專題21勾股定理【考查題型】【知識要點】知識點一勾股定理勾股定理的概念：如果直角三角形的兩直角邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，斜邊為SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0。變式：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關系，它只適用于直角三角形，因而在應用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形。用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是：1）圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變2）根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理勾股定理的證明方法：方法一（圖一）：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡可證．方法二（圖二）：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為SKIPIF1<0大正方形面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0方法三（圖三）：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡得證SKIPIF1<0圖一圖二圖三知識點二勾股數勾股數概念：能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正整數時，稱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為一組勾股數常見的勾股數：如SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0等擴展：用含字母的代數式表示SKIPIF1<0組勾股數：1）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0SKIPIF1<0為正整數）；2）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為正整數）3）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正整數）注意：每組勾股數的相同整數倍，也是勾股數。知識點三勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理內容：如果三角形三邊長SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，那么這個三角形是直角三角形，其中SKIPIF1<0為斜邊【注意】1）勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和SKIPIF1<0與較長邊的平方SKIPIF1<0作比較，若它們相等時，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為三邊的三角形是直角三角形；若SKIPIF1<0，時，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為三邊的三角形是鈍角三角形；若SKIPIF1<0，時，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為三邊的三角形是銳角三角形；2)定理中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，那么以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為三邊的三角形是直角三角形，但是SKIPIF1<0為斜邊3)勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形知識點四直角三角形的性質與判定性質：1）直角三角形的兩個銳角互余。2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。3）直角三角形中30°角所對的邊是斜邊的一半。判定：1）有一個角是直角的三角形是直角三角形。2）如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有關系SKIPIF1<0，那么這個三角形是直角三角形。考查題型一由勾股定理解三角形典例1．（2022·浙江金華·中考真題）如圖是城市某區域的示意圖，建立平面直角坐標系后，學校和體育場的坐標分別是SKIPIF1<0，下列各地點中，離原點最近的是（

）A．超市 B．醫院 C．體育場 D．學校變式1-1．（2022·陜西·中考真題）如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的高，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則邊SKIPIF1<0的長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0變式1-2．（2022·湖南邵陽·中考真題）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0變式1-3．（2022·甘肅蘭州·中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為AD的中點，連接OE，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0變式1-4．（2022·廣西桂林·中考真題）如圖，在SKIPIF1<0ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，則SKIPIF1<0ABC的面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．1+SKIPIF1<0 C．2SKIPIF1<0 D．2+SKIPIF1<0變式1-5．（2022·四川資陽·中考真題）如圖，正方形SKIPIF1<0的對角線交于點O，點E是直線SKIPIF1<0上一動點．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0變式1-6．（2022·湖北黃石·中考真題）如圖，正方形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，將正方形SKIPIF1<0繞原點O順時針旋轉45°，則點B的對應點SKIPIF1<0的坐標為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0變式1-7．（2022·山東青島·中考真題）如圖，O為正方形SKIPIF1<0對角線SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為等邊三角形．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長度為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0變式1-8．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿BD折疊到SKIPIF1<0位置，DE交AB于點F，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0變式1-9．（2022·四川成都·中考真題）若一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程SKIPIF1<0的兩個實數根，則這個直角三角形斜邊的長是_________．變式1-10．（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=_______．變式1-11．（2022·甘肅武威·中考真題）如圖，菱形SKIPIF1<0中，對角線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長為_________cm．考查題型二利用勾股定理解決折疊問題典例2（2022·四川達州·中考真題）如圖，點E在矩形SKIPIF1<0的SKIPIF1<0邊上，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，點A恰好落在SKIPIF1<0邊上的點F處，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長為（

）A．9 B．12 C．15 D．18變式2-1．（2022·山東濟寧·中考真題）如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊BC上的點D處；再折疊紙片，使點C與點D重合，若折痕與AC的交點為E，則AE的長是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0變式2-2．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點E為AB中點，沿過點E的直線折疊，使點B與點A重合，折痕現交于點F，已知EF=SKIPIF1<0，則BC的長是（）A．SKIPIF1<0 B．3SKIPIF1<0 C．3 D．3SKIPIF1<0變式2-3．（2021·四川巴中·中考真題）如圖，矩形AOBC的頂點A、B在坐標軸上，點C的坐標是(﹣10，8)，點D在AC上，將SKIPIF1<0BCD沿BD翻折，點C恰好落在OA邊上點E處，則tan∠DBE等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0變式2-4．（2022·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，點E在BC邊上，將SKIPIF1<0沿DE翻折得到SKIPIF1<0，點F落在AE上．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______cm．變式2-5．（2022·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，將SKIPIF1<0沿直線SKIPIF1<0翻折，點SKIPIF1<0的對應點SKIPIF1<0恰好落在SKIPIF1<0上，連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長為_________．變式2-6．（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，將矩形紙片SKIPIF1<0折疊，使點B與點D重合，點A落在點P處，折痕為SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．考查題型三以弦圖為背景的計算題典例3．（2022·貴州貴陽·中考真題）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和3，則中間小正方形的周長是（

）A．4 B．8 C．12 D．16變式3-1．（2022·四川內江·中考真題）我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1））．圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若正方形EFGH的邊長為2，則S1+S2+S3=________．變式3-2．（2022·四川宜賓·中考真題）我國古代數學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為______．變式3-3．（2022·青海西寧·中考真題）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將SKIPIF1<0因式分解．【觀察】經過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式SKIPIF1<0解法二：原式SKIPIF1<0【感悟】對項數較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數式的化簡、求值及方程、函數等學習中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】(1)請用分組分解法將SKIPIF1<0因式分解；【挑戰】(2)請用分組分解法將SKIPIF1<0因式分解；【應用】(3)“趙爽弦圖”是我國古代數學的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和SKIPIF1<0，斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據以上信息，先將SKIPIF1<0因式分解，再求值．考查題型四勾股定理解決實際應用問題典例4．（2021·江蘇南通·中考真題）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東SKIPIF1<0方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東SKIPIF1<0方向上的B處，此時B處與燈塔P的距離為___________海里（結果保留根號）．變式4-1．（2021·江蘇宿遷·中考真題）《九章算術》中一道“引葭赴岸”問題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AC生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦