2017年全國統一高考數學試卷（理科）（新課標m）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合A={（x,y）x2+y2=l},B={（x,y）|y=x},則ACB中元素

的個數為（）

A.3B.2C.1D.0

2.（5分）設復數z滿足（1+i）z=2i,則|z|=（）

A.1B.返C.V2D.2

22

3.（5分）某城市為了解游客人數的變化規律，提高旅游服務質量，收集并整理

了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數據，繪

制了下面的折線圖.

根據該折線圖，下列結論錯誤的是（）

A.月接待游客量逐月增加

B,年接待游客量逐年增加

C,各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化

比較平穩

4.（5分）（x+y）（2x-y）5的展開式中的x3y3系數為（）

A.-80B.-40C.40D.80

5.（5分）已知雙曲線C（a>0,b>0）的一條漸近線方程為y=退,

a2b22

22

且與橢圓—+工=1有公共焦點，則C的方程為（）

123

22222222

A.-^-=1B.-2_=1C.X--^-=1D.y_=1

810455443

6.（5分）設函數f（x）=cos（x+A）,則下列結論錯誤的是（）

3

A.f（x）的一個周期為-2K

B.y=f（x）的圖象關于直線乂="對稱

3

C.f（x+n）的一個零點為x=2L

6

D.f（X）在（工，R）單調遞減

2

7.（5分）執行如圖的程序框圖，為使輸出S的值小于91,則輸入的正整數N

的最小值為（）

.

/輸入N/

f=l=M=1005=0

S=S+.M/輸出S/

M=_M|（結束I

10

------f=r+l

A.5B.4C.3D.2

8.（5分）已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球

面上，則該圓柱的體積為（）

A.71B."C.—D.—

424

9.（5分）等差數列｛a#的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數列,則

｛an｝前6項的和為（）

第2頁，共32頁

A.-24B.-3C.3D.8

22

10.(5分)已知橢圓C：0+j=l(a>b>0)的左、右頂點分別為Ai,

a2b2

第2頁，共32頁

,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切，則C的離心率為（）

A.返B.返C.返D.1

3333

11.（5分）已知函數f（x）=x2-2x+a（ex-i+e*i）有唯一零點，則a=（）

A.-1B.J-C.1D.1

232

12.（5分）在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切

的圓上.若送入標+四瓦則入+R的最大值為（）

A.3B.272C.V5D.2

二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分。

'x-y>0

13.（5分）若x,y滿足約束條件x+y-2<0,則z=3x-4y的最小值為.

分）設等比數列｛滿足貝

14.（5ajai+a2=-1,ai-a3=-3,a4=.

15.（5分）設函數f（x）J"1'X<0則滿足f（x）+f（x-1）>1的x的取

2X,x>02

值范圍是.

16.（5分）a,b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊

AC所在直線與a,b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，有下列結論：

①當直線AB與a成60。角時，AB與b成30。角；

②當直線AB與a成60。角時，AB與b成60。角；

③直線AB與a所成角的最小值為45°；

④直線AB與a所成角的最小值為60°；

其中正確的是.（填寫所有正確結論的編號）

第3頁，共32頁

第3頁，共32頁

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要

求作答。（一）必考題：60分。

17.（12分）AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+近cosA=0,

a=2jV，b=2.

⑴求c；

（2）設D為BC邊上一點，且AD_LAC,求aABD的面積.

18.（12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4

元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處

理完.根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：。C）有關.如

果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20,25）,

需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份

的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布

表：

最高氣溫[10,15）[15,20）[20,25）[25,30）[30,35）[35,40）

天數216362574

以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率.

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；

（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當六月份這種酸奶一

第4頁，共32頁

天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數學期望達到最大值？

第4頁，共32頁

19.(12分)如圖，四面體ABCD中，^ABC是正三角形，aACD是直角三角形,

ZABD=ZCBD,AB=BD.

(1)證明：平面ACDJ_平面ABC；

(2)過AC的平面交BD于點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩

部分，求二面角D-AE-C的余弦值.

20.(12分)已知拋物線C：y2=2x,過點(2,0)的直線I交C于A,B兩點,

圓M是以線段AB為直徑的圓.

(1)證明：坐標原點。在圓M上；

(2)設圓M過點P(4,-2),求直線I與圓M的方程.

21.(12分)已知函數f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)20,求a的值；

(2)設m為整數，且對于任意正整數n,(1+2)(1+3)…(1+J-)<m,求

m的最小值.

第5頁，共32頁

第5頁，共32頁

(-)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則

按所做的第一題計分。［選修4-4:坐標系與參數方程］

22.(10分)在直角坐標系xOy中，直線I】的參數方程為產2+1代為參數)，

|y=kt

x=-2+m

直線h的參數方程為)m,(m為參數).設11與12的交點為P,當k變化

時，P的軌跡為曲線C.

(1)寫出C的普通方程；

(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設b：p(cos8+sin0)

-V2=0,M為卜與C的交點，求M的極徑.

［選修4-5:不等式選講］

23.已知函數f(x)=x+l|-x-2.

(1)求不等式f(x)21的解集；

(2)若不等式f(X)2x2-x+m的解集非空，求m的取值范圍.

第6頁，共32頁

2017年全國統一高考數學試卷（理科）（新課標m）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的。

（分）已知集合（）22（）則中元素

1.5A={xty|x+y=l}.B={x,y|y=x},ACB

的個數為（）

A.3B.2C.1D.0

【考點】IE：交集及其運算.

【專題】5J：集合.

【分析】解不等式組求出元素的個數即可.

V2_V2

22x可、x一丁

【解答】解：由x+y=1,解得：＜或＜

y=x企近,

尸一F

??.AnB的元素的個數是2個,

故選：B.

【點評】本題考查了集合的運算，是一道基礎題.

2.（5分）設復數z滿足（1+i）z=2i,則|z|=（）

A.1B.返C.V2D.2

22

【考點】A8：復數的模.

【專題】35：轉化思想；5N：數系的擴充和復數.

第7頁，共32頁

【分析】利用復數的運算法則、模的計算公式即可得出.

【解答】解：???(1+i)z=2i,...(1-i)(1+i)z=2i(1-i),z=i+l.

則Iz=5/2.

故選：C.

第7頁，共32頁

【點評】本題考查了復數的運算法則、模的計算公式，考查了推理能力與計算能

力，屬于基礎題.

3.（5分）某城市為了解游客人數的變化規律，提高旅游服務質量，收集并整理

了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數據，繪

2014年2015年2016年

根據該折線圖，下列結論錯誤的是（）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C,各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化

比較平穩

【考點】2K：命題的真假判斷與應用；B9:頻率分布折線圖、密度曲線.

【專題】27：圖表型；2A：探究型；51：概率與統計.

【分析】根據已知中2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬

人）的數據，逐一分析給定四個結論的正誤，可得答案.

【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：

第8頁，共32頁

萬人）的數據可得：

月接待游客量逐月有增有減，故A錯誤；

年接待游客量逐年增加，故B正確；

各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月，故C正確；

第8頁，共32頁

各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平

穩，故D正確；

故選：A.

【點評】本題考查的知識點是數據的分析，命題的真假判斷與應用，難度不大，

屬于基礎題.

4.(5分)(x+y)(2x-y)5的展開式中的x3y3系數為()

A.-80B.-40C.40D.80

【考點】DA：二項式定理.

【專題】34：方程思想；5P：二項式定理.

【分析】(2x-y)5的展開式的通項公式：Tr+i=廠(2x)5-r(-y)r=25-r(-1)

5

.令5-r=2,r=3,解得r=3.令5-r=3,r=2,解得r=2.即可得出.

【解答】解：(2x-y)5的展開式的通項公式：Tr+尸產(2x)5r(-y)r=25r(-

5

1)r[rx5ryr.

5

令5-r=2,r=3,解得r=3.

令5-r=3,r=2,解得r=2.

332

...(x+y)(2x-y)5的展開式中的x3y3系數=2?X(-1)[3+2X1X[=40.

故選：c.

【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔

題.

第9頁，共32頁

5.（5分）已知雙曲線C：蕓-二=1（a>0,b>0）的一條漸近線方程為y=：

aZb2

22

且與橢圓?十］有公共焦點，則C的方程為（）

22222222

A.Z__X_=lB.--y—=1c.x_=iD.三

810455443

第9頁，共32頁

【考點】KC：雙曲線的性質.

【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性

質與方程.

【分析】求出橢圓的焦點坐標，得到雙曲線的焦點坐標，利用雙曲線的漸近線方

程，求出雙曲線實半軸與虛半軸的長，即可得到雙曲線方程.

22

【解答】解：橢圓式+==1的焦點坐標(±3,0),

123

則雙曲線的焦點坐標為(±3,0),可得c=3,

雙曲線C：(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=Y5x,

可得且遂，即心￡三，可得￡=W,解得a=2,b=V5,

a2a24a2

22

所求的雙曲線方程為：2二=1.

45

故選：B.

【點評】本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質的應用，雙曲線方程的求法，考查計

算能力.

6.(5分)設函數f(x)=cos(x+2L),則下列結論錯誤的是()

3

A.f(x)的一個周期為-2n

B.y=f(x)的圖象關于直線x=2上對稱

3

c.f(X+R)的一個零點為x=2L

6

D.f(X)在(匹，R)單調遞減

2

第10頁，共32頁

【考點】H7：余弦函數的圖象.

【專題】33：函數思想；40：定義法；57：三角函數的圖像與性質.

【分析】根據三角函數的圖象和性質分別進行判斷即可.

第10頁，共32頁

【解答】解：A.函數的周期為2kn,當k=-l時，周期丁=-2兀，故A正確，

B.當x=3工時，cos(x+—)=cos(-^-1-+—)=cos-^2L=cos3n=-1為最小值，

33333

此時y=f(x)的圖象關于直線x=&L對稱，故B正確，

3

C當X=2L時，f(匹+兀)=cos(―+n+2L)=cos22L=0,則f(x+兀)的一^零點

66632

為x=2L,故c正確，

6

D.當2L<X<TI時，52L<x+2L<12L,此時函數f(x)不是單調函數，故D

2633

錯誤，

故選：D.

【點評】本題主要考查與三角函數有關的命題的真假判斷，根據三角函數的圖象

和性質是解決本題的關鍵.

7.(5分)執行如圖的程序框圖，為使輸出S的值小于91,則輸入的正整數N

的最小值為()

/輸入N/

10

第11頁，共32頁

【考點】EF：程序框圖.

【專題】11:計算題；39：運動思想；49：綜合法；5K：算法和程序框圖.

【分析】通過模擬程序，可得到S的取值情況，進而可得結論.

第11頁，共32頁

【解答】解：由題可知初始值t=l,M=100,S=0,

要使輸出S的值小于91,應滿足“tWN",

則進入循環體，從而S=100,M=-10,t=2,

要使輸出S的值小于91,應接著滿足“tWN",

則進入循環體，從而S=90,M=l,t=3,

要使輸出S的值小于91,應不滿足“tWN",跳出循環體，

此時N的最小值為2.

故選：D.

【點評】本題考查程序框圖，判斷出什么時候跳出循環體是解決本題的關鍵，注

意解題方法的積累，屬于中檔題.

8.（5分）已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球

面上，則該圓柱的體積為（）

A.nB.C.—D.—

424

【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LR：球內接多面體.

【專題】11：計算題；34：方程思想；40：定義法；5Q：立體幾何.

【分析】推導出該圓柱底面圓周半徑r=《2_（j_）2=乎,由此能求出該圓柱的體

積.

【解答】解：???圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球

面上，

???該圓柱底面圓周半徑r=J2TL產亨

第12頁，共32頁

一3兀

，該圓柱的體積：V=Sh=兀xxl=-

第12頁，共32頁

【點評】本題考查面圓柱的體積的求法，考查圓柱、球等基礎知識，考查推理論

證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題.

9.(5分)等差數列｛加｝的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數列,則

國｝前6項的和為()

A.-24B.-3C.3D.8

【考點】85：等差數列的前n項和.

【專題】11:計算題；34:方程思想；40：定義法；54:等差數列與等比數列.

【分析】利用等差數列通項公式、等比數列性質列出方程，求出公差，由此能求

出匕力前6項的和.

【解答】解：???等差數列匕力的首項為1,公差不為O.a2,a3,a6成等比數列,

?2

??a?=&2飛6'

(ai+2d)2=(ai+d)(ai+5d),且ai=l,dWO,

解得d=-2,

｛an｝前6項的和為S6=6ai+^^d=6xi+^^x(-2)=-24-

故選：A.

【點評】本題考查等差數列前n項和的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注

意等差數列、等比數列的性質的合理運用.

22

10.(5分)已知橢圓C：三+三=1(a>b>0)的左、右頂點分別為Ai,A2,且

a2b2

以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切，則C的離心率為()

第13頁，共32頁

A.返B.返C.返D.1

3333

【考點】K4：橢圓的性質.

第13頁，共32頁

【專題】34：方程思想；5B：直線與圓；5D：圓錐曲線的定義、性質與方程.

【分析】以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切，可得原點到直線的

距離2g^_=a,化簡即可得出.

【解答】解：以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,

2ab

，原點到直線的距離=a，化為:a2=3b2.

二橢圓C的離心率e=-|=.I/

故選:A.

【點評】本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與圓相切的性質、點到直線

的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

2x-1x+1

11.(5分)已知函數f(x)=x-2x+a(e+e)有唯一零點，則a=()

A.-1B.LC.1D.1

232

【考點】52:函數零點的判定定理.

【專題】11：計算題；33：函數思想；49：綜合法；51:函數的性質及應用.

【分析】通過轉化可知問題等價于函數y=l-(x-1)2的圖象與y=a

x-1

e

的圖象只有一個交點求a的值.分a=0、aVO、a>0三種情況，結合函數的

單調性分析可得結論.

【解答】解：因為f(x)=x2-2x+a(exl+ex+1)=-1+(x-1)2+a(exl+——)

x-1

e

=0,

所以函數f(x)有唯一零點等價于方程1-(x-1)2=a(exl+-l-)有唯一解,

X-1

第14頁，共32頁

等價于函數y=l一(x-1)2的圖象與y=a(exi+_\)的圖象只有一個交點.

X-1

e

①當a=0時，f(x)=x2-2x>-1,此時有兩個零點，矛盾；

②當aVO時，由于y=l-(x-1)2在(_8,1)上遞增、在(1,+oo

第14頁，共32頁

)上遞減，

且y=a?I+上)在(-8,1)上遞增、在(I,+8)上遞減，

X-1

e

所以函數y=l-(x-1)2的圖象的最高點為A(1,1),y=a(exl+_l_)的圖

X-1

e

象的最高點為B(1,2a),

由于2aV0Vl,此時函數y=l-(x-1)2的圖象與y=a(exl+^_)的圖象有

X-1

e

兩個交點，矛盾；

③當a>0時，由于y=l-(x-1)2在(-8,1)上遞增、在(1,+8)上遞

減，

且y=a(exl+-A—)在(-8,1)上遞減、在(1,+8)上遞增，

X-1

e

所以函數y=l-(x-1)2的圖象的最高點為A(1,1),y=a(exi+_J_)的圖

x-1

e

象的最低點為B(1,2a),

由題可知點A與點B重合時滿足條件，即2a=1,即2=工，符合條件；

2

綜上所述，a=l,

2

故選：C.

【點評】本題考查函數零點的判定定理，考查函數的單調性，考查運算求解能力，

考查數形結合能力，考查轉化與化歸思想，考查分類討論的思想，注意解題

方法的積累，屬于難題.

12.(5分)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切

的圓上.若下=入標+N而，則入+H的最大值為()

A.3B.272C.V5D.2

【考點】9S：數量積表示兩個向量的夾角.

第15頁，共32頁

【專題】11:計算題；31：數形結合；4R：轉化法；57：三角函數的圖像與性質；

5A：平面向量及應用；5B：直線與圓.

【分析】

第15頁，共32頁

如圖：以A為原點，以AB,AD所在的直線為x,y軸建立如圖所示的坐標系,

先求出圓的標準方程，再設點P的坐標為(2醫cosO+1,空房吊0+2),根據

55

AP=XAB+kiAD,求出入，氏根據三角函數的性質即可求出最值.

【解答】解：如圖：以A為原點，以AB,AD所在的直線為x,y軸建立如圖所

示的坐標系，

則A(0,0),B(1,0),D(0,2),C(1,2),

???動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上，

設圓的半徑為r,

VBC=2,CD=1,

??BD=^22+12=^

.,.1BC?CD=1BDT,

22

圓的方程為(X-1)2+(y_2)2=&,

5

設點P的坐標為(空￡°S0+1,空isin0+2),

55

VAP=AAB+PAD,

，(^Sf-osG+l,2遙sme+2)=入(1,0)+|i(0,2)=(入，2日)，

55

，‘V5cos6+1=人,-^LZ^sin9+2=2p,

55

?,?入+|i='八5cose+點_sin6+2=sin(0+4))+2,其中tan6=2,

55

,:-lWsin(0+4))Wl,

???代入+昨3,

故人+日的最大值為3,

故選：A.

第16頁，共32頁

第16頁，共32頁

【點評】本題考查了向量的坐標運算以及圓的方程和三角函數的性質，關鍵是設

點P的坐標，考查了學生的運算能力和轉化能力，屬于中檔題.

二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）若x,y滿足約束條件x+y-2<0,則z=3x-4y的最小值為-1.

y》0

【考點】7C：簡單線性規劃.

【專題】11：計算題；31:數形結合；44:數形結合法；5T:不等式.

【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，求目標函數

z=3x-4y的最小值.

【解答】解：由z=3x-4y,得丫=當<-三作出不等式對應的可行域（陰影部分），

44

平移直線y=Wx-m由平移可知當直線y=3x-三

4444

經過點B（1,1）時，直線y=當-三的截距最大，此時z取得最小值，

44

將B的坐標代入z=3x-4y=3-4=-1,

即目標函數z=3x-4y的最小值為-1.

故答案為：-1.

【點評】本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結

合的數學思想是解決此類問題的基本方法.

第17頁，共32頁

分）設等比數列｛滿足貝

14.（5ajai+a2=-1,ai-a3=-3,1Ja4=-8

第17頁，共32頁

【考點】88:等比數列的通項公式.

【專題】34：方程思想；35：轉化思想；54：等差數列與等比數列.

【分析】設等比數列｛an｝的公比為q,由ai+a2=-1,a】-a3=-3,可得：ax(1+q)

=-1,ai(1-q2)=-3,解出即可得出.

【解答】解：設等比數列｛an｝的公比為q,???ai+a2=-l,ai-a3=-3,

??3i(1+q)=-1,3i(l-q?)=-3,

解得ai=l,q=-2.

則34=(-2)3=-8.

故答案為：-8.

【點評】本題考查了等比數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中

檔題.

15.(5分)設函數f(x)J"1'X<0則滿足f(x)+f(x-1)>1的x的取

2X,x>02

值范圍是_(二+8).

4

【考點】3T：函數的值.

【專題】32：分類討論；4R：轉化法；51：函數的性質及應用.

【分析】根據分段函數的表達式，分別討論x的取值范圍，進行求解即可.

【解答】解：若xWO,則x-LW-工

22

則f(x)+f(x-1)>1等價為*+1+*-工+1>1,即2X>-L,則X>」,

2224

此時」<xW0,

4

當x>0時，f(x)=2X>1,x--1,

22

第18頁，共32頁

當x-L>0即x>!時，滿足f(x)+f(x-1)>1恒成立，

222

當O?x-L>-L,即!2x>0時，f(x-工)=x-l+l=x+l>l,

2222222

此時f(x)+f(x-1)>1恒成立,

2

第18頁，共32頁

綜上X＞」，

4

故答案為：（衛，+8）.

4

【點評】本題主要考查不等式的求解，結合分段函數的不等式，利用分類討論的

數學思想進行求解是解決本題的關鍵.

16.（5分）a,b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊

AC所在直線與a,b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，有下列結論：

①當直線AB與a成60。角時，AB與b成30。角；

②當直線AB與a成60。角時，AB與b成60。角；

③直線AB與a所成角的最小值為45°；

④直線AB與a所成角的最小值為60°；

其中正確的是②③.（填寫所有正確結論的編號）

【考點】Ml：直線與平面所成的角.

【專題】11:計算題；31：數形結合；41：向量法；5F：空間位置關系與距離.

【分析】由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，構建如圖所示的邊長為

1的正方體，|AC|=1,|AB|=M,斜邊AB以直線AC為旋轉軸，則A點保持

不變，B點的運動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標原點，以CD

為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結

果.

【解答】解：由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，

不妨設圖中所示正方體邊長為1,

故|AC|=1,AB|=V2,\

第19頁，共32頁

斜邊AB以直線AC為旋轉軸，則A點保持不變,

B點的運動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，

以C坐標原點，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，

則D(1,0,0),A(0,0,1),直線a的方向單位向量5=(0,1,0),|al=l,

第19頁，共32頁

直線b的方向單位向量b=(1.0,0),lbl=l,

設B點在運動過程中的坐標中的坐標W(cos0,sin0,0),

其中0為Bf與CD的夾角，ee[0,2R),

，AB，在運動過程中的向量，AB'=(cos。，sin0,-1),\l=V2,

設京與W所成夾角為a@[0,

則cosa'C，-sine^MO,1，時畫1e[0,返],

lal-lAB'|22

??.ae[2L,2L],.?.③正確，④錯誤.

42

設藍矛與E所成夾角為0e[O,二],

CCSB=」KRL」(-COS8,sink1).(1,0,0)L返I皿A|,

|ABZ|-|b|Ibl-lAB'|2

當或丁與W夾角為60。時，即。=三，

3

isinO=Mc°sQ=近34=半

O乙

cos20+sin20=l,?'.cosP=^-1cos01=—,

22

vpe[o.A],/.p=A,此時京與E的夾角為60。，

23

②正確，①錯誤.

故答案為：②③.

【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系

等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數形

第20頁，共32頁

結合思想、化歸與轉化思想，是中檔題.

第20頁，共32頁

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要

求作答。(一)必考題：60分。

17.(12分)AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+近cosA=0,

a=2jV,b=2.

(1)求c；

(2)設D為BC邊上一點，且AD_LAC,求aABD的面積.

【考點】HT：三角形中的幾何計算.

【專題】11:計算題；35：轉化思想；40：定義法；58：解三角形.

【分析】(1)先根據同角的三角函數的關系求出A,再根據余弦定理即可求出，

(2)先根據夾角求出cosC,求出CD的長，得到SAABD=1SAABC?

2

【解答】解：(1)VsinA+V3cosA=0,

/.tanA=->/3.

V0<A<n,

?A-2兀

,.A-

由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,

艮|]28=4+c2-2X2cX(-1),

2

即c2+2c-24=0,

解得c=-6(舍去)或c=4,

故c=4.

(2)Vc2=b2+a2-2abcosC,

第21頁，共32頁

/.16=28+4-2X277><2XcosC,

.?.cos「C=-2^,

V?

/.CD=—=A/7

cosC2

V?

CD=1BC

2

第21頁，共32頁

SAABC=—AB*AC?sinZBAC」X4X2X退=2仃

222

??SAABD=-^-SAABC=\/3

2

【點評】本題考查了余弦定理和三角形的面積公式，以及解三角形的問題，屬于

中檔題

18.(12分)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4

元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處

理完.根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關.如

果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20,25),

需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份

的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布

表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數216362574

以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率.

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；

(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一

天的進貨量n(單位：瓶)為多少時，Y的數學期望達到最大值？

【考點】CG：離散型隨機變量及其分布列；CH:離散型隨機變量的期望與方差.

第22頁，共32頁

【專題】"：計算題；32：分類討論；49：綜合法；51：概率與統計.

【分析】（1）由題意知X的可能取值為200,300,500,分別求出相應的概率,

由此能求出X的分布列.

第22頁，共32頁

(2)由題意知這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶，只需考慮

200^n^500,根據300WnW500和200WnW300分類討論經,能得到當n=300

時，EY最大值為520元.

【解答】解：(1)由題意知X的可能取值為200,300,500,

P(X=200)=2+16=0.2,

90

P(X=300)=條0.4,

P(X=500)=25+7+4=04,

90

AX的分布列為：

X200300500

P0.20.40.4

(2)由題意知這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶,

,只需考慮200<nW500,

當300WnW500時，

若最高氣溫不低于25,則Y=6n-4n=2n；

若最高氣溫位于區間［20,25),則Y=6X300+2(n-300)-4n=1200-2n；

若最高氣溫低于20,則Y=6X200+2(n-200)-4n=800-2n,

AEY=2nX0.4+(1200-2n)X0.4+(800-2n)X0,2=640-0.4n,

當200WnW300時，

若最高氣溫不低于20,則Y=6n-4n=2n,

若最高氣溫低于20,則Y=6X200+2(n-200)-4n=800-2n,

AEY=2nX(0.4+0.4)+(800-2n)X0.2=160+1.2n.

，n=300時，Y的數學期望達到最大值，最大值為520元.

第23頁，共32頁

【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列的求法，考查數學期望的最大值的求

法，考查函數、離散型隨機變量分布列、數學期望等基礎知識，考查推理論

證能力、運算求解能力，考查分類與整合思想、化歸與轉化思想，是中檔題.

19.（12分）如圖，四面體ABCD中，^ABC是正三角形，ZXACD是直角三角形，

ZABD=ZCBD,AB=BD.

第23頁，共32頁

(1)證明：平面ACD_L平面ABC；

(2)過AC的平面交BD于點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩

部分，求二面角D-AE-C的余弦值.

D

【考點】LY：平面與平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法.

【專題】31：數形結合；35：轉化思想；5F：空間位置關系與距離；5G：空間

角.

【分析】(1)如圖所示，取AC的中點0,連接BO,0D.AABC是等邊三角形,

可得0BLAC.由已知可得：AABD^ACBD,AD=CD.4ACD是直角三角形，

可得AC是斜邊，ZADC=90°,可得DO=1AC,利用DO2+BO2=AB2=BD2,可得