專題7.3探索直線平行的條件（知識講解）【學習目標】1.理解平行線的概念，會用作圖工具畫平行線，了解在同一平面內兩條直線的位置關系；2.掌握平行公理及其推論；3.掌握平行線的判定方法，并能運用“平行線的判定方法”，判定兩條直線是否平行.【要點梳理】要點一、平行線的定義及畫法1．定義：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線，如果直線a與b平行，記作a∥b．特別說明：(1)平行線的定義有三個特征：一是在同一個平面內；二是兩條直線；三是不相交，三者缺一不可；(2)有時說兩條射線平行或線段平行，實際是指它們所在的直線平行，兩條線段不相交并不意味著它們就平行．(3)在同一平面內，兩條直線的位置關系只有相交和平行兩種．特別地，重合的直線視為一條直線，不屬于上述任何一種位置關系．2.平行線的畫法：用直尺和三角板作平行線的步驟：①落：用三角板的一條斜邊與已知直線重合.②靠：用直尺緊靠三角板一條直角邊.③推：沿著直尺平移三角板,使與已知直線重合的斜邊通過已知點.④畫：沿著這條斜邊畫一條直線,所畫直線與已知直線平行.要點二、平行公理及推論1．平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．2．推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．特別說明：(1)平行公理特別強調“經過直線外一點”，而非直線上的點，要區別于垂線的第一性質．(2)公理中“有”說明存在；“只有”說明唯一．（3）“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性.要點三、直線平行的判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）判定方法2：內錯角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）判定方法3：同旁內角互補，兩直線平行.如上圖，幾何語言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內角互補，兩直線平行）特別說明：平行線的判定是由角相等或互補，得出平行，即由數推形.【典型例題】類型一、尺規作圖??畫平行線??畫垂線1．如圖，直線CD與直線AB相交與點O，直線外有一點P．(1)過點P畫，交AB于點M，過點P畫，垂足為N；(2)若、求∠COM的度數．【答案】(1)詳見解析；(2)135°【分析】（1）直接畫平行線和垂線即可；（2）根據平行線的性質可得同旁內角互補，由已知可得結論．解：（1）如圖，（2）∵PMCD，∴∠PMO+∠COM=180°，∵∠PMO：∠COM=1：3，∴∠COM+∠COM=180°，∴∠COM=135°．【點撥】本題考查了基本作圖以及平行線的性質，培養了學生過直線外一點作已知直線的平行線和垂線的畫圖能力．舉一反三：【變式1】如圖，請使用三角板與直尺畫圖：(1)過點Р作直線，交ON于點A；(2)過點Р向OM作垂線，垂足為點C，交ON于點D；【答案】(1)作圖見詳解；(2)作圖將詳解；【分析】（1）先將三角尺的一直角邊緊靠直線OM，邊緣與OM重合，再將三角尺的另一條直角邊緊貼直尺的一邊，最后向上移動三角尺，畫一條平行線．（2）先將直尺與OM重合，再反向延長OM，再將三角板一直角邊與直尺重合，再移動三角板使另一直角邊過點P，最后過三角板的直角邊畫CM的垂線．（1）解：如圖所示：步驟：（1）將三角尺的一直角邊緊靠直線OM，邊緣與OM重合，（2）將三角尺的另一條直角邊緊貼直尺的一邊，（3）向下移動三角尺，再次畫下一條平行線．（2）解：如圖所示：步驟：（1）將直尺與OM重合，（2）反向延長OM，（3）將三角板一直角邊與直尺重合，（4）移動三角板使另一直角邊過點P，（5）過三角板的直角邊畫CM的垂線．【點撥】本題考查利用直角和三角板畫平行線，和垂線，能夠掌握畫圖原理是解決本題的關鍵．【變式2】已知三角形ABC，過AC的中點D作AB的平行線，根據語句作圖正確的是（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】根據中點的定義，平行線的定義判斷即可．解：過AC的中點D作AB的平行線，正確的圖形是選項B，故選：B．【點撥】本題考查作圖——復雜作圖，平行線的定義，中點的定義等知識，解題關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．類型二、平行線及其判定??平行公理??平行公理的推論 2．若直線a∥b，b∥c，則a∥c的依據是（

）．A．平行的性質 B．等量代換C．平行于同一直線的兩條直線平行． D．以上都不對【答案】C【分析】根據平行公理的推論進行判斷即可．解：直線a∥b，b∥c，則a∥c的依據是平行于同一直線的兩條直線平行，故選：C．【點撥】本題考查了平行公理的推論，解題關鍵是明確平行于同一直線的兩條直線平行．舉一反三：【變式1】直線a∥b，b∥c，直線d與a相交于點A.判斷a與c的位置關系，并說明理由；判斷c與d的位置關系，并說明理由．【答案】（1）a與c的位置關系是平行，理由詳見解析；（2）c與d的位置關系是相交，理由詳見解析.【分析】（1）根據平行線的性質去解答即可（2）根據兩直線的位置關系去解答即可.解：(1)a與c的位置關系是平行，理由是：∵直線a∥b，b∥c，∴a∥c；c與d的位置關系是相交，理由是：∵c∥a，直線d與a相交于點A，∴c與d的位置關系是相交．【點撥】此題重點考察學生對平行線的性質，兩直線的位置關系的理解，掌握平行線的性質和兩直線的位置關系是解題的關鍵.【變式2】如圖，已知OA∥CD，OB∥CD，那么∠AOB是平角，為什么？【答案】是【分析】根據平行公理：經過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；可知AO、OB在一條直線上．所以∠AOB是平角．解：由于OA∥CD，OB∥CD且OA、OB交于點O，根據過直線CD外一點O有且只有一條直線與已知直線CD平行，因此OA，OB共直線,即A、O、B共直線.所以∠AOB是平角.【點撥】本題考查的是平行公理，解答本題的關鍵是熟練掌握平行公理：經過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.類型三、平行線的判定??同位角相等，兩直線平行 3．如圖，，垂足為，，垂足為，＝．在下面括號中填上理由．因為，，所以＝＝．又因為＝()，所以＝()，即＝．所以()【答案】

已知

等量減等量，差相等

同位角相等，兩直線平行【分析】根據垂線的定義，得出＝＝，再根據角的等量關系，得出＝，然后再根據同位角相等，兩直線平行，得出，最后根據解題過程的理由填寫即可．解答：因為，，所以＝＝．又因為＝（已知），所以＝（等量減等量，差相等），即＝．所以（同位角相等，兩直線平行）．【點撥】本題考查了垂線的定義、平行線的判定，解本題的關鍵在熟練掌握平行線的判定定理．舉一反三：【變式1】如圖，過直線外一點作已知直線的平行線，其依據是（

）A．兩直線平行，同位角相等 B．內錯角相等，兩直線平行C．同位角相等，兩直線平行 D．兩直線平行，內錯角相等【答案】C【分析】根據三角板在移動過程中，角度不變，故依據是同位角相等，兩直線平行，即可求解．解：如圖，三角板在移動過程中，角度不變，其依據是同位角相等，兩直線平行．故選：．【點撥】本題主要考查了平行線的判定，熟練掌握同位角相等，兩直線平行是解題的關鍵．【變式2】如圖，利用三角尺和直尺可以準確的畫出直線AB∥CD，下面是某位同學弄亂了順序的操作步驟：①沿三角尺的邊作出直線CD；②用直尺緊靠三角尺的另一條邊；③作直線AB，并用三角尺的一條邊貼住直線AB；④沿直尺下移三角尺；正確的操作順序應是：_____．【答案】③②④①【分析】根據同位角相等兩直線平行判斷即可．解：根據同位角相等兩直線平行則正確的操作步驟是③②④①，故答案我③②④①．【點撥】此題主要考查了復雜作圖，關鍵是掌握同位角相等，兩直線平行．如圖，AB⊥EF于點B，CD⊥EF于點D，∠1＝∠2，試判斷BM與DN是否平行，為什么？【答案】；理由見解析【分析】根據AB⊥EF，CD⊥EF，得出∠ABE＝∠CDE＝90°，根據∠1＝∠2，得出∠MBE＝∠NDE，即可得出．解：；理由如下：∵AB⊥EF，CD⊥EF，∴∠ABE＝∠CDE＝90°(垂直的定義)，∵∠1＝∠2，∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2，即∠MBE＝∠NDE，∴(同位角相等，兩直線平行)．【點撥】本題主要考查了垂直的定義，余角的性質，平行線的判定，根據題意得出∠MBE＝∠NDE，是解題的關鍵．類型四、平行線的判定??內錯角相等，兩直線平行 4．如圖，∠1＝∠C，AC平分∠DAB，求證：．【答案】證明見解析【分析】根據角平分線的定義得出∠1＝∠2，再利用內錯角相等，兩直線平行證明即可．證明：∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠C，∴∠2＝∠C，∴．【點撥】此題考查平行線的判定，關鍵是根據角平分線的定義得出∠1＝∠2．舉一反三：【變式1】如圖，請填寫一個使的條件________，【答案】答案不唯一，【分析】根據平行線的判定定理進行解答即可，解：填寫的條件為：，，（內錯角相等，兩直線平行），故答案為：答案不唯一，【點撥】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關鍵，【變式2】如圖，已知∠DEF=100°，請增加一個條件使得ABCD，這個條件可以是_____．【答案】∠AFE=100°(答案不唯一)【分析】根據平行線的判定，可利用內錯角相等或同旁內角互補，兩直線平行得出答案．解：根據平行線的判定，可添加∠AFE=100°，∵∠AFE=∠DEF=100°，∴ABCD(內錯角相等，兩直線平行)，故答案為：∠AFE=100°（答案不唯一）．【點撥】本題主要考查平行線的判定，掌握平行線的判定是解題的關鍵，即①同位角相等，兩直線平行，②內錯角相等，兩直線平行，③同旁內角互補，兩直線平行．類型五、平行線的判定??同旁內角互補，兩直線平行 5．如圖,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,則AB與CD平行嗎?請說明理由.【答案】平行，理由見解析.【分析】先做輔助線延長BE，交CD于F，根據∠BEC+∠CEF=180°可得到∠CEF的度數；再根據三角形內角和定理即可得到∠BFC=60°，至此，再結合平行線的判定定理即可得到結論.解：AB∥CD,理由如下:如圖所示,延長BE,交CD于點F,∵∠BEC=95°,∴∠CEF=180°-95°=85°.又∵∠DCE=35°,∴∠BFC=180°-∠DCE-∠CEF=180°-35°-85°=60°.∵∠ABE=120°(已知),∴∠ABE+∠BFC=180°,∴AB∥CD(同旁內角互補,兩直線平行).【點撥】本題考查平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是關鍵.舉一反三：【變式1】已知：如圖，直線AB，CD被直線GH所截，∠1＝112°，∠2＝68°，求證：AB//CD．完成下面的證明．證明：∵AB被直線GH所截，∠1＝112°，∴∠1＝∠＝112°∵∠2＝68°，∴∠2+∠3＝，∴AB//（

）（填推理的依據）【答案】∠3，180°，CD，同旁內角互補，兩直線平行．【分析】先根據對頂角相等求得∠3的度數，進而得到∠2+∠3=180°，即可判定AB∥CD．證明：∵AB被直線GH所截，∠1=112°，∴∠1=∠3=112°∵∠2=68°，∴∠2+∠3=180°，∴AB∥CD，（同旁內角互補，兩直線平行）故答案為：∠3，180°，CD，同旁內角互補，兩直線平行．【點撥】本題主要考查了平行線的判定，對頂角的性質，掌握兩條直線被第三條所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行是解題的關鍵．【變式2】如圖，AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠CEF＝130°，請判斷AB與EF的位置關系，并說明理由．【答案】AB∥EF．理由見解析.【分析】依據平行線的性質，即可得到∠BCD=70°，進而得出∠E+∠DCE=180°，進而得到EF∥CD，進而得到AB∥EF．解：AB∥EF，理由如下：∵AB∥CD，∴∠B=∠BCD，∵∠B=70°，∴∠BCD=70°，∵∠BCE=20°，∴∠ECD=50°，∵CEF=130°，∴∠E+∠DCE=180°，∴EF∥CD，∴AB∥EF．【點撥】本題考查平行線的性質和判定，解題的關鍵是熟練掌握平行線的判定和性質．類型六、平行線的判定??垂直于同一直線的兩直線平行 6．在四邊形ABCD中，CF⊥BD于點F，過點A作AG⊥BD，分別交BD，BC于點E，G，若∠DAG＝∠BCF，求證：AD∥BC．【分析】根據垂直于同一直線的兩直線平行得出，CF∥AG，得出∠BGA=∠BCF，等量代換得到∠BGA=∠DAG，即可判定AD∥BC．證明：∵CF⊥BD，AG⊥BD，∴CF∥AG，∴∠BGA=∠BCF，∵∠DAG=∠BCF，∴∠BGA=∠DAG，∴AD∥BC．【點撥】本題考查了平行線的判定，熟記“垂直于同一直線的兩直線平行”及“內錯角相等，兩直線平行”是解題的關鍵．舉一反三：【變式】如圖，已知AC⊥BC于點C，∠B＝70o，∠ACD＝20o．(1)求證：AB//CD；(2)在不添加任何輔助線的情況下，請補充一個條件________，使BC//AD．【答案】(1)證明見解析；(2)AC⊥AD（答案不唯一）【分析】（1）由題意易求出，即可利用同旁內角互補，兩直線平行證明；（2）由在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，即可補充條件為：AC⊥AD．（答案不唯一）（1）證明：∵AC⊥BC，∴，∴，∴，∴；（2）補充條件：AC⊥AD，∵AC⊥AD，AC⊥BC∴BC//AD．故答案為：AC⊥AD．【點撥】本題考查垂直的定義，平行線的判定．掌握平行線的判定條件是解題關鍵．類型七、平行線的判定??綜合應用 7．在下列解題過程的空白處填上恰當的內容（推理的理由或數學表達式）已知：如圖，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠4．求證：EFGH．證明：∵∠1＋∠2＝180°（已知），∠AEG＝∠1（______）∴∠AEG＋∠______＝180°，∴ABCD（______），∴∠AEG＝∠EGD（______），∵∠3＝∠4（已知），∴∠3＋∠AEG＝∠4＋∠______（等式的性質），即∠FEG＝∠______，∴EFGH（______）．【答案】對頂角相等；2；同旁內角互補，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等；EGD；EGH；內錯角相等，兩直線平行【分析】求出∠AEG+∠2=180°，根據平行線的判定得出ABCD，根據平行線的性質得出∠AEG=∠EGD，求出∠3+∠AEG=∠4+∠EGD，根據平行線的判定得出即可．證明：∵∠1+∠2=180°（已知），∠AEG=∠1（對頂角相等）∴∠AEG+∠2=180°，∴ABCD（同旁內角互補，兩直線平行），∴∠AEG=∠EGD（兩直線平行，內錯角相等），∵∠3=∠4（已知），∴∠3+∠AEG=∠4+∠EGD（等式性質），即∠FEG＝∠EGH∴EFGH（內錯角相等，兩直線平行）故答案為：對頂角相等；2；同旁內角互補，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等；EGD；EGH；內錯角相等，兩直線平行【點撥】本題考查了平行線的性質和判定，能熟記定理的內容是解此題的關鍵，注意：平行線的性質有：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內錯角，③兩直線平行，同旁內角互補，反之亦然．舉一反三：【變式1】如圖，，試說明．證明：∵（已知），∴（___________________），∴____________（同位角相等，兩直線平行），∵（已知），∴（___________________），∴（___________________），∴（兩直線平行，同位角相等）．【答案】垂直定義；AB；CD；內錯角相等，兩直線平行；平行于同一條直線的兩條直線平行【分析】根據垂直定義求出∠B=∠CDF=90°，根據平行線的判定得出AB∥EF，EF∥CD，即可得出答案．證明：∵（已知），∴（垂直定義），∴AB//CD（同位角相等，兩直線平行），∵（已知），∴（內錯角相等，兩直線平行），∴（平行于同一條直線的兩條直線平行），∴（兩直線平行，同位角相等）．故答案為：垂直定義；AB；CD；內錯角相等，兩直線平行；平行于同一條直線的兩條直線平行【點撥】本題考查了平行線的判定的應用，能正確運用判定定理進行推理是解此題的關鍵，注意：平行線的判定定理有：①同位角相等，兩直線平行，②內錯角相等，兩直線平行，③同旁內角互補，兩直線平行，④平行于同一直線的兩直線平行．【變式2】如圖，∠AEF=∠B，∠FEC=∠GHB，HG⊥AB于G，求證：CE⊥AB．

【答案】證明見解析.【詳解】試題分析：由條件可證明FE∥BC，得到角之間的關系，從而可證得HG∥CE，可得出結論．證明：∵∠AEF=∠B，

∴EF∥BC，∴∠FEC=∠BCE=∠GHB，∴GH∥CE，∴∠CEB=∠BGH，∵HG⊥AB，∴∠CEB=∠BGH，∴CE⊥AB

中考真題專練 1（2020·浙江金華·中考真題）如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣的垂線和，得到，理由是（

）A．在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行B．在同一平面內，過一點有且僅有一條直線垂直于已知直線C．連接直線外一點與直線各點的所有直線中，垂線段最短D．經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行【答案】A【分析】根據在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行判斷即可．解：由題意得：∴a∥b（在同一平面內，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行），故選：A．【點撥】本題考查平行線的判定，平行公理，解題關鍵是理解題意，靈活運用所學直線解決問題．2（2015·甘肅慶陽·中考真題）已知三條不同的直線a、b、c在同一平面內，下列四條命題：①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b//a，c//a，那么b//c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c．其中真命題的是__________．（填寫所有真命題的序號）【答案】①②④解答：①