試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2023年北京市第二次學通高中學業水平合格性考試第一部分（選擇題共60分）一、選擇題：共20小題，每小題3分，共60分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．函數的圖象經過點（

）A． B． C． D．3．要得到函數的圖象，只要將函數的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度4．已知向量，，，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知平面內的兩個非零向量，滿足，則與（

）A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反6．（

）A． B． C．0 D．17．在復平面內，復數對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．如圖，在長方體中，，，則（

）

A．3 B．4 C．5 D．69．函數的零點個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．或11．復數（

）A． B． C． D．12．已知，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．413．甲、乙兩人在罰球線進行投籃比賽，甲的命中率為0.7，乙的命中率為0.8，甲、乙命中與否互不影響．甲、乙兩人各投籃1次，那么“甲、乙兩人都命中”的概率為（

）A．0.08 B．0.14 C．0.24 D．0.5614．如圖，四邊形是菱形，下列結論正確的是（

）

A． B． C． D．15．已知直線，和平面，滿足，，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．是平面的斜線16．已知，則（

）A． B． C． D．17．在核酸檢測中，“10合1”混采檢測是指將10個人的樣本混合在一個采集管中進行檢測．采集時，將采集管發放給10人中的第一個人．某同學參加“10合1”混采，他拿到采集管的概率為（

）A． B． C． D．18．“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件19．已知集合，定義函數則（

）A． B．0 C．1 D．220．某小區的公共交流充電樁每小時的充電量為，收費標準如下表所示：時間段00：00—07：0007：00—10：0010：00—15：0015：00—18：0018：00—21：0021：00—23：0023：00—24：00收費（元/）1.21.41.61.41.61.41.2小王的新能源汽車于17：30開始在該小區的公共交流充電樁充電，當天21：00還未充滿，21：30來查看，發現已充滿，則小王應繳納的充電費可能為（

）A．31.5元 B．37.5元 C．45.3元 D．51.1元第二部分（非選擇題共40分）二、填空題：共4小題，每小題3分，共12分．21．函數的定義域是．22．已知向量，，則．23．計算．24．某公司對去年甲、乙兩種產品的月投資額（單位：萬元）進行了統計，作出如下統計圖（稱為雷達圖）．根據圖中信息，給出下列三個結論：①該公司去年12月份甲產品的月投資額低于乙產品的月投資額；②該公司去年甲產品的月投資額的平均數大于乙產品的月投資額的平均數；③該公司去年甲產品的月投資額的方差小于乙產品的月投資額的方差．其中所有正確結論的序號是．三、解答題：共4小題，共28分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．25．如圖，在四棱錐中，平面，底面是矩形．

(1)求證：平面；(2)求證：平面．26．閱讀下面題目及其解答過程．已知函數．（1）求證：函數是偶函數；（2）求函數的單調遞增區間．解：（1）因為函數的定義域是①，所以，都有．又因為，所以②．所以函數是偶函數．（2）當時，，此時函數在區間上單調遞減．當時，③．當時，④，此時函數在區間⑤上單調遞增．所以函數的單調遞增區間是．以上題目的解答過程中，設置了①～⑤五個空格，如下的表格中為每個空格給出了兩個選項，其中只有一個正確，請選出正確的選項，并填寫在相應的橫線上（只需填寫“A”或“B”）．空格序號選項①（A）（B）②（A）（B）③（A）2（B）④（A）（B）⑤（A）（B）27．已知函數．(1)求的最小正周期；(2)求在區間上的最大值及相應的值．28．已知數集含有（）個元素，定義集合．(1)若，寫出；(2)寫出一個集合，使得；(3)當時，是否存在集合，使得？若存在，寫出一個符合條件的集合；若不存在，說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】由并集定義可求.【詳解】由題意，，，所以.故選：B2．A【分析】根據對數的運算求解即可.【詳解】根據對數的運算可知，，，無意義，，所以函數的圖象經過點.故選：A3．D【分析】根據三角函數圖象的相位變換可得.【詳解】由三角函數圖象的相位變換可知，將函數的圖象向右平移個單位長度所得圖象的解析式為.故選：D4．C【分析】利用平面向量垂直的坐標表示可求得實數的值.【詳解】因為向量，，，則，解得.故選：C.5．D【分析】根據向量的共線及模的關系確定選項即可.【詳解】因為兩個非零向量，滿足，所以為共線反向向量，且模不相等，所以ABC錯誤，D正確.故選：D6．B【分析】根據指數冪的性質及對數的運算求解.【詳解】.故選：B7．B【分析】由復數的幾何意義得出答案.【詳解】復數對應的點坐標為，位于第二象限故選：B8．B【分析】根據長方體的性質求解.【詳解】在長方體中，，故選：B9．A【分析】由函數的單調性結合即可判斷零點個數.【詳解】函數是R上的單調遞增函數，且，所以函數只有一個零點，故選：A.10．A【分析】先解相應方程，然后根據二次函數開口方向判斷解集即可.【詳解】解方程得或，因為函數開口向上，所以不等式的解集為.故選：A11．D【解析】根據復數的乘法運算可得答案.【詳解】.故選：D.12．D【分析】直接由基本不等式運算即可.【詳解】因為，所以，即的最小值為4，當且僅當時，等號成立.故選：D.13．D【分析】根據題意，由相互獨立事件的概率公式求解.【詳解】根據獨立事件同時發生的概率公式可知，“甲、乙兩人都命中”的概率為，故選：D14．C【分析】根據向量相等的概念及向量的加法法則判斷選項即可.【詳解】因為四邊形是菱形，所以根據向量加法的平行四邊形法則知，，，故C對D錯；因為向量方向不同，所以，，故AB錯誤.故選：C15．C【分析】根據線面垂直的性質得解.【詳解】因為，，所以，故選：C16．B【分析】根據誘導公式求解.【詳解】因為，所以，故選：B17．D【分析】根據古典概型求解.【詳解】因為某同學參加“10合1”混采，他在10人組中的位置是等可能的，有10個位置可排，成為第一個人的可能性為，所以他拿到采集管的概率為.故選：D18．A【分析】根據充分不必要條件的概念判斷即可.【詳解】當時，；當時，，不一定，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.19．B【分析】由，結合分段函數的解析式可得答案.【詳解】由題意可知，所以，故選：B.20．B【分析】根據題意算出各時間段的充電費用即可判斷選項.【詳解】由題知，小王在15：00—18：00時段充電0.5小時，費用為元；在18：00—21：00時段充電3小時，費用為元；記在21：00—23：00時段充電時間為x小時，費用為元.綜上，小王應繳納的充電費，因為，所以.故選：B21．【分析】根據函數解析式有意義求解即可.【詳解】由可得，所以函數的定義域是，故答案為：22．【分析】根據向量加法的坐標運算求解.【詳解】因為，，所以，故答案為：23．【分析】由二倍角的正弦公式求解.【詳解】.故答案為：24．①②③【分析】根據雷達圖，明顯可得出甲、乙每月投資額的大小及波動幅度，即可得出結論.【詳解】由雷達圖可知，12月份甲產品的月投資額低于乙產品的月投資額，故①正確；由雷達圖可知，該公司去年甲產品的月投資額的平均數在25萬元附近，比較穩定，變化幅度小，乙產品的月投資額的平均數明顯小于25萬元較多，并且不穩定，變化幅度大，故②③正確.故答案為：①②③25．(1)證明見詳解(2)證明見詳解【分析】（1）因為，由線面平行判定定理得證；（2）由題意得，，根據線面垂直的判定定理得證.【詳解】（1）由題意，底面是矩形，即，平面，平面，所以平面；（2）由題意，平面，平面，所以，又底面是矩形，即，平面，平面，所以平面．26．①B②A③A④A⑤B【分析】①由具體函數的定義域求解；②由求解；③由求解；④求解；⑤由一次函數的單調性判斷.【詳解】解：①因為，所以的定義域為R；故答案為：B.②因為，故答案為：A.③因為，故答案為：A.④因為，故答案為：A；⑤因為當時，，所以函數是上的增函數，故答案為：B.27．(1)(2)2，【分析】（1）根據正弦型函數的周期公式得解；（2）根據自變量的取值范圍求出的范圍，再由正弦函數求解即可.【詳解】（1）因為函數，所以周期，即函數最小正周期為.（2）因為，所以，所以，，所以在區間上的最大值為2，此時，即