵，∴數列是遞減數列．又∵，，∴當時，取得最大值，為.21．記為等差數列的前項和，已知，．（1）求的通項公式；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設的公差為，由題意得．由得．所以的通項公式為．（2）由（1)得．所以當時，取得最小值，最小值為．22．在等差數列中，，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】（1）設等差數列的公差為，則.因為所以，解得，，所以數列的通項公式為.（2）由題意知，所以.《4.3等比數列》同步練習（基礎篇）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．各項均為正數的等比數列中，，，則（）A．2 B．-2 C． D．2．等比數列中，已知，，數列的公比為（）.A． B． C．2 D．3．在等比數列中，，，則數列的前5項和等于（）A．31 B．32 C．63 D．644．與的等比中項是（）A．1 B． C．2 D．或15．我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈多少？”現有類似問題：一座5層塔共掛了363盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的3倍，則塔的中間一層共有燈（）A．3盞 B．9盞 C．27盞 D．81盞6．在等比數列中，首項則項數n為（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知1，a，x，b，16這五個實數成等比數列，則x的值為（）A．4 B．－4 C．±4 D．不確定8．已知等比數列的前n項和為，公比，則等于（）A．32 B．31 C．16 D．159．公差不為0的等差數列中，，數列是等比數列，且，則（）A．2 B．4 C．8 D．1610．標準對數遠視力表（如圖）采用的“五分記錄法”是我國獨創的視力記錄方式，此表中各行均為正方形“E”形視標，且從視力5.2的視標所在行開始往上，每一行“E”的邊長都是下方一行“E”邊長的倍，若視力4.2的視標邊長為，則視力5.1的視標邊長為（）A． B． C． D．二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．已知等比數列滿足且，則________.12．已知公比為的等比數列滿足，則____．13．從盛有純酒精的容器中倒出，然后用水填滿，再倒出，又用水填滿…….連續進行了次后，容器中的純酒精還剩下，則________.14．在正項等比數列中，若，，則______；_____．15．我國古代著作《莊子天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”其含義是：一尺長的木棍，每天截去它的一半，永遠也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的長度是_________尺；要使剩余木棍的長度小于尺，需要經過________次截取.16．是正項等比數列的前和，，，則______．公比______．17．等差數列的前項和為，若，，且，，成等比數列，則________，________．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知數列的通項公式.（1）求，；（2）若，分別是等比數列的第1項和第2項，求數列的通項公式.19．已知正項等比數列的前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.20．在正項等比數列中，，且，的等差中項為．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和為．21．已知是公差不為零的等差數列，，且成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和.22．設是等比數列，其前項的和為，且，.（1）求的通項公式；（2）若，求的最小值.答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．各項均為正數的等比數列中，，，則（）A．2 B．-2 C． D．【答案】A【解析】因為各項均為正數的等比數列中，，，所以，所以（負值舍去）故選：A.2．等比數列中，已知，，數列的公比為（）.A． B． C．2 D．【答案】C【解析】數列是等比數列，則，（為數列的公比），則，解得.故選：C.3．在等比數列中，，，則數列的前5項和等于（）A．31 B．32 C．63 D．64【答案】A【解析】因為等比數列中，，，所以數列的前5項和，故選：A.4．與的等比中項是（）A．1 B． C．2 D．或1【答案】D【解析】由題意可設與的等比中項是，則，解得或.故選：D.5．我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈多少？”現有類似問題：一座5層塔共掛了363盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的3倍，則塔的中間一層共有燈（）A．3盞 B．9盞 C．27盞 D．81盞【答案】C【解析】根據題意，設塔的底層共有盞燈，則每層燈的數目構成以為首項，為公比的等比數列，則有，解可得：，所以中間一層共有燈盞.故選：C6．在等比數列中，首項則項數n為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】由題意可得等比數列通項，則故選：C7．已知1，a，x，b，16這五個實數成等比數列，則x的值為（）A．4 B．－4 C．±4 D．不確定【答案】A【解析】由題意知：，且若令公比為時有，∴，故選：A8．已知等比數列的前n項和為，公比，則等于（）A．32 B．31 C．16 D．15【答案】B【解析】因為等比數列的前n項和為，公比，所以，又因為，所以.故選：B.9．公差不為0的等差數列中，，數列是等比數列，且，則（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】D【解析】等差數列中,,故原式等價于解得或各項不為0的等差數列,故得到，數列是等比數列，故=16.故選：D.10．標準對數遠視力表（如圖）采用的“五分記錄法”是我國獨創的視力記錄方式，此表中各行均為正方形“E”形視標，且從視力5.2的視標所在行開始往上，每一行“E”的邊長都是下方一行“E”邊長的倍，若視力4.2的視標邊長為，則視力5.1的視標邊長為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設第行視標邊長為，第行視標邊長為由題意可得：則數列為首項為，公比為的等比數列即則視力5.1的視標邊長為故選：A二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．已知等比數列滿足且，則________.【答案】【解析】因為，所以.故由等比數列的通項公式得.故答案為：12．已知公比為的等比數列滿足，則_____．【答案】1【解析】因為為等比數列，且，所以，即，解得，故答案為：113．從盛有純酒精的容器中倒出，然后用水填滿，再倒出，又用水填滿…….連續進行了次后，容器中的純酒精還剩下，則________.【答案】5【解析】根據題意，連續進行了次后，容器中的純酒精的剩余量組成數列，則數列是首項為，公比為的等比數列，則，若連續進行了次后，容器中的純酒精還剩下，即，解得，故答案為：．14．在正項等比數列中，若，，則____；______．【答案】【解析】由題意可知，由題意可得，解得，.故答案為：；.15．我國古代著作《莊子天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”其含義是：一尺長的木棍，每天截去它的一半，永遠也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的長度是_________尺；要使剩余木棍的長度小于尺，需要經過________次截取.【答案】【解析】記第天后剩余木棍的長度，則是首項為，公比為的等比數列，所以，所以，由得，所以的最小值為.所以第6天截取之后，剩余木棍的長度是尺，要使剩余木棍的長度小于尺，需要經過次截取.故答案為：；.16．是正項等比數列的前和，，，則______．公比______．【答案】23【解析】當時，，不滿足題意，故；當時，有，解之得：.故答案為：2；3.17．等差數列的前項和為，若，，且，，成等比數列，則________，________．【答案】12【解析】設等差數列的公差為，則由得，即，解得，則，．由，，成等比數列得，即，解得．故答案為：；12三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知數列的通項公式.（1）求，；（2）若，分別是等比數列的第1項和第2項，求數列的通項公式.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）因為，所以，，（2）由題意知：等比數列中，，，公比∴等比數列的通項公式19．已知正項等比數列的前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設等比數列的公比為，則，所以或（舍），所以，.（2）由（1）得，所以.20．在正項等比數列中，，且，的等差中項為．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和為．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設正項等比數列的公比為，由題意可得，解得．數列的通項公式為；（2）.21．已知是公差不為零的等差數列，，且成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和.【答案】（1），（2）【解析】（1）設等差數列的公差為（），因為，且成等比數列，所以，即，解得（舍去）或，所以，（2）由（1）可得，所以22．設是等比數列，其前項的和為，且，.（1）求的通項公式；（2）若，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設的公比為q，因為，所以，所以，又，所以，所以.（2）因為，所以，由，得，即，解得，所以n的最小值為6.《4.4數列的求和》同步練習（基礎篇）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．若數列的通項公式是，則（）A．45 B．65 C．69 D．2．數列，，，…，，…的前n項和為（）A． B． C． D．3．已知數列為等差數列，且，，則（）A． B． C． D．4．等于（）A． B．－ C． D．5．若數列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數列{an}的前n項和為（）A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋n－2 D．2n＋1＋n2－26．已知在等差數列中，，，則數列的前2019項和是（）A． B． C． D．7．設數列的前項和為，則的值為（）A． B．C． D．8．數列…的前項和為()A． B．C． D．9．已知數列的通項公式是，則()A． B．C． D．10．設，()A．4 B．5 C．6 D．10二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．數列{}中，，則________12．已知數列的前項和為，，，則________.13．已知數列中，，則數列的前9項和為_____________．14．已知等差數列的首項和公差都為2.則數列的通項公式=____，數列上的前2020項和為_______.15．設等差數列的公差為非零常數，且，若，，成等比數列，則公差________﹔數列的前100項和________.16．等差數列，，且是與的等比中項，則______；______.17．若是數列的前項和，且，則______________三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知在等差數列中，，．（1）求數列的通項公式：（2）設，求數列的前n項和．19．已知是公差不為零的等差數列，，且成等比數列.（1）求數列的通項.（2）設數列的前項和為，求數列的前項和為.20．已知等比數列的前項和為，且對一切正整數恒成立.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.21．已知等差數列的公差為，前項和為，且滿足_____.（從①②成等比數列；③，這三個條件中任選兩個補充到題干中的橫線位置，并根據你的選擇解決問題）（1）求；（2）若，求數列的前項和.22．已知等比數列的公比，且的等差中項為10，.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設，求數列的前項和.答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．若數列的通項公式是，則（）A．45 B．65 C．69 D．【答案】B【解析】因為，所以，則，故選：B．2．數列，，，…，，…的前n項和為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵∴==故選：B3．已知數列為等差數列，且，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設數列的公差為，由題意得，，解得，，∴，∴，∴.故選：C.4．等于（）A． B．－ C． D．【答案】C【解析】當n為偶數時，當n為奇數時，所以綜上可得：故選：C5．若數列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數列{an}的前n項和為（）A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋n－2 D．2n＋1＋n2－2【答案】D【解析】由題可知：設數列{an}的前n項和為所以即所以故故選：D6．已知在等差數列中，，，則數列的前2019項和是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設的公差為，由得解得，則．則．故前2019項和故選：B．7．設數列的前項和為，則的值為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，，對于A，當時，，所以A錯誤；對于B，當時，，所以B錯誤；對于C，當時，，所以C錯誤；對于D，當時，，所以D為正確選項.故選：D.8．數列…的前項和為()A． B．C． D．【答案】C【解析】1＋2＋3＋…＋(n＋)＝(1＋2＋…＋n)＋(＋＋…＋)＝＋＝(n2＋n)＋1－＝(n2＋n＋2)－故答案為C9．已知數列的通項公式是，則()A． B．C． D．【答案】B【解析】故選：B10．設，()A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B【解析】由于，故原式.二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．數列{}中，，則________【答案】【解析】,故答案為：12．已知數列的前項和為，，，則________.【答案】【解析】由得，所以數列以為周期，又，，所以.故答案為：.13．已知數列中，，則數列的前9項和為_____________．【答案】【解析】數列的前9項和，，兩式相減得，.故答案為：.14．已知等差數列的首項和公差都為2.則數列的通項公式=____，數列上的前2020項和為_______.【答案】【解析】.設，前項和為.則.則15．設等差數列的公差為非零常數，且，若，，成等比數列，則公差________﹔數列的前100項和________.【答案】1【解析】∵，，成等比數列，∴，即，又，解得．∴，，∴．故答案為：1；．注：數列求和的常用方法：設數列是等差數列，是等比數列，（1）公式法：等差數列或等比數列的求和直接應用公式求和；（2）錯位相減法：數列的前項和應用錯位相減法；（3）裂項相消法；數列（為常數，）的前項和用裂項相消法；（4）分組（并項）求和法：數列用分組求和法，如果數列中的項出現正負相間等特征時可能用并項求和法；（5）倒序相加法：滿足（為常數）的數列，需用倒序相加法求和．16．等差數列，，且是與的等比中項，則______；______.【答案】【解析】由且是與的等比中項，可得，解得，所以，所以，故，故答案為：；17．若是數列的前項和，且，則______________【答案】【解析】，則當時，，當時，，兩式相減得，即，滿足，，則，則，，.三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知在等差數列中，，．（1）求數列的通項公式：（2）設，求數列的前n項和．【答案】（1）；（2）.【解析】設等差數列的公差為，由，可得解得，所以等差數列的通項公式可得;（2）由（1）可得，所以.19．已知是公差不為零的等差數列，，且成等比數列.（1）求數列的通項.（2）設數列的前項和為，求數列的前項和為.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設公差為，由，且成等比數列，則解得：或(舍去)，，故的通項.（2），則所以：20．已知等比數列的前項和為，且對一切正整數恒成立.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】（1）當時，與兩式相減得.∵數列是等比數列，∴公比，.又，∴，∴（2）∵由得，∴21．已知等差數列的公差為，前項和為，且滿足_____.（從①②成等比數列；③，這三個條件中任選兩個補充到題干中的橫線位置，并根據你的選擇解決問題）（1）求；（2）若，求數列的前項和.【答案】（1）選擇①②、①③、②③條件組合,；（2）【解析】（1）①由，得，即；②由，，成等比數列，得，，即﹔③由，得，即；選擇①②、①③、②③條件組合，均得、，即﹔（2）由（I）得，則，即22．已知等比數列的公比，且的等差中項為10，.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設，求數列的前項和.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由題意可得：，∴∵，∴，∴數列的通項公式為.（Ⅱ），∴上述兩式相減可得∴=《4.4數學歸納法》同步練習（基礎篇）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．用數學歸納法證明等式，時，由到時，等式左邊應添加的項是（）A． B．C． D．2．用數學歸納法證明時，第一步應驗證的不等式是（）A． B．C． D．3．用數學歸納法證明等式時，當時，左邊等于（）A．1 B． C． D．4．用數學歸納法證明，則當時，左端應在的基礎上加上（）A． B．C． D．5．用數學歸納法證明，成立.那么，“當時，命題成立”是“對時，命題成立”的（）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要6．用數學歸納法證明時，從到，不等式左邊需添加的項是（）A． B．C． D．7．用數學歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時，不等式左邊（）A．增加了一項B．增加了兩項，C．增加了A中的一項，但又減少了另一項D．增加了B中的兩項，但又減少了另一項8．已知n為正偶數，用數學歸納法證明時，若已假設為偶數)時命題為真，則還需要用歸納假設再證（）時等式成立（）A． B． C． D．9．用數學歸納法證明命題“當n為奇數時，能被整除”，在證明正確后，歸納假設應寫成（）．A．假設時命題成立B．假設時命題成立C．假設時命題成立D．假設時命題成立10．在用數學歸納法求證：的過程中，從“到”左邊需增乘的代數式為（）．A． B． C． D．二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．用數學歸納法證明命題“1++…+(n∈N+，且n≥2)”時，第一步要證明的結論是________.12．用數學歸納法證明關于的恒等式，當時，表達式為，則當時，表達式為_______.13．用數學歸納法證明時，第一步應驗證的等式是________．14．用數學歸納法證明：，第一步應驗證的等式是__________；從“”到“”左邊需增加的等式是_________.15．用數學歸納法證明：“對任意奇數n，命題成立”時，第二步論證應該是假設______命題成立，再證______時，命題也成立.16．已知為正偶數，用數學歸納法證明“”時，第一步的驗證為________________________；若已假設（且為偶數）時等式成立，則還需要用歸納假設證________時等式成立.17．在數列中，a1=1，，則a3=______，an=_______.三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．在證明，由到的變化過程中，左邊增加的部分是什么，右邊增加的部分是什么？19．用數學歸納法證明：對任意正整數能被9整除．20．已知數列滿足，.（1）求、；（2）猜想數列通項公式，并用數學歸納法給出證明.21．設數列的前項和為，并且滿足．猜想的通項公式，并用數學歸納法加以證明．22．在數列{an}中，a1=1且（1）求出，，；（2）歸納出數列{an}的通項公式，并用數學歸納法證明歸納出的結論．答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．用數學歸納法證明等式，時，由到時，等式左邊應添加的項是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為要證明等式的左邊是連續正整數，所以當由到時，等式左邊增加了，故選C.2．用數學歸納法證明時，第一步應驗證的不等式是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，，∴所取的第一個正整數為2，又，故第一步應驗證．故選：B3．用數學歸納法證明等式時，當時，左邊等于（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】用數學歸納法證明：，在驗證時，令代入左邊的代數式，得到左邊.故選：C4．用數學歸納法證明，則當時，左端應在的基礎上加上（）A． B．C． D．【答案】C【解析】當時，等式左端，當時，等式左端，增加了項．故選：C．5．用數學歸納法證明，成立.那么，“當時，命題成立”是“對時，命題成立”的（）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】“當時，命題成立”不能推出“對時，命題成立”，“對時，命題成立”可以推出“當時，命題成立”，所以“當時，命題成立”是“對時，命題成立”的必要不充分/故選：B6．用數學歸納法證明時，從到，不等式左邊需添加的項是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】當時，所假設的不等式為，當時，要證明的不等式為，故需添加的項為：，故選：B.7．用數學歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時，不等式左邊（）A．增加了一項B．增加了兩項，C．增加了A中的一項，但又減少了另一項D．增加了B中的兩項，但又減少了另一項【答案】D【解析】當時，左邊，當時，左邊，所以，由遞推到時，不等式左邊增加了，；減少了；故選D8．已知n為正偶數，用數學歸納法證明時，若已假設為偶數)時命題為真，則還需要用歸納假設再證（）時等式成立（）A． B． C． D．【答案】B【解析】若已假設n=k(k≥2，k為偶數)時命題為真，因為n只能取偶數，所以還需要證明n=k+2成立.、故選B.9．用數學歸納法證明命題“當n為奇數時，能被整除”，在證明正確后，歸納假設應寫成（）．A．假設時命題成立B．假設時命題成立C．假設時命題成立D．假設時命題成立【答案】D【解析】此題所成立的數是所有的正奇數，根據數學歸納法的證題步驟要求，第二步所取的值的范圍應從開始取值所有奇數，即．故選：D．10．在用數學歸納法求證：的過程中，從“到”左邊需增乘的代數式為（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，左邊，當時，左邊，則.故選：D.二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．用數學歸納法證明命題“1++…+(n∈N+，且n≥2)”時，第一步要證明的結論是________.【答案】【解析】因為n≥2，所以第一步要證的是當n=2時結論成立，即1+.故答案為：12．用數學歸納法證明關于的恒等式，當時，表達式為，則當時，表達式為_______.【答案】【解析】當時，表達式左側為：，表達式右側為：，則當時，表達式為.故答案為：.13．用數學歸納法證明時，第一步應驗證的等式是________．【答案】【解析】由題知等式的左邊有項，右邊有項，且，因此第一步應驗證時的等式，此時左邊，右邊，故答案為：．14．用數學歸納法證明：，第一步應驗證的等式是__________；從“”到“”左邊需增加的等式是_________.【答案】【解析】當時，應當驗證的第一個式子是，從“”到“”左邊需增加的式子是15．用數學歸納法證明：“對任意奇數n，命題成立”時，第二步論證應該是假設______命題成立，再證______時，命題也成立.【答案】【解析】依題意用數學歸納法證明：“對任意奇數n，命題成立”，由于為奇數，所以第二步論證應該是假設命題成立，再證時命題也成立.故答案為：；16．已知為正偶數，用數學歸納法證明“”時，第一步的驗證為________________________；若已假設（且為偶數）時等式成立，則還需要用歸納假設證________時等式成立.【答案】當時，左邊，右邊，等式成立；【解析】對在為正偶數，用數學歸納法證明歸納基礎，因為為正偶數，則基礎，當時，左邊，右邊，等式成立；歸納假設，當（且為偶數）時，成立由于是所有正偶數，則歸納推廣，應到下一個數為時，等式成立故答案為：(1).當時，左邊，右邊，等式成立；(2).17．在數列中，a1=1，，則a3=______，an=_______.【答案】【解析】第一空：因為，，所以，；第二空：由第一空可知：，所以可得，因為，，，，所以猜想，數學歸納法證明如下：（1）當時，顯然；（2）假設當時成立，即，當時，綜合（1）（2），所以，故答案為：；三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．在證明，由到的變化過程中，左邊增加的部分是什么，右邊增加的部分是什么？【答案】；【解析】時，左邊為，時，變為，故由到的變化過程中，左邊增加的都分是；時，右邊為，時，變為，右邊增加的部分是.故答案為：；.19．用數學歸納法證明：對任意正整數能被9整除．【答案】見解析【解析】證明：（1）當時，，能被9整除，故當時，能被9整除．（2）假設當時，命題成立，即能被9整除，則當時，也能被9整除.綜合(1)(2)可得,對任意正整數能被9整除．20．已知數列滿足，.（1）求、；（2）猜想數列通項公式，并用數學歸納法給出證明.【答案】（1），；（2）,證明見解析.【解析】（1），；（2）猜想數列通項公式，證明如下：當時，，，所以成立；假設時成立，即，當時，，∴時，成立，綜上，由①②得：.21．設數列的前項和為，并且滿足．猜想的通項公式，并用數學歸納法加以證明．【答案】【解析】（1）解：分別令，得，∵，∴，猜想：，由①可知，當時②①-②得，即當時∵，∴，（ii）假設當時，，那么當時，,∵，∴，∴，即當時也成立．∴，顯然時，也成立，故對于一切，均有．22．在數列{an}中，a1=1且（1）求出，，；（2）歸納出數列{an}的通項公式，并用數學歸納法證明歸納出的結論．【答案】（1），，；（2）．【解析】（1）由a1=1且知：，，（2）猜想數列的通項公式為，證明如下：（i）當n=1時，左邊=，右邊=左邊=右邊即猜想成立；（ii）假設當n=時，猜想成立，即有那么當n=時，從而猜想對n=也成立；由（i）（ii）可知，猜想對任意的都成立，所以數列的通項公式為《5.1導數的概念及其意義、導數的運算》同步練習（基礎篇）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．甲、乙兩廠污水的排放量W與時間的關系如圖所示，則治污效果較好的是（）A．甲廠 B．乙廠 C．兩廠一樣 D．不確定2．若（m為常數），則等于（）A． B．1 C．m D．3．某質點的運動規律為，則在時間內，質點的位移增量等于（）A． B． C． D．4．已知，則（）A． B． C． D．5．設，則曲線在點處的切線的傾斜角是（）A． B． C． D．6．已知函數在處的導數為1，則（）A．0 B． C．1 D．27．過原點作曲線的切線，則切線的斜率為（）A．e B． C．1 D．8．曲線在點處切線的斜率為（）A．1 B．2 C．3 D．49．下列導數運算正確的是（）A． B．C． D．10．曲線在點處的切線斜率為8，則實數的值為（）A． B．6 C．12 D．二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．曲線在點（1，2）處的切線方程為_________.12．曲線在點處的切線方程為_____.13．已知，則等于__________.（用數字作答）14．已知曲線y＝x2－1上兩點A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，當Δx＝1時，割線AB的斜率是________；當Δx＝0.1時，割線AB的斜率是________．15．函數的導數_________，_______.16．已知函數，則__________，設，則_________．17．德國數學家萊布尼茨是微積分的創立者之一，他從幾何問題出發，引進微積分概念．在研究切線時，他將切線問題理解為“求一條切線意味著畫一條直線連接曲線上距離無窮小的兩個點”，這也正是導數定義的內涵之一．現已知直線是函數的切線，也是函數的切線，則實數____，_____．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．（1）求導：（2）求函數在處的導數.19．，且，，，；求的值．20．已知P（﹣1，1），Q（2，4）是曲線y=x2上的兩點，求與直線PQ平行且與曲線相切的切線方程．21．已知函數的圖像在處的切線方程是，求a，b的值；22．求曲線在點處的切線與直線和圍成的三角形的面積.答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．甲、乙兩廠污水的排放量W與時間的關系如圖所示，則治污效果較好的是（）A．甲廠 B．乙廠 C．兩廠一樣 D．不確定【答案】B【解析】在處，雖然有，但，所以在相同時間內，甲廠比乙廠的平均治污率小，所以乙廠治污效果較好．故選：B.2．若（m為常數），則等于（）A． B．1 C．m D．【答案】D【解析】由題意，根據導數的概念可得，，所以.故選：D.3．某質點的運動規律為，則在時間內，質點的位移增量等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】位移增量.故選：A.4．已知，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，得，則，故選：D．5．設，則曲線在點處的切線的傾斜角是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，則曲線在點處的切線斜率為，故所求切線的傾斜角為.故選：C6．已知函數在處的導數為1，則（）A．0 B． C．1 D．2【答案】B【解析】因為函數在處的導數為1，則.故選：B.7．過原點作曲線的切線，則切線的斜率為（）A．e B． C．1 D．【答案】B【解析】設切點坐標為，由，得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，因為切線過原點，所以，得，因為切點在曲線上，所以，解得，所以切線的斜率為，故選：B8．曲線在點處切線的斜率為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】的導數為，可得曲線在點處切線的斜率為.故選：C.9．下列導數運算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C錯誤；對于D，，D錯誤．故選：B．10．曲線在點處的切線斜率為8，則實數的值為（）A． B．6 C．12 D．【答案】A【解析】由，得，則曲線在點處的切線斜率為，得.故選：A.二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．曲線在點（1，2）處的切線方程為_________.【答案】【解析】，，，切線的方程是，即，故答案為．12．曲線在點處的切線方程為_____.【答案】【解析】由得，則曲線在點處的切線斜率為，因此所求切線方程為，即.故答案為：.13．已知，則等于__________.（用數字作答）【答案】-2【解析】，，，解得.故答案為：.14．已知曲線y＝x2－1上兩點A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，當Δx＝1時，割線AB的斜率是________；當Δx＝0.1時，割線AB的斜率是________．【答案】54.1【解析】當Δx＝1時，割線AB的斜率k1＝當Δx＝0.1時，割線AB的斜率k2＝＝4.1.15．函數的導數________，_______.【答案】31【解析】函數的導數16．已知函數，則__________，設，則_________．【答案】【解析】，求導得，，，求導得，，解得.故答案為：；.17．德國數學家萊布尼茨是微積分的創立者之一，他從幾何問題出發，引進微積分概念．在研究切線時，他將切線問題理解為“求一條切線意味著畫一條直線連接曲線上距離無窮小的兩個點”，這也正是導數定義的內涵之一．現已知直線是函數的切線，也是函數的切線，則實數____，_____．【答案】-1-2【解析】由題意可知，故，則函數的切點為，代入，得；又，故，則函數的切點為，代入，得．故答案為：－1；－2．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．（1）求導：（2）求函數在處的導數.【答案】（1）；（2）1；【解析】（1）；（2）；19．，且，，，；求的值．【答案】【解析】,由,可得;由,可得;，；可得,解得:,則,即.20．已知P（﹣1，1），Q（2，4）是曲線y=x2上的兩點，求與直線PQ平行且與曲線相切的切線方程．【答案】4x﹣4y﹣1=0．【解析】設切點坐標為M（x0，y0），則切線斜率為2x0，又直線PQ的斜率為kPQ==1，∵切線與直線PQ平行，∴2x0=1，∴x0=，∴切點為（，），切線斜率為1．∴切線方程為y﹣=x﹣即4x﹣4y﹣1=0．21．已知函數的圖像在處的切線方程是，求a，b的值；【答案】【解析】由，得，因為函數的圖像在處的切線方程是，所以，即，得，所以，則，所以切點坐標為，所以，得，綜上22．求曲線在點處的切線與直線和圍成的三角形的面積.【答案】【解析】依題意得，，故曲線在點處的切線方程是，即.直線與的交點坐標是，直線與x軸的交點坐標是，故直線和所圍成的三角形的面積等于.《5.2導數在研究函數中的應用（1）》同步練習（基礎篇）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．設函數的圖象如圖所示，則導函數的圖象可能為（）A． B．C． D．2．下列函數中，在其定義域上為增函數的是（）A． B． C． D．3．已知函數，則其單調增區間是（）A． B． C． D．4．函數的單調遞增區間為（）A． B． C． D．5．如圖所示為的圖象，則函數的單調遞減區間是（）A． B．C． D．6．函數的遞增區間是（）A． B．和C． D．和7．函數的圖像大致為（）A． B．C． D．8．已知函數與的圖象如圖所示，則不等式組解集為（）A． B． C． D．9．已知是定義在上的函數的導函數，且滿足對任意的都成立，則下列選項中一定正確的是（）A． B． C． D．10．已知函數在內不是單調函數，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．函數的單調減區間是__________.12．函數的單調遞減區間是______．13．已知，函數在上是單調增函數，則的最大值是_____．14．函數在區間______上是增函數，在區間______上是減函數．15．已知是定義在上的偶函數，則實數_____，寫出函數在的單調遞增區間是______16．已知，那么單調遞增區間____；單調遞減區間______.17．設函數（a為常數）.若為奇函數，則________；若是上的減函數，則a的取值范圍是________.三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．求函數的遞減區間.19．求函數的單調區間．20．已知.（1）當時，討論的單調區間；（2）若在定義域R內單調遞增，求a的取值范圍.21．已知函數.（1）若在區間上為增函數，求a的取值范圍.（2）若的單調遞減區間為，求a的值.22.已知函數，其中.（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求的單調區間.答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．設函數的圖象如圖所示，則導函數的圖象可能為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵在，上為減函數，在上為增函數，∴當或時，；當時，．故選：C．2．下列函數中，在其定義域上為增函數的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A選項，函數為偶函數，在上遞增，在上遞減；對于B選項，函數在上遞減；對于C選項，在上恒成立，則函數在其定義域上遞增；對于D選項，函數在上遞減.故選：C．3．已知函數，則其單調增區間是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，函數定義域為，求導，令，得或（舍去）所以單調增區間是故選：A.4．函數的單調遞增區間為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，由得，即，所以函數的單調遞增區間為.故選：C5．如圖所示為的圖象，則函數的單調遞減區間是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由導函數圖象，知或時，，∴的減區間是，．故選：C．6．函數的遞增區間是（）A． B．和C． D．和【答案】C【解析】因為的定義域為，，由，得，解得，所以的遞增區間為.故選：C.7．函數的圖像大致為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】，當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.故選：C8．已知函數與的圖象如圖所示，則不等式組解集為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由導函數與原函數單調性關系知圖中實線是的圖象，虛線是的圖象，不等式組解集是．故選：B．9．已知是定義在上的函數的導函數，且滿足對任意的都成立，則下列選項中一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，故為上的增函數，所以即，故選：D.10．已知函數在內不是單調函數，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，在內不是單調函數，故在存在變號零點，即在存在零點，∴.故選：A.二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．函數的單調減區間是__________.【答案】【解析】，令，解得，所以函數的單調減區間為.故答案為：12．函數的單調遞減區間是______．【答案】【解析】的定義域是，，令，解得：，所以在遞減，故答案為13．已知，函數在上是單調增函數，則的最大值是____．【答案】6【解析】，令，得或，所以，解得．故答案為：614．函數在區間______上是增函數，在區間______上是減函數．【答案】和【解析】=，令，解得：，令，解得：或.函數在區間,上是增函數，在區間上是減函數．15．已知是定義在上的偶函數，則實數_____，寫出函數在的單調遞增區間是______【答案】3【解析】是定義在上的偶函數，，，解得，，令，解得，的單調遞增區間是.故答案為：3；.16．已知，那么單調遞增區間___；單調遞減區間______.【答案】【解析】因為,故.令可得,即.又為增函數,故當時,,單調遞減；當時,,單調遞增.故答案為：(1)；(2)17．設函數（a為常數）.若為奇函數，則________；若是上的減函數，則a的取值范圍是________.【答案】1【解析】（1）若為奇函數則，則（2）若是上的減函數，則在上小于或者等于零，即在上恒成立，，可知在上單調遞增，所以.三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．求函數的遞減區間.【答案】【解析】∵，∴令，解得.∴函數的遞減區間為.19．求函數的單調區間．【答案】增區間為，減區間為.【解析】由得，令，即，得，從而，令，即，得，此時為增函數，又，得增區間為，令，即，得，此時為減函數，減區間為.20．已知.（1）當時，討論的單調區間；（2）若在定義域R內單調遞增，求a的取值范圍.【答案】（1）的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）【解析】（1）當時，則，令，得令，得所以的單調遞增區間為單調遞減區間為（2）由題可知：在定義域R內單調遞增等價于由在上單調遞增，又則21．已知函數.（1）若在區間上為增函數，求a的取值范圍.（2）若的單調遞減區間為，求a的值.【答案】（1）；（2）3.【解析】（1）因為，且在區間上為增函數，所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，所以在上恒成立，所以，即a的取值范圍是（2）由題意知.因為，所以.由，得，所以的單調遞減區間為，又已知的單調遞減區間為，所以，所以，即.22.已知函數，其中.（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求的單調區間.【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）①當時，的單調遞減區間為；單調遞增區間為，．②當時，的單調遞減區間為，；單調遞增區間為，．③當時，為常值函數，不存在單調區間．④當時，的單調遞減區間為，；單調遞增區間為，．【解析】（Ⅰ）解：當時，，．……2分由于，，所以曲線在點處的切線方程是．……4分（Ⅱ）解：，．…………6分①當時，令，解得．的單調遞減區間為；單調遞增區間為，．…8分當時，令，解得，或．②當時，的單調遞減區間為，；單調遞增區間為，．……10分③當時，為常值函數，不存在單調區間．……………11分④當時，的單調遞減區間為，；單調遞增區間為，．…………14分《5.3導數在研究函數中的應用（2）》同步練習（基礎篇）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．設是區間上的連續函數，且在內可導，則下列結論中正確的是（）A．的極值點一定是最值點B．的最值點一定是極值點C．在區間上可能沒有極值點D．在區間上可能沒有最值點2．如圖是函數y＝f（x）的導數y＝f'（x）的圖象，則下面判斷正確的是（）A．在（﹣3，1）內f（x）是增函數B．在x＝1時，f（x）取得極大值C．在（4，5）內f（x）是增函數D．在x＝2時，f（x）取得極小值3．已知函數在處取得極值，則（）A．1 B．2 C． D．-24．已知函數的圖象在點處的切線斜率為，且函數在處取得極值，則（）A． B． C． D．5．已知函數，則）的極大值點為（）A． B． C． D．6．設，則函數（）A．有且僅有一個極小值 B．有且僅有一個極大值C．有無數個極值 D．沒有極值7．函數在內有最小值，則的取值范圍為()A． B．C． D．8．若函數在區間內既存在最大值也存在最小值，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．函數在處有極值,則的值為()A． B． C． D．10．若是函數的極值點，則的值為（）A．-3 B．2 C．-2或3 D．–3或2二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．已知函數，則在上的最小值是_______________.12．若x＝2是f(x)＝ax3-3x的一個極值點，則a＝________.13．若函數在，則函數的最小值是_______；最大值是_________.14．已知函數，則的極小值為______．15．函數的極值是：________和________.16．函數（其中…是自然對數的底數）的極值點是________；極大值________.17．設是奇函數的導函數，，且對任意都有，則_________，使得成立的x的取值范圍是_________．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知函數.（1）求的單調區間；（2）求函數的極值；(要列表).19.若，，求：（1）的單調增區間；（2）在上的最小值和最大值.20.已知函數.（1）求曲線在點，處的切線方程；（2）求在，上的最大值和最小值.21．已知函數,（1）計算函數的導數的表達式;（2）求函數的值域.22．已知函數，是的一個極值點．（1）求的單調遞增區間；（2）若當時，恒成立，求實數的取值范圍．答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．設是區間上的連續函數，且在內可導，則下列結論中正確的是（）A．的極值點一定是最值點B．的最值點一定是極值點C．在區間上可能沒有極值點D．在區間上可能沒有最值點【答案】C【解析】根據函數的極值與最值的概念知，的極值點不一定是最值點，的最值點不一定是極值點．可能是區間的端點，連續可導函數在閉區間上一定有最值，所以