18.2.3正方形第十八章平行四邊形第1課時正方形的性質和判定學習目標1.理解正方形的概念.2.探索并證明正方形的性質，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯系和區別.(重點、難點)3.會應用正方形的性質解決相關證明及計算問題.（難點）平行四邊形再認識講授新課

矩形〃〃問題1：矩形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么發現？問題引入正方形的性質正方形問題2菱形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么發現？正方形鄰邊相等矩形〃〃正方形〃〃

菱形一個角是直角正方形∟正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫正方形.歸納總結已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.求證：正方形ABCD四邊相等,四個角都是直角.ABCD證明：∵四邊形ABCD是正方形. ∴∠A=90°,AB=AC

（正方形的定義）. 又∵正方形是平行四邊形. ∴正方形是矩形（矩形的定義）,

正方形是菱形(菱形的定義). ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,

AB=BC=CD=AD.證一證已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對角線AC、BD相交于點O.求證：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO證明：∵正方形ABCD是矩形,

∴AO=BO=CO=DO.

∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD.思考請同學們觀察并思考.

正方形是不是軸對稱圖形?如果是,那么對稱軸有幾條?對稱性：

.對稱軸：

.軸對稱圖形4條ABCD矩形菱形正方形平行四邊形正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質,正方形都有.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關系：性質：1.正方形的四個角都是直角,四條邊相等.2.正方形的對角線相等且互相垂直平分.歸納總結性質邊角對角線對稱性圖形語言

文字語言

符號語言ACD\BACDBACDB\\\∟∟∟∟O\\\\∟對邊平行，四條邊都相等

四個角都是直角對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角∵四邊形ABCD是正方形∴AB∥CDAD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四邊形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四邊形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD軸對稱圖形中心對稱圖形例1、如圖，正方形ABCD中，（1）一條對角線把它分成

個全等的三角形。問：這些三角形是什么三角形？（2）兩條對角線把它分成

個全等的

三角形。24等腰直角ABDCO（3）對角線AC與正方形的一邊所成的角為

度。45

例2如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點，PE⊥BC于E，

PF⊥DC于F.試說明：AP=EF.ABCDPEF解:連接PC，AC.又∵PE⊥BC，PF⊥DC,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠FCE=90°,AC垂直平分BD,∴四邊形PECF是矩形,∴PC=EF.∴AP=PC.∴AP=EF.

在正方形的條件下證明兩條線段相等：通常連接對角線構造垂直平分的模型，利用垂直平分線性質，角平分線性質，等腰三角形等來說明.歸納【變式題1】四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊△ADE，求∠BEC的大小．解：當等邊△ADE在正方形ABCD外部時，如圖①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；當等邊△ADE在正方形ABCD內部時，如圖②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.綜上所述，∠BEC的大小為30°或150°.易錯提醒：因為等邊△ADE與正方形ABCD有一條公共邊，所以邊相等．本題分兩種情況：等邊△ADE在正方形的外部或在正方形的內部．【變式題1】四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊△ADE，求∠BEC的大小．問題3你是如何判斷一個四邊形是矩形、菱形？平行四邊形矩形菱形四邊形三個角是直角四條邊相等定義四個判定定理定義對角線相等定義對角線垂直思考

怎樣判定一個四邊形是正方形呢？講授新課正方形的判定活動1準備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證驗證.正方形猜想

滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等對角線互相垂直已知：如圖,在矩形ABCD中,AC

,

DB是它的兩條對角線,

AC⊥DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO

，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴AD=AB=BC=CD,∴四邊形ABCD是正方形.證一證ABCDO對角線互相垂直的矩形是正方形.活動2把可以活動的菱形框架的一個角變為直角，觀察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.正方形菱形猜想

滿足怎樣條件的菱形是正方形？正方形一個角是直角對角線相等已知：如圖,在菱形ABCD中,AC

,

DB是它的兩條對角線,

AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四邊形ABCD是正方形.證一證ABCDO對角線相等的菱形是正方形.正方形判定的幾條途徑：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形條件(二選一)菱形條件(二選一)一個直角，一組鄰邊相等，總結歸納對角線相等對角線垂直平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內角是直角例3在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.典例精析在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,

AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形