浙江省杭州市2021年中考數學試卷

一、選擇題(本題有10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.)(共10題；共30分)

1.-(-2021)=()

A.-2021B.2021C—/D.嘉

【答案】B

【考點】相反數及有理數的相反數

【解析】【解答】解：一(一2021)=2021.

故答案為：B.

【分析】根據負數的相反數是正數，可得答案.

2."奮斗者"號載人潛水器此前在馬里亞納海溝10909米的我國載人深潛記錄。數據10909用科學記數法可

表示為()

A.0.10909x10sB.1.0909xl04C.10.909xl03D.109.09xl02

【答案】B

【考點】科學記數法一表示絕對值較大的數

【解析】【解答】解：10909用科學記數法可表示為1.0909X104,

故答案為：B.

【分析】根據科學記數法的表示形式為：axlO。，其中14|a|<10,此題是絕對值較大的數，因此n=

整數數位二

3.因式分解：1—4y2=()

A.(l-2y)(l+2y)B.(2-y)(2+y)C.(l-2y)92+y)D.(2-y)(l+2y)

【答案】A

【考點】因式分解-運用公式法

【解析】【解答】解：l-4y2=(l-2y)(l+2y),

故答案為：A.

【分析】利用a2E=(a+b)(a-b),由此可得答案.

4.如圖，設點P是直線I外一點，PQJLI,垂足為點Q,點T是直線I上的一個動點，連結PT,則()

A.PT>2PQB.PT<2PQC.PT>PQD.PT<PQ

【答案】C

【考點】垂線段最短

【解析】【解答】解：根據點P是直線I外一點，PQ1I,垂足為點Q,

PQ是垂線段，即連接直線外的點P與直線上各點的所有線段中距離最短，

當點T與點Q重合時有PQ=PT,

綜上所述：PTNPQ,

故答案為：C.

【分析】利用垂線段最短，可得答案.

5.下列計算正確的是（）

A.存=2B.7（-2）2=-2C.舊=±2D.7（-2）2=±2

【答案】A

【考點】二次根式的性質與化簡

【解析】【解答】解：V22=V4=2,故A正確，C錯誤：

7（-2）2=2，故B、D錯誤；

故答案為：A.

【分析】利用二次根式的性質：后=|a|，由此可求解.

6.某景點今年四月接待游客25萬人次，五月接待游客60.5萬人次，設該景點今年四月到五月接待游客人

次的增長率為x（x>0）,貝I」（）

A.60.5（1-%）=25B.25（1-x）=60.5

C.60.5（1+x）=25D.25（1+x）=60.5

【答案】D

【考點】一元一次方程的其他應用

【解析】【解答】解：由題意得：

25（1+x）=60.5；

故答案為：D.

【分析】利用今年四月接待游客的人次（1+增長率）=今年五月接待游客的人次，據此列方程即可.

7.某軌道列車共有3節車廂，設乘客從任意一節車廂上車的機會均等。某天甲、乙兩位乘客同時乘同一列

軌道列車，則甲和乙從同一節車廂上車的概率是（）

1-1-1fl

AA."B.-C.-D.-

5432

【答案】c

【考點】列表法與樹狀圖法

【解析】【解答】解：將3節車廂分別記為1號車廂，2號車廂，3號車廂，用樹狀圖表示所有等可能的

結果，

甲123

乙123123123

共有9種等可能的結果，其中，甲和乙從同一節車廂上車的有3可能，

即甲和乙從同一節車廂上車的概率是|=1,

故答案為：c.

【分析】利用已知條件可知此事件是抽取放回，列出樹狀圖，再根據樹狀圖求出所有等可能的結果數及

甲和乙從同一節車廂上車的情況數，然后利用概率公式進行計算.

8.在“探索函數y=a/+bx+c的系數a，b，c與圖象的關系”活動中，老師給出了直角坐標系中

的四個點：A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).同學們探索了經過這四個點中的三個點的二

次函數圖象，發現這些圖象對應的函數表達式各不相同，其中a的值最大為()

“D

OB

【答案】A

【考點】二次函數圖象與系數的關系

【解析】【解答】解：設過三個點4(0,2),8(1,0),C(3,l)的拋物線解析式為：y=aM+b%+c

分別代入4(0,2)，8(1,0),C(3,l)得

c=2

a+b+c=0

9a+3b+c=1

6

解得(b=--'

c=2

設過三個點A(0,2),8。0),。(2,3)的拋物線解析式為：y=ax2+bx+c

分別代入4(0,2),B(l,0),。(2,3)得

c=2

a+b+c=0

4a+2b+c=3

2

解得心=_2；

設過三個點力(0,2),C(3,l)，。(2,3)的拋物線解析式為：y=ax2+bx+c

分別代入4(0,2),C(3,l),D(2,3)得

c=2

{9a+3ft+c=1

4a+2b+c=3

解得｛b=丑

c=

設過三個點8(1,0),C(3,l),D(2,3)的拋物線解析式為：y=ax2+bx+c

分別代入8(1,0),C(34),D(2,3)得

Q+b+c=0

{9a+3b+c=1

4a+2b+c=3

5

a=—

2

解得{b=1

2

c=-8

5555

???一>—>—>—

2662

???a最大為|,

故答案為：A.

【分析】利用待定系數法，分別求出過點A,B,C；過點A,B,D；過點A,C,D；過點B,C,D的函

數解析式，再比較a的大小，即可求解.

9.已知線段AB,按如下步驟作圖：①作射線AC,使ACLAB；②作NBAC的平分線AD；③以點A為圓

心，AB長為半徑作弧，交AD于點E；④過點E作EPJ_AB于點P,則AP：AB=()

A.1：V5B.1:2C.1：V3D.1：V2

【答案】D

【考點】勾股定理，等腰直角三角形

【解析】【解答】解：ACLAB,

ZCAB=90°,

「AD平分/BAC，

：.ZBAD=45°,

???EPLAB,

△APE是等腰直角三角形，

/.AP=PE,

4E=7Ap2+PE2=&AP，

,JAB=AE,

???AB=VZ4P,

AP-.AB=1：V2:

故答案為：D.

【分析】利用垂直的定義可證得NCAB=90。，利用角平分線的定義求出NBAD的度數，由此可證得△APE

是等腰直角三角形，可推出AP=PE；利用勾股定理表示出AE,可得到AB的長；然后求出AP與AB的比值.

10.已知力和y2均是以%為自變量的函數，當x=m時，函數值分別是Mi和“2，若存在實數

m,使得Ml+M2=0，則稱函數yi和均具有性質P。以下函數和y2具有性質P的是（）

22

A.yi=x+2x和y2=-X—1B.yi=x+2x和y2=-x+1

C.%=一—和y2=一x-1D.%=——和,2=-x+1

【答案】A

【考點】反比例函數與一次函數的交點問題，二次函數與一次函數的綜合應用，二次函數圖象與一元二次

方程的綜合應用

【解析】【解答】解：當％時，函數值分別為和M2,若存在實數m,使得Mx+=0,

對于A選項則有m2+m-1=0,由一元二次方程根的判別式可得：b2-4ac=1+4=5>0,所

以存在實數m,故符合題意；

對于B選項則有m2+m+1=0,由一元二次方程根的判別式可得：b2-4ac=1-4=-3<0,所

以不存在實數m,故不符合題意；

對于C選項則有一上一小一1=0,化簡得：m2+m+l=0,由一元二次方程根的判別式可得：

1TL

b2-4ac=1-4=-3<0,所以不存在實數m,故不符合題意；

對于D選項則有一三一m+1=0,化簡得：m2-m+l=0,由一元二次方程根的判別式可得：

m

b2-4ac=1-4=-3<0,所以不存在實數m,故不符合題意；

故答案為：A.

【分析】利用已知條件，由A選項可知m2+m-l=0,利用一元二次方程根的判別式，可知b2-4ac>0,可

對A作出判斷；由A選項可知m2+m+l=0,利用一元二次方程根的判別式，可知b'dacVO,可對B作出判

斷；由C選項可知一二—m—1=0,可得到m2+m+l=0,利用一元二次方程根的判別式，可知b^dac

771

<0,可對C作出判斷；由D選項可知一3-巾+1=o，可得到m2-m+l=0,利用一元二次方程根的判

別式，可知b2-4ac<0,可對D作出判斷.

二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）（共6題；共24分）

ll.sin300=

【答案】|

【考點】特殊角的三角函數值

【解析】【解答】根據特殊角的三角函數值計算即可：sin3（T=1.

【分析】利用特殊角的三角函數值可求出sin30。的值.

12.計算2a+3a=

【答案】5a

【考點】合并同類項法則及應用

【解析】【解答】解：原式=(2+3)a

=5a.

【分析】利用合并同類項就是把同類項的系數相加，字母和字母的指數不變，可得答案.

13.如圖，已知0。的半徑為1,點P是。。外一點，且0P=2。若PT是。。的切線，T為切點，連結。T,

則PT=________

【答案】V3

【考點】勾股定理，切線的性質

【解析】【解答】解：PT是。。的切線，T為切點

ZOTP=90°

PT=70P2-OT2

。。的半徑為1

OT=1

222

PT=>/OP-OT=yj2-1=V3

故答案為：V3.

【分析】利用切線的性質可證得NOTP=90。，利用勾股定理求出PT的長.

14.現有甲、乙兩種糖果的單價與千克數如下表所示

甲種糖果乙種糖果

單價(元/千克)3020

千克數23

將這2千克甲種糖果盒3千克乙種糖果混合成5千克什錦糖果，若商家用加權平均數來確定什錦糖果的單

價，則這5千克什錦糖果的單價為.元/千克

【答案】24

【考點】加權平均數及其計算

【解析】【解答】解：由題意得：

30x2+20x3r4/一/p士、

———=24（兀/千克）；

故答案為24.

【分析】利用加權平均數公式進行計算，可求出這5千克什錦糖果的單價.

15.如圖，在直角坐標系中，以點A(3,1)為端點的四條射線AB,AC,AD,AE分別過點B(1,1),點

C(1,3),點D(4,4),點E(5,2),則NBACZDAE(填中的一個)

【答案】=

【考點】坐標與圖形性質，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形

【解析】【解答】解：連接DE,如圖

???點4(3,1)，點8(1,1)，點C(l,3)，點0(4,4)，點E(5,2),

由勾股定理與網格問題，則

AB=BC=2,NABC=90°,

??.△ABC是等腰直角三角形；

AE=DE=V22+I2=V5,AD=V32+I2=V10，

AE2+DE2=AD2,

ZAED=90°,

△ADE是等腰直角三角形；

ZBAC=ZDAE=45°;

故答案為：=.

【分析】連接DE,觀察圖形可知△ABC是等腰直角三角形；利用勾股定理可求出AE,DE,AD的長；再

證明AE2+DE2=AD2,由此可求出NAED的度數，即可求出NDAE的度數；然后比較NBAC和NDAE的大

小.

16.如圖是一張矩形紙片ABCD,點M是對角線AC的中點，點E在BC邊上，把△DCE沿直線DE折疊，使

點C落在對角線AC上的點F處，連結DF,EF。若MF=AB,則NDAF=度。

AD

【答案】18

【考點】等腰三角形的性質，矩形的性質，翻折變換（折疊問題）

【解析】【解答】解：連接MD,設NDAF=x

根據矩形的基本性質可知AM二MD,ADIIBC,ZBCD=ZADC=90°

/.ZMDA=ZDAF=x,ZACB=ZDAC=x

ZDMF=2x

??,△DCE折疊得到^DFE

DF=CD=AB,DE±FC,ZFDE=ZCDE

又MF=AB

MF=DF

ZMDF=2x

,/ZBCD=ZACB+ZACD=90°,ZEDC+ZFCD=90°

/.ZCDE=ZACD=x

/.ZFDE=ZCDE=x

ZADC=ZADM+ZMDF+ZFDE+ZCDE=x+2x+x+x=5x=90°

x=18°

故NDAF=18°

故答案為18.

【分析】連接MD,設NDAF=x,利用矩形的性質可證得AM=MD,ADIIBC,ZBCD=ZADC=90°,可表示

出NDMF,利用折疊的性質可證得DF=CD=AB,DE±FC,ZFDE=ZCDE,利用等腰三角形的性質表示出

ZMDF、ZCDE.ZFDE；然后根據NADC=NADM+NMDF+NFDE+NCDE,建立關于x的方程，解方程求出

X的值，可得到NDAF的度數.

三、解答題(本題有7小題，共66分)(共7題；共66分)

2(1+x)>-1(5?

17.以下是圓圓解不等式組

一(l-x)>-2②

的解答過程：

解：由得2+x>—1,所以x>—3

由②，得l-x>2,所以-X>1,所以x>-1

所以原不等式組的解是X>-10

圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程。

【答案】解：圓圓的解答過程有錯誤，

正確的解答過程如下：

由①，得2+2x>—1,

所以2%>—3,

所以x>—|；

由②），得—1+x>—2,

所以1—x<2,

所以一x<1,

所以x>—1,

將不等式組的解集表示在數軸上：

2

所以原不等式組的解是x>-l.

【考點】解一元一次不等式組

【解析】【分析】先觀察解答過程，可知圓圓的解答過程有錯誤，再分別求出不等式組中的每一個不等

式的解集，再確定出不等式組的解集.

18.為了解某校某年級學生一分鐘跳繩情況，對該年級全部360名學生進行一分鐘跳繩次數的測試，并把

測得數據分成四組，繪制成如圖所示的頻數表和未完成的頻數直方圖（每一組不含前一個邊界值，含后一

個邊界值）

某校某年級360名學生一分鐘跳

繩次數的頻數直方圖

某校某年級360名學生一分鐘跳繩次數的頻數表

1組別（次）H

100^130

130~160

160~190a

190~22072

（1）求a的值；

（2）把頻數直方圖補充完整；

（3）求該年級一分鐘跳繩次數在190次以上的學生數占該年級全部學生數的百分比。

【答案】（1）解：a=360-48-96-72=144；

則a的值為144；

（2）解：補全頻數直方圖，如圖,

（3）解：因為72+360x100%=20%,

所以該年級一分鐘跳繩次數在190次以上的學生數占該年級全部學生數的20%.

【考點】頻數（率）分布表，頻數（率）分布直方圖

【解析】【分析】（1）利用頻數=總數-其它三個組的頻數和，列式計算可求出a的值.

（2）利用（1）中a的值補全頻數分布直方圖.

（3）利用頻數+總數=頻率，可求出結果.

19.在①AD=AE,②NABE=NACD,③FB=FC這三個條件中選擇其中二不，補充在下面的問題中，并

完成問題的解答。

問題：如圖，在△ABC中，ZABC=ZACB,點D在AB邊上（不與點A,點B重合），點E在AC邊上（不

與點A,點C重合），連結BE,CD,BE與CD相交于點F。若_▲一，求證：BE=CD。

注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分。

【答案】解：選擇條件①的證明：

丁ZABC=ZACB,

AB=AC,

又「AD=AE,4=4,

/.AABE堊LACD,

BE=CD.

選擇條件②的證明：

丁/ABC=ZACB,

AB-AC,

又??,-4=4,ZABE=ZACD,

??.LABE2LACD,

BE=CD.

選擇條件③的證明：

?/FB=FC,

???NFBC=ZFCB,

又:/ABC=ZACB,BC=CB,

△CBE空△BCD,

BE=CD

【考點】全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質

【解析】【分析】選擇條件①，利用等角對等邊可證得AB=AC,利用SAS可證得△ABE2△ACD,利用全

等三角形的對應邊相等，可證得結論；選擇條件②，利用等角對等邊，可證得AB=AC,再利用ASA可證

得AABE2AACD,利用全等三角形的性質，可證得結論；選擇條件③，利用等邊對等角可證得

ZFBC=ZFCB,再利用ASA可證得△CBE2△BCD,然后利用全等三角形的對應邊相等，可證得結論.

20.在直角坐標系中，設函數y】=號（fci是常數，的＞0,x＞0）與函數九=七%（心是常

數，七#0）的圖象交于點A,點A關于y軸的對稱點為點B。

（1）若點B的坐標為（-1,2）,

①求b,k2的值；②當當＜兒時，直接寫出%的取值范圍；

（2）若點B在函數、3=母（&是常數，心彳0）的圖象上，求心+色的值。

【答案】（1）解：①由題意得，點A的坐標是（1,2）,

???函數月=幺的圖象過點A,

JX

ki=2,

同理k2=2.

②x>1.

(2)解：設點A的坐標是(和,丫0)，則點B的坐標是(-%o-yo)，

k1=xoyo,k3——xoyo,

+fc3=0.

【考點】待定系數法求反比例函數解析式，反比例函數與一次函數的交點問題

【解析】【解答】(1)②由圖象可知，當yi<y2時，反比例函數的圖象位于正比例函數圖象的下方，

即當<丫2時，X>1.

【分析】(1)①將點A的坐標代入反比例函數解析式，可求出口的值；將點A的坐標代入正比例函數解

析式，可求出k2的值；②利用點A的橫坐標，觀察函數圖象可得到yi<y2時自變量X的取值范圍.

(2)設點A(Xo,yo),利用點A關于y軸對稱的為點B,由此可得到點B的坐標；利用函數解析式，

求出ki+k3的值.

21.如圖，在△ABC中，NABC的平分線BD交AC邊于點D,AE_LBC于點E。已知NABC=60。，NC=45。。

(1)求證：AB=BD；

(2)若AE=3,求△ABC的面積。

【答案】(1)證明：BD平分ZABC,

ZDBC=-ZABC=30".

2

NADB=/DBC+/C=75°，

又丁ZBAC=180°-/ABC-NC=75°

ZBAC=NADB,

AB—BD.

4E

(2)由題意,得BE==V3,EC

tan48C

BC=3+y[3,

△ABC的面積為-BC-AE=.

22

【考點】等腰三角形的性質，解直角三角形，角平分線的定義

【解析】【分析】(1)利用角平分線的定義可求出NDBC的度數，再利用三角形的外角的性質求出NADB

的度數；然后利用三角形的內角和定理求出NBAC的度數，可推出NBAC=NADB,利用等角對等邊可證得

結論.

(2)利用垂直的定義可得NAEB=NAEC=90。；在內△ABE中，利用解直角三角形求出BE的長；在R3AEC

中，利用解直角三角形求出EC的長，由BC=BE+CE,可得到BC的長；然后利用三角形的面積公式可求出

△ABC的面積.

22.在直角坐標系中，設函數y=ax2+bx+1(a,b是常數，aKO)。

(1)若該函數的圖象經過(1,0)和(2,1)兩點，求函數的表達式，并寫出函數圖象的頂點坐標；

(2)寫出一組a、b的值，使函數y=ax?+bx+l的圖象與x軸有兩個不同的交點，并說明理由.

(3)已知a=b=l,當x=p,q(p,q是實數，p豐q)時，該函數對應的函數值分別為P,

Q。若p+q=2,求證：P+Q>6。

【答案】(1)解：把點(1,0)和(2,1)代入得：，

解得｛/=M，

b=-2

.1-y=x2-2x+1,則化為頂點式為y=(x-I)2,

該函數圖象的頂點坐標是(1,0);

(2)解：例如a=1,b=3,此時y=/+3無+1；

b2—4ac=5>0,

二.函數y=x2+3x+1圖象與x軸有兩個不同的交點；

(3)證明：由題意，得P=p2+p+l,(J=(/2+(/+1,

p+q=2,

P+Q=p2+p+l+q2+q+1