公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)處理奇偶項(xiàng)數(shù)列的四大類(lèi)型類(lèi)型1.相鄰項(xiàng)和（積）為等差（等比）數(shù)列類(lèi)型2.鄰項(xiàng)等差（等比）類(lèi)型3.擺動(dòng)數(shù)列類(lèi)型4.含三角式的數(shù)列★類(lèi)型1.相鄰項(xiàng)和（積）為等差（等比）數(shù)列1.在等差數(shù)列中，有一類(lèi)比較特殊的遞推類(lèi)型，即，它可以得到兩個(gè)子數(shù)列分別是公差為的等差數(shù)列.若,則當(dāng)時(shí),,兩式相減得,即數(shù)列與數(shù)列均是公差為的等差數(shù)列.2.在等比數(shù)列中，有一類(lèi)比較特殊的遞推類(lèi)型，即，它可以得到兩個(gè)子數(shù)列分別是公差為的等比數(shù)列.若,則,兩式相除得,即數(shù)列與數(shù)列均是公比為的等比數(shù)列.3.通項(xiàng)公式：（1）若，則（2），則4.前n項(xiàng)和方法1.由3解得通項(xiàng)后并項(xiàng)求和（具體見(jiàn)案例）方法2.對(duì)于隔項(xiàng)等差的前n項(xiàng)和，可直接由相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系解得，即由若為偶數(shù)：若為奇數(shù)：例1已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解析:由題意可得，，兩式相減可得.所以,數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列,且.當(dāng)為奇數(shù)時(shí),;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),.因此,.例2．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則使得成立的n的最小值為（

）A．32 B．33 C．44 D．45解析：①，當(dāng)時(shí)，②，兩式相減得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為4，所以，中，令得，故.故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為4，所以，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令，解得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令，解得，所以成立的n的最小值為.故選：D例3．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則（

）A．61 B．253 C．1021 D．4092解析：由題意，，在數(shù)列中，前項(xiàng)和為，，，∴，即，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴即，∴，故選：B.注：當(dāng)遞推關(guān)系時(shí),求其通項(xiàng)公式可以利用分解變量構(gòu)造等比數(shù)列,將已知的遞推關(guān)系分離變量,得到(為常數(shù)),再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.★類(lèi)型2.奇偶分段數(shù)列類(lèi)型1.，由于數(shù)列通項(xiàng)均已知，求和時(shí)只需分奇偶求和即可.類(lèi)型2.，由于數(shù)列通項(xiàng)在奇數(shù)時(shí)為遞推關(guān)系，所以需要先利用遞推關(guān)系求得奇數(shù)時(shí)每項(xiàng)的特征，在求和時(shí)往往需將奇數(shù)項(xiàng)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為已知通項(xiàng)的偶數(shù)項(xiàng)進(jìn)行.類(lèi)型3.這一類(lèi)問(wèn)題需要先求出各段的通項(xiàng)，再分段求和，由于涉及奇偶討論，所以去構(gòu)造隔項(xiàng)之間的遞推關(guān)系從而求得具體通項(xiàng)形式.例4．設(shè)數(shù)列滿足：是的等比中項(xiàng).（1）求的值；（2）求數(shù)列的前20項(xiàng)的和.解析：（1）由已知，，又是的比例中項(xiàng)，所以，即，顯然且，故解得；（2）是奇數(shù)時(shí)，，，，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，．例5．已知等差數(shù)列中，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式．（2），為的前n項(xiàng)和，若恒成立，求λ的最大值．解析：（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，得．由，得．所以數(shù)列的公差，所以．對(duì)于，①，當(dāng)時(shí)，②，①-②得，，即，由題意可得，所以，所以對(duì)任意成立，所以是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，所以，．（2）由（1）得．恒成立，等價(jià)于恒成立，化簡(jiǎn)得恒成立，即．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令，得，所以，又，，所以，，所以，所以λ的最大值為10．例6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解析：（1）由，得，所以數(shù)列為等差數(shù)列．所以，得．所以公差．所以．（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)．所以例7．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)且，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．解析：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則.（2）由題設(shè)知：，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；綜上，，.★類(lèi)型3.含有型擺動(dòng)數(shù)列例8．已知數(shù)列滿足：.則的前60項(xiàng)的和為（

）A．1240 B．1830 C．2520 D．2760解析：由，故，，，，….故，，，….從第一項(xiàng)開(kāi)始，依次取2個(gè)相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于3；，，，….從第二項(xiàng)開(kāi)始，依次取2個(gè)相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以13為首項(xiàng)，以24為公差的等差數(shù)列.故.故選：D.例9．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，①，，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，②，由①②得，即，，，，；（2）由（1）得，則，，，，．例10.（2014年湖南文科）已知數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解析：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列的通向公式為：.（2）由（1）知，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則,進(jìn)一步，若記，，分別求和可得：，，故數(shù)列的前項(xiàng)和為.注：此處是一個(gè)分段形式：，分組求和是處理分段形式的數(shù)列求和的一把利器！★類(lèi)型4.含三角的通項(xiàng)例11.設(shè)數(shù)列滿足,,則數(shù)列的前20項(xiàng)的和_________.解析：由遞推關(guān)系可知,若是正奇數(shù),則是以為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列;若是正偶數(shù),則,是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.所以,,,可得.三．習(xí)題演練1．已知數(shù)列滿足是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．解析：由題設(shè)，且，所以，即，當(dāng)且時(shí)，是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則；當(dāng)且時(shí)，是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則；.故選：B2．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（

）A． B． C． D．解析：由可得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，則.故對(duì)任意的，.所以，數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)成以為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也成以公比的等比數(shù)列，因?yàn)椋瑒t，所以，.故選：D.3．在數(shù)列中，已知且，則其前項(xiàng)和的值為（

）A． B． C． D．解析：.故選：C4.（2021年新高考1卷）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫(xiě)出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.解析：（1）由題設(shè)可得又，，故即即所以為等差數(shù)列，故.（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，則，因?yàn)椋?5.（2023年新高考2卷）2為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，