專題32順序排位問題例1．2014年，為了研究根治埃博拉病毒疫苗，醫務人員需進入實驗室完成某項具有高危險的實驗，每次只派一個人進去，且每個人只被派一次，工作時間不超過60分鐘，如果某人60分鐘不能完成實驗則必須撤出，再派下一個人，現有甲、乙、丙三人可派，他們各自完成實驗的概率分別為、、，且假定各人能否完成實驗相互獨立．（1）求實驗能被完成的概率；（2）若規定最先派丙去，則以后按怎樣的先后順序派人，才比較合理（派出人員最少最合理），并說明理由．【解析】解：（1）求得實驗不能被完成的概率為，實驗能被完成的概率為．（2）若規定最先派丙去，設派出人數為，以后若先派甲后派乙，則的分布列為123的數學期望為．若規定最先派丙去，設派出人數為，以后若先派乙后派甲，則的分布列為123的數學期望為．由于，故應先派乙后派甲．例2．工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務，每次只派一個人進去，且每個人只需一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內不能完成任務則撤出，再派下一個人．現在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務的概率分別，，，假設，，互不相等，且假定各人能否完成任務的事件相互獨立．（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務能被完成的概率．若改變三個人被派出的先后順序，任務能被完成的概率是否會發生變化？（2）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務的概率依次為，，，其中，，是，，的一個排列，求所需要派出人員數目為3的概率．【解析】解：（1）任務不能被完成的概率是為定值，故任務能被完成的概率是為定值，此值與三個人的派出順序無關．（2）派出人員數目為3，說明前2個人沒有完成任務，故此事的概率為．例3．一次圍棋擂臺賽，由一位職業圍棋高手設擂做擂主，甲、乙、丙三位業余圍棋高手攻擂．如果某一業余棋手獲勝，或者擂主戰勝全部業余棋手，則比賽結束．已知甲、乙、丙三人戰勝擂主的概率分別為，，，每人能否戰勝擂主是相互獨立的．（1）求這次擂主能成功守擂（即戰勝三位攻擂者）的概率；（2）若按甲、乙、丙順序攻擂，這次擂臺賽共進行了次比賽，求得數學期望；（3）假定，試分析以怎樣的先后順序出場，可使所需出場人員數的均值（數學期望）達到最小，并證明你的結論．【解析】解：（1）設擂主能成功守擂的事件為，三人攻擂獲勝的事件為，，2，3，則，三人攻擂均失敗的概率為．所以，擂主守擂成功的概率是（A）．（2）比賽場數，2，3．，比賽一場結束，則第一位業余棋手就獲勝，其概率為；，比賽二場結束，則第一位業余棋手攻擂失敗，第二位勝利，其概率是；，比賽三場結束，則第一，二位業余棋手攻擂失敗，其概率為，．（3）答按獲勝概率從大到小的順序出場，則所需出場人員數的均值為最小．下面證明以上結論．設，，是，，的一個排列，如果按，，有順序出場，由（2）可得期望．因為等號成立當且僅當，．所以，按獲勝概率從大到小的順序出場，所需出場人員數的均值為最小．例4．由甲、乙、丙三個人組成的團隊參加某項闖關游戲，第一關解密碼鎖，3個人依次進行，每人必須在1分鐘內完成，否則派下一個人．3個人中只要有一人能解開密碼鎖，則該團隊進入下一關，否則淘汰出局．根據以往100次的測試，分別獲得甲、乙解開密碼鎖所需時間的頻率分布直方圖．（1）若甲解開密碼鎖所需時間的中位數為47，求、的值，并分別求出甲、乙在1分鐘內解開密碼鎖的頻率；（2）若以解開密碼鎖所需時間位于各區間的頻率代替解開密碼鎖所需時間位于該區間的概率，并且丙在1分鐘內解開密碼鎖的概率為0.5，各人是否解開密碼鎖相互獨立．①求該團隊能進入下一關的概率；②該團隊以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數目的數學期望達到最小，并說明理由．【解析】解：（1）甲解開密碼鎖所需時間的中位數為47，，解得；，解得；甲在1分鐘內解開密碼鎖的頻率是；乙在1分鐘內解開密碼鎖的頻率是；（2）由（1）知，甲在1分鐘內解開密碼鎖的頻率是0.9，乙是0.7，丙是0.5，且各人是否解開密碼鎖相互獨立；①不能進入下一關的概率為，能進入下一關的概率與三個人被排除的順序無關，該團隊能進入下一關的概率為；②設甲、乙、丙三個人各自能完成任務的概率分別，，，且，，互不相等，根據題意知的取值為1，2，3；則，若交換前兩個人的派出順序，則變為，由此可見，當時，交換前兩人的派出順序可增大均值，應選概率大的甲先開鎖；若保持第一人派出的人選不變，交換后兩人的派出順序，可寫為，交換后的派出順序則變為，當時交換后的派出順序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙，這樣能使所需派出的人員數目的均值（數學期望）達到最小．例5．工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果前一個人10分鐘不能完成任務則撤出，再派下一個人．現在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務的概率分別為，，，假設，，互不相等，且假定各人能否完成任務的事件相互獨立．（1）如果按甲最先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務能完成的概率．若改變三個人被派出的先后順序，任務能被完成的概率是否發生變化？（2）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數目的數學期望達到最小．【解析】解：（1）按甲最先，乙次之，丙最后的順序派人，任務被完成的概率為：；若甲在先，丙次之，乙最后的順序派人，任務被完成的概率為：，發現任務被完成的概率是一樣的，同理可以驗證，不論如何改變3人的先后順序，任務能被完成的概率不會發生變化；（2）由題意得的可能取值為1，2，3，按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，所需派出的人員數目的分布列為：123所以．因為，且，其它情況同理可得，所以要使所需派出的人員數目的均值得到最小，只能先派甲乙中的一人，若先派甲，再派乙，最后派丙，則．若先派乙，再派甲，最后派丙，則；所以，所以先派甲，再派乙，最后派丙時，派出的人員數目的數學期望達到最小．例6．一支擔負勘探任務的隊伍有若干個勘探小組和兩類勘探人員，甲類人員應用某種新型勘探技術的精準率為0.6，乙類人員應用這種勘探技術的精準率為.每個勘探小組配備1名甲類人員與2名乙類人員，假設在執行任務中每位人員均有一次應用這種技術的機會且互不影響，記在執行任務中每個勘探小組能精準應用這種新型技術的人員數量為.（1）證明：在各個取值對應的概率中，概率的值最大.（2）在特殊的勘探仼務中，每次只能派一個勘探小組出發，工作時間不超過半小時，如果半小時內無法完成任務，則重新派另一組出發.現在有三個勘探小組可派出，若小組能完成特殊任務的概率，且各個小組能否完成任務相互獨立.試分析以怎樣的先后順序派出勘探小組，可使在特殊勘探時所需派出的小組個數的均值達到最小.【解析】（1）證明：由已知，的所有可能取值為0,1,2,3.∴概率的值最大.（2）解：由（1）可知，由有的值最大，且∴應當以的順序派出助探小組，可使在特殊勘探時所需派出的小組個數的均值達到最小，即優先派出完成任務概率大的小組可減少所需派出的小組個數的均值.證明如下：假定為的任意一個排列，即若三個小組按照某順序派出，該順序下三個小組能完成特殊任務的概率依次為，記在特殊助探時所需派出的小組個數為，則，且的分布列為：123P下面證明成立.方法一：若，可發現當派出的前兩個小組的順序不變時，第一個派出的小組完成的概率越大，越小；若，可發現當派出的第一個小組不變，后兩個小組的順序變換時，則第二個派出的小組完成的概率越大，越小.可見，按照完成任務概率從大到小的的小組順序派出勘探小組，可使在特殊勘探時所需派出的小組個數的均值達到最小.方法二:∴按照完成任務概率從大到小的的先后順序派出勘探小組，可使在特殊勘探時所需派出的小組個數的均值達到最小.例7．在“挑戰不可能”的電視節目上，甲、乙、丙三個人組成的解密團隊參加一項解密挑戰活動，規則是由密碼專家給出題目，然后由3個人依次出場解密，每人限定時間是1分鐘內，否則派下一個人個人中只要有一人解密正確，則認為該團隊挑戰成功，否則挑戰失敗．根據甲以往解密測試情況，抽取了甲100次的測試記錄，繪制了如下的頻率分布直方圖．（1）若甲解密成功所需時間的中位數為47，求、的值，并求出甲在1分鐘內解密成功的頻率；（2）在“挑戰不可能”節目上由于來自各方及自身的心理壓力，甲，乙，丙解密成功的概率分別為，2，，其中表示第個出場選手解密成功的概率，并且定義為甲抽樣中解密成功的頻率代替，各人是否解密成功相互獨立．①求該團隊挑戰成功的概率；②該團隊以從小到大的順序按排甲、乙、丙三個人上場解密，求團隊挑戰成功所需派出的人員數目的分布列與數學期望．【解析】解：（1）甲解密成功所需時間的中位數為47，，解得，．解得．甲在1分鐘內解密成功的頻率是．（2）①由題意及（1）可知第一個出場選手解密成功的概率為，第二個出場選手解密成功的概率為，第三個出場選手解密成功的概率為，該團隊挑戰成功的概率為．②由①知按從小到大的順序的概率分別為，，，根據題意知的可能取值為1，2，3，則，，，團隊挑戰成功所需派出的人員數目的分布列為：1230.90.0910.009．例8．工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內不能完成任務則撤出，再派下一個人．現在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務的概率分別，，，假設，，互不相等，且假定各人能否完成任務的事件相互獨立．（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務能被完成的概率．若改變三個人被派出的先后順序，任務能被完成的概率是否發生變化？（Ⅱ）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務的概率依次為，，，其中，，是，，的一個排列，求所需派出人員數目的分布列和均值（數學期望）；（Ⅲ）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數目的均值（數學期望）達到最