淺談08高考

宜賓市三中2009級數學組

全局把握

2008年《考試大綱》強調了對數學基礎的考查。仔細研讀《考試大綱》可以發現：

不僅在“考試性質”、“考試要求”（即對數學高考提出的總體的命題要求）中強調了對數學基

礎知識的考查，并且在對具體的“考試內容”的考查要求中突出了對數學基礎知識的考查。《考

試大綱》對數學知識的要求分為三個層次：了解、理解和掌握、靈活和綜合運用。在《考

試大綱》對具體內容的要求中，對第三層次的要求占的比重相當小，僅出現以下幾處：“掌

握平面兩點間的距離公式以及線段的定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運用”、“能根據

條件熟練地求出直線方程”、“熟記導數的基本公式“（但實際高考命題中，屬第三層次的要

求還不止這些），其它的則是“了解”和“理解和掌握“。由此可見《考試大綱》強調了對數

學基礎知識的考查。

《考試大綱》不僅強調對數學基礎知識的考查，還“要求既全面又突出重點，對于支

撐學科知識體系的重點內容，要占有較大的比例，構成數學試卷的主體。”通過仔細研讀《考

試大綱》對“考試內容”的具體要求，不難發現，其重點內容集中在函數、導數、三角函數、

向量、概率與統計、數列、不等式、直線與平面、直線與圓錐曲線等是支撐數學學科知識體

系的重點內容。：

《考試大綱》對函數、數列、不等式、平面向量、圓錐曲線、概率、立體幾何、導數

都提出了較高要求，因而這些內容是高考命題的重點和熱點，高考將以這些內容為背景來命

制解答題。對這些重點內容必須重點突破，其策略是：總結規律，明確步驟；強化訓練，熟

練掌握。

局部闡述

函數——中學數學的總綱

本章的考綱

了解映射的概念，理解函數的概念。

了解函數的單調性的概念，掌握判斷一些簡單函數的單調性的方法。

了解反函數的概念以及互為反函數的函數圖象間的關系，會求一些簡單函數的反函數。

理解分數指數暴概念，掌握有理指數幕的運算性質，掌握指數函數的概念、圖象和性質。

理解對數的概念，掌握對數的運算性質，掌握對數函數的概念、圖象和性質。

能夠運用二次函數的性質、指數函數和對數函數的性質解決某些簡單的實際問題。

映射和函數

高考中映射屬于了解性的內容，要求不高，-?般以選擇題型形式考查，函數屬于重點內

容，應加深對其概念的理解。函數的解析式是高考的一個重點，主要考查解析式的求法，常

以應用題的形式考查。分段表示的函數需引起足夠的重視。

本節也可能會和排列組合知識結合，考查分布分類兩大計數原理。

二.函數的三要素

有關函數的表達式及函數值問題，主要以選擇、填空題的形式出現；有關函數的定義

域近兒年高考主要以選擇題形式出現，有關函數的值域或最值問題主要與函數的其他性質綜

合考查。

1.函數的解析式----函數的核心

函數的解析式是高考的一個重點，主要考查解析式的求法，常以應用題的形式考查。分

段表示的函數需引起足夠的重視。

命題角度預測：1.給出函數解析式，求具體函數值或解不等式；2.給出函數模式和其他

一些條件求函數解析式；3.解決實際應用題需首先寫（或求）出函數解析式。

如：08年高考中，江西卷的12題、湖北卷的13題、陜西卷的11題、四川卷的11題、浙

江卷的11（文）、福建卷的4題、山東卷的9題（文）等。

2.定義域----函數的靈魂

高考中可能會直白的考查求函數的定義域問題，也可能會間接考查，應注意函數的定義

域對于函數而言是一個不容忽視的“永恒”話題。在研究函數圖象和性質（如單調性、奇偶

性、周期性等）的過程中首先要確定函數的定義域，而在解決實際問題或將其他問題轉化為

函數問題，在換元和消元的過程中，在解方程和解不等式時都應注意函數定義域對問題的限

制。

命題角度預測：1.給出具體的解析式，求其定義域，函數式多數含有分式、根式、對數

等，多以選擇題、填空題出現；2.在函數解答題中，為了求值域或研究函數的性質，需要先

求出函數的定義域。

如：08年高考中，安徽卷的13題、湖北卷的4題、湖南卷的14題的第一小問。

3.值域

高考中有可能考查函數值域的求法，但更多的可能是考查函數的最值問題。求函數最值

問題與函數性質、反函數、重要不等式、導數、解析幾何等內容以及數形結合的思想方法聯

系密切，涉及的知識面廣，技巧性高難度較大。一些不等式恒成立問題也是與函數的值域和

最值問題有關的，也是高考的熱點之一。

預測一：求函數值域及最值

預測根據：函數的值域是函數的三要素之一，研究函數問題離不開研究值域（或最值）,

尤其近幾年利用導數法求函數的值域或最值己成為高考的熱點。

命題角度預測：給出具體的函數或抽象的函數，求其最值或值域。

預測二：值域或最值的應用

預測根據：利用函數的值域或最值研究函數的其他性質，已成為函數命題的重點，恒

成立問題的考查也是重點，運用函數只是解決實際應用問題也是熱點之一。

命題角度預測：給出?個不等式在某個區間內恒成立，求字母參數的取值范圍：求實際

問題的最值問題。

預測三：函數中的新定義問題

預測依據：新定義問題可以考查學生的閱讀理解能力，考查學生分析解決問題及信息遷

移的能力，這種題型可以很好地考查學生的創新思維能力。

命題角度預測：先給出一個新的概念或定義一種新的運算，然后提出問題，而解答這個

問題必須運用給出的新概念或新運算。

如：08年高考中，四川卷的17（結合三角函數考查的）題、江西卷的3題、重慶卷的

10題、重慶文科卷的12題、浙江卷的15題、浙江文科卷的22題（結合導數來考查）、福

建文科卷的21題（也是結合導數考查的）、湖南卷的10題（屬于新定義問題）。

而08年天津卷的20題，是綜合函數的解析式、定義域、值域一起來命題的。

三.函數的性質

1.函數的單調性

函數的單調性是函數性質中最重要的性質，它與最值、導數、函數的奇偶性以及反函

數等問題相關。高考可能考查函數單調性的判斷和證明，函數單調性的應用（如求最值、比

較大小、解不等式或證不等式等），也可能解決己知函數的單調性求函數解析式中參數的值

（或范圍）等問題，此類問題要涉及不等式恒成立，要轉化為求函數的值域或最值等問題。

預測一：函數單調性的判斷與證明

函數是高中數學的核心內容，而單調性又是函數很重要的性質之研究函數離不開

研究函數的性質。

命題角度預測：1.給出具體函數的單調區間或判斷函數在某個區間內的增減性2.給flI抽

象函數的一些性質判斷函數在某個區間內的單調性3.證明抽象函數的單調性。

預測二：單調性的應用

函數的單調性是函數很重要的性質之一，應用十分廣泛，一直是高考考查的重點。

命題角度預測：1.給出一個含有字母參數的函數在某個區間內的單調性，求參數的取值

范圍；2.利用單調性解不等式；3.利用函數單調性求值域或最值；4、利用單調性求實際問題

的最值；5.利用單調性比較大小。

如：08年高考中，全國卷I的9題和19題、全國卷II的22題、北京卷的18題、安徽

卷的20題、湖南卷的21題、陜西卷的22題（文科）、四川卷的22題、重慶卷的19題（文

科）、遼寧卷的22題，廣東卷的19題。

2.函數的奇偶性

函數的奇偶性是函數的重要性質，每年必考，有選擇題、填空題，也有解答題。如：

08年安徽卷的11題、四川卷的10題、重慶卷的6題、遼寧卷的2題（文科）。

預測一：判斷函數的奇偶性

預測根據：函數的奇偶性是函數很重要的性質之也是高考重點考查的內容之、是高考

年年必考的知識之一，多以選擇、填空題形式出現。

命題角度預測：給出函數表達式判斷函數的奇偶性，或判斷抽象函數的奇偶性。

預測二：函數奇偶性的應用

預測根據：函數奇偶性和函數的單調性、周期性以及對稱性綜合考查是高考命題的一

個執占。

命題角度預測：1.利用奇偶性求有關函數值：2.利用奇偶性求函數解析式；3.利用奇偶性解

有關不等式；4.利用奇偶性研究函數單調性、周期性、對稱性、圖象、方程根的個數問題等。

3.函數的周期性

函數的周期性在高考中更多的是結合三角函數來進行考查的。多以選擇題的形式出現。

4.函數的對稱性

這一知識點相對在高考中不是很重要，如果考，多數也是結合三角函數來考查。08

年高考中，全國卷II的3題、山東卷的4題，單純地對函數的對稱性進行了考查。

5.函數四大性質的綜合應用

單獨來看幾個性質并不很難，但綜合考查將帶來一定的難度。而在高考中，對于函數

的考查又喜歡將這幾個性質結合，在解答題中出現。知二求一。如：08年天津卷的9題、

遼寧卷的12題。

四.反函數

反函數問題是高考的考點之一，主要以客觀題的形式出現，考查反函數的求法以及互為

反函數圖象間的關系等問題，但并不是所有的與反函數相關問題都要求出反函數，可由函數

與反函數圖象和性質間的關系得以解決。

08年高考中，全國卷II的6題、北京卷的3題、天津卷的7題、安徽卷的9題、湖南

卷的13題、湖南卷的4題（文）、陜西卷的7題。

五.初等函數

1.二次函數及幕指數函數

二次函數的圖象、值域、單調性等是函數中最重要的基礎模型，考題中一般很少單獨考

查，常和指、對數函數、三角函數結合起來，構成二次型函數或復合函數來進行考查。

2.指、對數函數

利用指數、對數函數的性質與圖像問題，考查指數、對數的大小比較是一個考點。如：08

年全國卷II的4題、湖南卷文科的6題。

六.函數的實際應用

數學應用題是指由實際背景的實際意義的數學問題，是近年高考的熱點內容。函數應用

題通常有三種來源：一是與實際生活相關的、經改編的應用題；二是與橫向學科（物理等）

有聯系的應用問題；三是從社會熱點出發，有實際生活背景、題意新穎的數學問題。函數應

用題即可能出現在選擇題、填空題、也可能出現在解答題中。常用的函數模型有指數函數、

對數函數、二次函數、分段函數，這些問題既可能是L1經給出函數模型的問題，也可能是需

要自己建立函數模型的應用問題。

總述

函數這一章作為中學數學的總綱，其內容幾乎貫穿整個中學教學過程的始終，它不僅

在知識上具備一定的聯系性、綜合性，比如會與三角函數、數列、不等式、解析幾何、排列

組合、導數這些章節聯系；而且滲透了中學數學里的很多數學思想，如：明確函數圖象的位

置和形狀，應用函數的圖象和性質通過解方程或不等式解決和函數相關的實際問題，以達到

數與形的有機結合和統一，體現數形結合的思想；通過含參二次函數在給定區間上最值的求

解，滲透分類討論的思想。

教學過程中，還是要以基本題型為主，在熟練的基礎上進行知識的綜合運用，學習中復

合函數的單調區間、最值問題是個易錯點，而復雜函數的單調區間問題、抽象函數的三性問

題、恒成立問題是難點；適當地注意強化。

高考中，函數的基礎題?般為中等偏下的題，但作為解答題就有一定的難度，往往會結合單

調性和不等式、恒成立問題來考查，如：08年全國卷n的22題，北京卷的18題，天津卷

的20題，安徽卷的20題，江西卷的22題，湖南卷的21題，陜西卷的21題，四川卷的22

題，浙江卷的21題，福建卷的22題，遼寧卷的22題，山東卷的21卷，廣東卷的19題；

具備較強的綜合性、對學生的運算也有很大的要求，處于壓軸題的位置，一般都是兩到三問，

一般學生可以完成第一問。

淺談數列

數列是學習高等數學的重要基礎，這也就決定了數列歷來是高考中的重點內容之?，它

蘊涵著高中數學的四大思想及累加（乘）法、錯位相減法、倒序相加法、裂項法等基本數學

方法；而自從高考強調以能力立意命題以來，特別是提出在知識的交匯點處命題以來，數列

的延伸功能得以充分發揮，數列可以和函數、不等式、概率、解析幾何等許多知識板塊之間

產生聯系，綜合性廣，靈活性大，技巧性強。新課程改革以來，新教材增加了許多新的內容，

為數列的命題又拓寬了新的空間，數列與其他知識之間的聯系面更廣，一些關于數列的新穎

別致的問題又產生了，如數列與算法、數學歸納法等…本部份的內容在高考中的分值約占全

卷的10%~15%,其中對等差與等比數列的考查是重中之重；在高考試卷中數列常以解答題

的形式出現，甚至經常以壓軸題的身份出現。（比如這一次2008年四川地區的高考題無論是

否延考區數列這一部分分別出現在14、20/7、16、20題）

近年來高考對數列知識的考查大致可分為以下三類：

（1）關于兩個特殊數列的考查，主要考查等差、等比數列的概念、性質、通項公式以及前

n項和的公式等，多以選擇題、填空題形式出現，難度不大，屬于中低檔題。（如2008年延

考區的14題以及非延考區的7、16題均是以等差或等比數列為對象進行考查）

1.（全國一5）已知等差數列滿足生=4,%+%=1°,則它的前10項的和5。二

（C）

A.138B.135C.95D.23

2.（全國17）已知等比數列｛"/滿足％+電=3,。2+%=6,則％=（4）

A.64B.81C.128D.243

3.（陜西4）已知｛"/是等差數列，％+4=4,%+/=28,則該數列前io項和岳。等

于（B）

A.64B.100C.110D.120

4.（北京7）.已知等差數列｛叫中，4=6,%=15,若%則數列也｝的前5

項和等于（C）

A.30B.45C.90D.186

5.（北京卷6）已知數列｛""｝對任意的P，qsN*滿足%*=%,+%,且。2=-6,那么ai0

等于（C）

A.T65B.一33c,一30D-21

6.（四川卷7）已知等比數列（“"）中的=1,則其前3項的和‘3的取值范圍是0）

（A）（fT（B）（-8，。川（1,同

（C）口收）（D）（F，T]U[3,+OO）

7.（天津卷4）若等差數列他/的前5項和$5=25,且%=3,則%=B

（A）12（B）13（C）14（D）15

8.福建3）設（“J是等差數列，若%=3,%=13,則數列｛4｝前8項和為（C）

A.128B.80C.64D.56

C1

C\a2=2,a5=-

9.浙江4）已知??是等比數列，4,則公比4=（D）

（A）2（B）-2（C）2（D）2

10.（重慶1）已知｛an｝為等差數列，a2+a8=12,則a5等于（C）

（A）4（B）5（C）6（D）7

11.C東4）記等差數列｛an｝的前n項和為Sn,若Sl=4,S4=20,則該數列的公差d=（B）

A.7B.6C.3D,2

&

12.（弓夏8）設等比數列｛"/的公比q=2,前n項和為Sn,則的=（C）

1517

A.2B.4c.2D,2

&=4/J_5

n

13.安徽15）在數列伍"｝在中，"2,ai+a2+---an=an'+bn其中

“力為常數，則ab=-1

14.（全國H18）（本小題滿分12分）

等差數列口｝中，4=1°且叼然q。成等比數列，求數列前20項的和$2。.

（2）與其他知識綜合考查，偶爾結合遞推數列、數學歸納法、函數方程、不等式與導數等

知識考查，以最值與參數問題、恒成立問題、不等式證明等題型出現，一般難度比較大，

多為壓軸題，并強調分類討論與整和、轉化與化歸等數學思想的靈活運用；

①與函數或不等式結合的題型：

_3

1.（」海14）若數列｛"/是首項為/,公比為2的無窮等比數列，且｛%｝各項的和為

a,則a的值是（B）

j_5

A.1B.2C.2D.4

2.（安徽21）（本小題滿分12分）

設數列｛"/滿足=ca“+l—c,ceN，其中a,c為實數，且c/0

（I）求數列｛%｝的通項公式

（II）設“2，C5,2="（l_a，）“eN*,求數列出｝的前〃項和S“；

（HD若。<1對任意〃eN*成立，證明0<cMl

3.福建20）（本小題滿分12分）

由I｛an｝是正數組成的數列，al=l,且點（瘋'""i）（nWN*）在函故y=x2+l的圖象上.（I）

求數列｛an｝的通項公式；

（H）若列數｛bn｝滿足bl=l,bn+l=bn+2"",求證：bn,bn+2<b2n+l.

求使町>1的所有k的值，并說明理由。

4.湖南20）數列滿足

八2〃乃、..7n兀4__

〃_（）〃_9??+2=（l+cos—）a?+4sm--=

%—V,—乙,LL

（I）求的，4,并求數列｛"“｝的通項公式；

Wk

（II）設&=q+。3a2k-\,￡=。2+。4■1a2k,2+1

②由遞推式求通項式或n項和：

t)-2q+i=4+山(1+—)_

1.tt西5)在數a列中，a生一乙,“，則”"一(A)

A.2+In77B.2+(〃-l)ln〃2+〃ln〃pl+〃+ln〃

2.四川16)設數列｛"j中，％=2,a“T=a“+〃+l,

_M〃+i)”

則通項％=2o

3.(安徽21)(本小題滿分12分)

設數列S/滿足"。=a,a"+'=c%+1一孰ceN,其中Q,c為實數，且cW0

(I)求數列｛""｝的通項公式

4.4b京20)(本小題共4分)

數列｛%｝滿足。=L—=("2+"-“="("=1,2，..),2是常數.

(I)當外=T時，求丸及生的值；

(II)數列｛"/是否可能為等差數列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；

(III)求九的取值范圍，使得存在正整數機，當"〉團時總有4<0.

5.廣東21)(本小題滿分14分)

I

設數列｛an｝滿足al=l,a2=2,an=3(an-l+2an-2)(n=3,4j“)，數列｛bn｝滿足bl=l,bn(n=2,3,…)是

非零整數，且對任意的正整數m和自然數k,都有?1bm+bm+1+,--+bm+1<1.

(1)求數列｛an｝和｛bn｝的通項公式；

6.(全國I19)(本小題滿分12分)

在數列｛""｝中，％=1,4+1=2。“+2”.

(I)設“2"T.證明：數列的)是等差數列；

(II)求數列｛""｝的前〃項和S".

7.(天津20)(本小題滿分12分)

已知數列｛""｝中,%=1,々=2,a?+l=(1+q)an-qan_｛(n>2#0)

（I）設〃，=a，，+「a，，（〃eN"）,證明也｝是等比數列：

（II）求數列｛""｝的通項公式；

（III）若%是以與。9的等差中項，求4的值，并證明：對任意的。"是凡+3與%+6

的等差中項.

8.重慶22）（本小題滿分12分，（I）小問6分.（H）小問6分）

3

設各項均為正數的數列｛an｝滿足弓=2,。“=a3%+2（〃eN*）,

（I）若&W'求a3,a4,并猜想a2008的值（不需證明）；

（0）若2后4四。2Y4對門》？恒成立，求a2的值.

9.（陜西20）（本小題滿分12分）

4=2%=且

已知數列｛"/的首項'3,",+1,〃=1，2,3,.,

｛----1｝

（I）證明：數列是等比數列；

③由通項與n項和之間的關系求通項式或n項和

1.（全國二20）.（本小題滿分12分）

設數列｛""｝的前〃項和為已知4+|=5"+3",neN\

（I）設=S“-3”,求數列也｝的通項公式；

（H）若4+|力""，〃WN*,求。的取值范圍.

2.（四川卷20）.（本小題滿分12分）

設數列｛｝的前〃項和為S",已知她一2"=eT）S,,

（I）證明：當。=2時，一〃?2"’｝是等比數列；

（II）求｛""｝的通項公式

3.四川21）（本小題滿分12分）

設數列｛4｝的前〃項和為5“=24-2”,

(I)求“□知

（II）證明：-2"J是等比數列；

（III）求｛""｝的通項公式

4.（山東20）（本小題滿分12分）

將數列｛"，，｝中的所有項按每一行比匕?行多一項的規則排成如下數表:

Clj。9。10

記表中的第一列數知外，限%…構成的數列為也｝,優=%=1.S.為數列也｝的前

2匕，,=1（〃22）

〃項和，且滿足“一S"

1

<■>

（I）證明數列［S，，J成等差數列，并求數列｛〃｝的通項公式；

（II）上表中，若從第三行起，第一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為

__4_

同一個正數.當“'91時，求上表中第?3）行所有項的和.

④求和問題（常見方法：直接法，倒序相加，錯位相減，裂項相消等）

1.（淑18）（本題14分）已知數列｛%｝的首項內=3,通項％=2"p+〃q（〃eN*,p,q

為常數），且占'/，/成等差數列，求：

（I）的值；

（II）數列｛g｝的前〃項的和s，，的公式。

2.（陜西20）（本小題滿分12分）

_2&=且

f14=一un+\1icc

已知數列伍"的首項3,%+1,“=1,2,3,...

｛---1｝

（I）證明：數列a"是等比數列；

｛—｝

(II)數列a"的前"項和S".

3.廣東21)(本小題滿分14分)

]_

設數列｛an｝滿足a1=1,a2=2,an=3(an-1+2an-2)(n=3,4,…)，數列｛bn｝滿足bl=l,bn(n=2,3,…)是

非零整數，且對任意的正整數m和自然數k,都有-1?bm+bm+l+…+bm+l<1.

(1)求數列｛an｝和｛bn｝的通項公式;

⑵記cn=nanbn(n=l,2,---)?求數列｛cn｝的前n項和Sn.

4.江西19)等差數列僅”｝的各項均為正數，4=3,前〃項和為S“，｛〃J為等比數列,

々=1□b2S2=64,b3s3—960

，EL?

⑴求4與a;

111

-----1------1■…H-------

⑵求和：5S?S,,_

5.遼寧20)(本小題滿分12分)

cn=—(neN*)

在數列Ia/,?或?是各項均為正數的等比數列，設冊

(I)數列""是否為等比數列？證明你的結論；

(II)設數列"nb“l的前〃項和分別為S”，若4=2,T?2〃+1,求數

列的前〃項和.

(3)數列類創新問題，命題形式靈活，新定義型、類比型和探索型等創新題均有出現，既

可能以選擇題、填空題形式出現，也可以以壓軸題形式出現。

1.江蘇10)將全體正整數排成一個三角形數陣：

1

23

456

78910

。。。。。

/一〃+6

按照以上排列的規律，第n行(〃23)從左向右的第3個數為2

2.（湖北卷15）觀察下列等式:

Yi=-n2+-n,

白22

n二5

If+%+4

1=126

11

-2

44-

n

」〃5+"+_L〃31

—九,

/=!52330

n

Ei,+"+為--n2

小21212

1=1

另6="+-J_

￡722642

.Lk+2kk-[k-2

I=Q&+]/2+4_]〃+/_2〃

Z/=1

1k_

可以推測，當x22（%eN*）時，％"k+l，"5'"’12

，-2=o

3.tt蘇19）（16分）

（1）設/間2,……凡是各項均不為零的等差數列（〃24）,且公差.聲0,若將此數列刪去

某一項得到的數列（按原來的順序）是等比數列：

①當〃=4時;求d的數值；②求〃的所有可能值；

（2）求證：對于一個給定的正整數匝於4）,存在一個各項及公差都不為零的等差數列

仇‘打，??…其中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數列。

那么在進行復習時應從什么角度出發，有以下幾點建議：

內容與要求

1.知識點

數列。等差數列及其通項公式。等差數列前n項和公式。等比數列及其通項公式。等比數

列前n項和公式。（蘊涵了五個基本量）之間的關系，其中“知三求

二”是數列計算中的基本問題，同時要注意應用方程的思想。如“復習參考題B組第2題”

便是一個典型例子。方程或方程組的思想也是體現得較為充分的，不少的例、習題均屬這

種模式：已知數列滿足某某條件，求這個數列。這類問題一般都要通過列出方程或方程

組.然后求解。）

2.適當加強本章內容與函數的聯系。

在數列這一部分，主要介紹數列的概念、分類，以及給出數列的兩種方法。關于數

列的概念，先給出了一個描述性定義，爾后又在此基礎上，給出了一個在映射、函數觀點

下的定義，相應于數列的函數是一種定義域為正整數集（或它的前n個數組成的有限子集）

的函數，它是一種自變量“等距離”地離散取值的函數。從這個意義上看，它豐富了學生所

接觸的函數概念的范圍。但數列與函數并不能劃等號，數列是相應函數的一系列函數值。

基于以上聯系，數列也可用圖象表示，從而可利用圖象的直觀性來研究數列的性質。數列

的通項公式實際上是相應因數的解析表達式（正如并非每一函數均有解析表達式一樣，也

并非每一數列均有通項公式，有通項公式的數列只是少數）。而數列的遞推公式也是表示

相應函數的一種方式，因為只要給定一個自變量的值n,就可以通過遞推公式確定相應的

f（n）?這也反過來說明作為一個函數并不一定存在直接表示因變量與自變量關系的解析

式。在等差數列這?部分，從等差數列的通項公式可以知道，公差不為零的等差數列的

每一項a是關于項數n的一次函數式。于是可以利用一次函數的性質來認識等差數列。例

如，根據一次函數的圖象是一條直線和直線由兩個點唯一確定的性質，就容易理解為什么

兩項可以確定一個等差數列。此外公差不為零的等差數列前n項和的公式可以寫為是n的

二次函數式，于是可以運用二次函數的觀點和方法來認識求等差數列前n項和的問題。如

可以根據二次函數的圖象了解的增減變化、極值等情況。（在推導等差數列前n項和的公

式時，突出了數列的一個重要的對稱性質：與任一項前后等距離的兩項的平均數都與該項

相等，認識這一點對解決問題會帶來一些方便。）在等比數列這一部分，在講等比數列的

概念和通項公式時也突出了它與指數函數的聯系。這不僅可加深對等比數列的認識，而且

可以對處理某類問題的指數函數方法和等比數列方法進行比較，從而有利于對這些方法的

掌握。

3.注意等差數列與等比數列的對比，突出兩類數列的基本特征

等差數列與等比數列在內容上是完全平行的，包括：定義、性質（等差還是等比）、通項

公式、前n項和的公式、兩個數的等差（等比）中項。具體問題里成等差（等比）數列的三個數

的設法等。因此在復習時可采用對比方法，以便于弄清它們之間的聯系與區別。順便指H1,

一個數列既是等差數列又是等比數列的充要條件是它是非零的常數列。引申出兩類數列的

一種對稱性：即與數列中的任?項“等距離”的兩項之和（之積）等于該項的2倍（平方）.

4.呼應前面的邏輯知識，加強了推理論證的訓練

考慮到《新大綱》更加重視對學生邏輯思維能力的培養，且在前面第一章已介紹了“簡

易邏輯”，為進行推理論證作了準備，緊接著又在第二章“函數”里進行了一定的推理論證訓

練，因此本草在推理論證方面有所加強。遞推的思想方法，不僅在數列的遞推公式里有所體

現。觀察、歸納、猜想、證明等思想方法的組合運用在本章里得到了充分展示。為學生了解

它們各自的作用、相互間的關系并進行初步運用提供了條件注意培養學生初步綜合運用觀

察、歸納、猜想、證明等方法的能力。綜合運用觀察、歸納、猜想、證明等方法研究數學，

是一種非常重要的學習能力。事實上，在問題探索求解中，常常是先從觀察入手，發現問題

的特點，形成解決問題的初步思路；然后用歸納方法進行試探，提出猜想；最后采用證明方

法（或舉反例）來檢驗所提出的猜想。應該指出，能夠充分進行上述研究方法訓練的素材在高

中數學里并非很多，而在本章里卻多次提供了這種訓練機會，因而在教學中應該充分利用，

不要輕易放過。譬如利用數列遞推公式求數列的通項以及通過數列通項式求數列前n項和都

是數列中的難點問題，教師在復習過程中可以加以歸納，加強鞏固以求突破。

三角函數

2008高考考察內容

⑴化解，求值

(四川卷)(tanx+cotx)cos2()

(A)tanx(B)sinx(C)cosx(D)cotx

(山東卷5)已知cos(a-—)+sina=一當己！Jsin(a—史?)的值是

4

5

(浙江卷8)若cosa+2sina=-V5,貝ijtana

(D)-2

3-sin70°

（海南卷7）

2-cos210°

V2

2

/-i-?K-IL.、2兀、

Z71y.713

(天津理17)已知cos(x——)=——,XG(―,—)

41024

求(1)sin1的值

jr

(2)sin(2x+§)的值。

【筆者分析】

⑴化解求值：本塊一般都以簡單題的形式出現，2008全國有5個省市考察，其中天津理科

17題以解答題形式來考。覆蓋的基本公式有：同角三角函數基本關系（平方關系，倒數關

系，商關系）；誘導公式；和差倍半角公式；提斜公式等。因而就要求學生熟練掌握教材中

的所有基本公式，并能同時進行靈活應用。（附2008部分考題）

⑵解三角形

（全國一文理17）.設△ABC的內角4B。所對的邊長分別為a,bc,且

3

acosB-bcosA--c.

5

（I）求tanAcot8的值；

（II）求tan（A-B）的最大值.

54

（全國二文理17）.在△ABC中，cosB=——,cosC=-.

135

（I）求sinA的值；

33

di）設△ABC的面積=一，求8。的長

（江西卷17）.在A48C中，角所對應的邊分別為。力,c,a=26，

tantan—=4,2sin5cosC=sinA,求A,5及瓦c

2+2

（重慶卷文理17）設AA5C的內角4B,C的對邊分別為a",c,且不60°,c=36.求：

（I）—的值；（II）cotB+cotC的值.

c

（遼寧卷文理17）在△ABC中，內角4B。對邊的邊長分別是abc,已知c=2,

C=~.（I）若AABC的面積等于G，求a,b；

3

（H）若sinC+sin（8—A）=2sin2A,求△ABC的面積.

（山東卷15）已知a,b,c為的三個內角4B,。的對邊，向量）=（區-1）,n

—（cos/4,sinJ）.若m_Ln,且acos*6cos4=csinG則角6=

【筆者分析】

⑵解三角形：本塊2008多以解答題的形式考察，全國有6省市均重點考察（包括四川延考

區），其核心考察兩個定理（正余弦定理）及三角形面積公式的綜合應用，在解題時希望大

家結合其圖形進行分析。

⑶圖象，性質

（全國一8）為得到函數y=cos（2x+g）的圖像，只需將函數y=sin2x的圖像（）

5兀

A.向左平移」5兀個長度單位B.向右平移二個長度單位

1212

5兀

C.向左平移二個長度單位1).向右平移二5兀個長度單位

66

(全國二8)若動直線x=a與函數/(x)=sinx和g(x)=cosx的圖像分別交于M,N兩

點，則的最大值為()A.1B.V2C.V31).2

JT

(天津卷6)把函數y=sinx(xeH)的圖象上所有點向左平行移動一個單位長度，再把

3

所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的,倍(縱坐標不變)，得到的圖象所表示的函數是

2

()(A)y=sin(2x-y),xeR(B)y=sin(^+-^),XER

JI.24

(C)y=sin(2x+y),xsR(D)y=sin(2x+-^-),x￡R

rrJr

(安徽卷5)將函數y=sin(2x+1)的圖象按向量a平移后所得的圖象關于點(-今,0)中

心對稱，則向量a的坐標可能為()

冗八71TC兀八

A.(--,0)B.(--,0)C.(-,0)D.(-,0)

126126

TT

(湖北卷5)將函數y=3sin(x-6)的圖象下按向量(g,3)平移得到圖象P,若F的一條

7T

對稱軸是直線X=工，則。的一個可能取值是

4

,55c1111

A.--7tB.---71C.--71D.---71

12121212

(湖南卷6)函數/(x)=sin2x+6sinxcosx在區間上的最大值是()

42

1+V33rr

A.1B.——C.-D.1+V3

22

(重慶卷10)函數f⑨=-；==玉匚==(0<x<2^-)的值域是

V3-2cosx-2sinx

(A)---,0](B)[-1,0](C)[-A/2,0](D)]

2

(福建卷9)函數f(x)=cosx(x)(xeR)的圖象按向量(m,0)平移后，得到函數*(x)的

圖象，則勿的值可以為

,71-K

A.—B.nC.-nD.--

22

x37r

（浙江卷5）在同一平面直角坐標系中，函數y=cos（］+二了）（xc［0,2對）的圖象和直線

L的交點個數是

y

2

（A）0(B)1(C)2(D)4

（海南卷1）已知函數22$曲（3*+6）（3>0）在區間［0,2冗］的圖像如下:那么

A.1B.2

C.1/2D.1/3

（上海卷6）函數F（x）=，5sinx+sin俁x）的最大值

是.

(江蘇卷1)/(%)=cos（（yx-?j的最小正周期為

TT

—,其中口>0,則①二

5

4.（廣東卷12）已知函數/（X）=（sinx-cosx）sinx,xGR,則/（x）的最小正周期

是.

5.(遼寧卷16)已知/(X)=sin[(yx+]k(y>0),f

且/（x）在區間

71兀

有最小值，無最大值，則口=

6^

兀

(北京卷15)已知函數/(x)=sin2Gx+V3sin69xsin|-（①>0）的最小正周期

2

2兀

為兀.（I）求⑦的值；（H）求函數/（x）在區間0,—上的取值范圍.

（四川卷17）.求函數y=7-4sinxcosx+4cos2x—cos'x的最大值與最小值。

（天津卷17）已知函數/（%）=2cos?①x+2sinGxcosGx+l（XER,G>0）的最小值正

周期是2TT.（I）求。的值；

2

（II）求函數/（X）的最大值，并且求使/（X）取得最大值的X的集合.

TTJTTT

(安徽卷17).已知函數/(x)=cos(2x-g)+2sin(x-i)sin(x+w)

（I）求函數/（幻的最小正周期和圖象的對稱軸方程

(II)求函數/(x)在區間［―專,楙］上的值域

(山東卷17)已知函數/(%)=V3sin(<ax+(p')-cos(<uc+^>)(0<(p<n,co>0)為偶函數，

且函數y=f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

2

(I)求F(三)的值；

8

7T

(II)將函數y=f(x)的圖象向右平移上個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標舒暢長

6

到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數尸g(x)的圖象，求g(x)的單調遞減區間.

(湖北卷16).已知函數

f(t)=.-~-,^(x)=cosx■/(sinx)+sinx?/(cosx),xe(肛

V1+r12

(I)將函數g(x)化簡成Asin(ox+0)+8(A>0,co>0,9e［0,2)))的形式；

(ID求函數g(x)的值域.

(陜西卷17).已知函數/(x)=2sin±cos2-26sin22+6.

444

(I)求函數/(x)的最小正周期及最值；

(II)令g(x)=/1x+W),判斷函數g(x)的奇偶性，并說明理由.

(福建卷17)已知向量爐(sin4cos4),k(百，一1),勿?〃=1,且力為銳角.

(I)求角力的大小；(H)求函數/(x)=cos2x+4cosAsinx(x￡R)的值域.

(廣東卷16)

已知函數/(x)=Asin(*+/XA>0,0v9<,xsR的最大值是1,其圖像經過點

加仁彳).(1)求/(X)的解析式；(2)已知a,5］，且/(a)=|，/(")=￡，

求/(a—0的值.

【筆者分析】

⑶圖象，性質：本塊是本章的重點，全國近20多個省市均有考察，其性質覆蓋單調性，對

稱性，周期，最值，奇偶性。而圖象包括識圖，用圖及圖象變換等。在復習過程中應重點

復習，同時讓學生進行強化練習。

【2009復習建議】

本章應分三板塊進行全面復習

第一板快：三角式的化解，求值。

第二板快：圖象，性質

第三板快：解三角形

請大家一定要注意2006——2008年的高考命題變化，每年考察的重點有所不同，應全面復

習本章內容，下面就四川歷年的考題情況見附表：

四川歷年三角函數解答題【命題報告】

年份考察內容

04AABC+化簡+求值(和差公式)

05AA8C+向量(點積)+化簡+求值(和差公式+切割化弦)

06A48C+向量(坐標+點積)+化簡+求值(和差公式+解三角方程+

提斜)

07化簡+求值(和差公式+切割化弦)

08非延考區——化簡(+倍角+降次)+函數性質(單調性+最值)

延考區——解三角形(正余弦定理及三角形面積公式)

平面向量

平面向量的考查要求

a.考查平面向量的性質和運算法則及基本運算技能。要求考生掌握平面向量的和、差、

數乘和內積的運算法則，理解其直觀的幾何意義，并能正確地進行運算。

b.考查向量的坐標表示，向量的線性運算。

c.和其他數學內容結合在一起，如可和函數、曲線、數列等基礎知識結合，考查邏輯

推理和運算能力等綜合運用數學知識解決問題的能力。題目對基礎知識和技能的考查一般由

淺入深，入手不難，但要圓滿完成解答，則需要嚴密的邏輯推理和準確的計算。

平面向量

1.(04,9)已知平面上直線/的方向向量e=(-點。(0,0)和A(l,—2)在/上的射影分

別是。'和A,則育=/￡,其中4=D

(A)—(B)——(C)2(D)—2

55

2.(04,文9)已知向量a、B滿足：In