微專題電磁感應問題中的“導軌+電感線圈”模型模型一閉合回路中電阻忽略不計，導體棒有初速度【例1】如圖所示，水平面內有一足夠長的光滑平行直金屬導軌，間距為d。導軌左端接一自感系數為L的電感，導軌上有一導體棒，構成閉合回路。整個裝置處在豎直向下的勻強磁場中，磁感應強度為B。導體棒具有沿導軌向右的初速度v0。導體棒運動時始終與導軌垂直，整個回路的電阻忽略不計，不考慮電磁輻射。試結合動力學規律與能量轉化相關知識分析導體棒的運動情況。分析導體棒切割磁感線產生感應電動勢，在閉合回路中形成電流。電流變化導致電感產生自感電動勢。因回路中電阻為零，故自感電動勢總是等于導體棒的動生電動勢。導體棒運動時，受到安培力的作用，故其運動狀態由安培力決定。解析對閉合回路，有Leq\f(Δi,Δt)＝BdvΔi＝eq\f(Bd,L)vΔtΣΔi＝eq\f(Bd,L)ΣvΔt可得i＝eq\f(Bd,L)x對導體棒，有－FA＝－idB＝－eq\f(B2d2,L)x＝－kx(k為常量)導體棒受力滿足簡諧運動的受力條件，故導體棒做簡諧運動。初始位置為平衡位置，最大速度為v0。導體棒運動時，安培力對其做功，使得導體棒的動能與閉合回路中儲存的磁場能相互轉化。簡諧運動周期為T＝eq2π\r(\f(m,k))＝\f(2π\r(mL),Bd)可得ω＝eq\f(2π,T)＝\f(Bd,\r(mL))則導體棒得速度為v＝v0cosωt＝v0coseq\f(Bdt,\r(mL))導體棒的位移為x＝Asinωt＝eq\f(v0,ω)sinωt＝eq\f(v0\r(mL),Bd)sineq\f(Bdt,\r(mL))則回復力F＝－kx＝－Bdv0eq\r(\f(m,L))sineq\f(Bdt,\r(mL))閉合回路中的電流為i＝eq\f(Bd,L)x＝v0eq\r(\f(m,L))sineq\f(Bdt,\r(mL))，電流方向隨時間發生變化?！咀兪接柧殹?多選)水平面上固定相距為d的光滑直導軌MN和PQ，在N、Q之間連接不計電阻的電感線圈L和電阻R。在軌道間有磁感應強度大小為B、方向垂直導軌平面向上的勻強磁場，在導軌上垂直導軌放置一質量為m、電阻不計的金屬桿ab，ab始終與導軌接觸良好。在導軌右側有兩個固定擋塊C、D，C、D連線與導軌垂直?，F給金屬桿ab沿軌道向右的初速度v0，當ab即將撞上C、D時速度為v，撞后速度立即變為零但不與擋塊粘連。以下說法正確的是()A．ab向右做勻變速直線運動B．當ab撞上C、D后，將會向左運動C．ab在整個運動過程中受到的最大安培力為D．從ab開始運動到撞上C、D時，電阻R上產生的熱量小于【答案】BD【解析】ab向右運動時受到向左的安培力而做減速運動，產生的感應電動勢和感應電流減小，安培力隨之減小，加速度減小，所以ab做非勻變速直線運動，故A錯誤；當ab撞上C、D后，ab中產生的感應電動勢為零，電路中電流要減小，電感線圈L將產生自感電動勢，根據楞次定律可知，自感電動勢方向與原來電流方向相同，沿b→a方向，根據左手定則可知，ab受到向左的安培力，故當ab撞上C、D后，將會向左運動，故B正確；開始時，ab的速度最大，產生的感應電動勢最大，由于電感線圈L中產生自感電動勢，此自感電動勢與ab中的感應電動勢方向相反，電路中的電流小于，最大安培力將小于，故C錯誤；從ab開始運動到撞上C、D時，由于線圈中有磁場能，所以電阻R上產生的熱量小于，故D正確。【變式訓練】(多選)如圖所示，一豎直放置的兩平行金屬導軌MN、PQ，導軌間距為l，上端接有自感系數為L的線圈，其直流電阻可以忽略不計，裝置處于水平向里的勻強磁場中，磁感應強度為B，一質量為m的金屬棒從靜止開始下滑，金屬棒的電阻不計，棒與導軌間的動摩擦因數為μ，金屬棒與導軌始終接觸良好，則金屬棒下滑h距離的過程中()A．金屬棒做勻加速直線運動B．金屬棒下落h時的速度為C．金屬棒下落h時其兩端的電勢差為D．金屬棒下落eq\f(h,2)時的加速度為【答案】CD【解析】金屬棒由靜止開始運動，運動過程中棒切割磁感線產生電動勢，與電感線圈組成的回路中有電流產生，電感線，圈中產生的自感電動勢與棒切割磁感線產生的電動勢相等，即E切＝E自，則BLv＝Leq\f(Δi,Δt)，兩邊求和，可得，即BLx＝Li，則金屬棒所受安培力為，由此可知，棒下滑過程中所受安培力與位移成正比，則金屬棒并不是做勻加速直線運動，A錯誤；對金屬棒下滑h過程中由動能定理可知，其中，解得，此時金屬棒兩端電壓為，B錯誤，C正確；金屬棒下落eq\f(h,2)時，金屬棒所受的安培力為，由牛頓第二定律可得加速度為，D正確。模型二閉合回路中電阻忽略不計，導體棒受到恒定拉力開始運動【例2】如圖所示，給導體棒施加沿導軌向右的恒力F0，使其由靜止開始運動，其他條件與例1中相同。導體棒始終與導軌垂直，整個回路的電阻忽略不計，不考慮電磁輻射。試結合動力學規律與能量轉化的相關知識分析導體棒的運動情況。分析例2中電感的自感電動勢總是等于導體棒的動生電動勢。導體棒運動時，受到恒力F0、安培力的共同作用，故其運動狀態由兩個力共同決定。該系統中，恒力F0對系統做正(負)功，導致系統的總能量增加(減少)，系統具有的能量為導體棒的動能與電感儲存的磁場能之和。解析對閉合回路，有Leq\f(Δi,Δt)＝Bdv則i＝eq\f(Bd,L)x對導體棒，有F0－FA＝F0－eq\f(B2d2,L)x＝F0－kx(k為常量)導體棒受力滿足簡諧運動的受力條件，故導體棒做簡諧運動，平衡位置為x0＝eq\f(F0L,B2d2)＝A。恒力對系統做正(負)功時，系統的總能量增加(減少)，即導體棒的動能與閉合回路中儲存的磁場能增加(減少)。簡諧運動周期為T＝eq2π\r(\f(m,k))＝\f(2π\r(mL),Bd)可得ω＝eq\f(2π,T)＝\f(Bd,\r(mL))導體棒的位移為x＝x0－Acosωt＝eq\f(F0L,B2d2)(1－coseq\f(Bdt,\r(mL)))導體棒得速度為v＝vmsinωt＝eq\f(F0,Bd)\r(\f(L,m))sineq\f(Bdt,\r(mL))則回復力F＝F0－kx＝F0coseq\f(Bdt,\r(mL))閉合回路中的電流為i＝eq\f(Bd,L)x＝eq\f(F0,Bd)(1－coseq\f(Bdt,\r(mL)))，電流方向不變且總為逆時針方向。【變式訓練】(多選)如圖，間距為d、傾角為θ的兩足夠長光滑平行金屬導軌，導軌間存在垂直導軌平面向上的磁感應強度為B的勻強磁場。導軌上端接一自感系數為L的電感線圈，當流過線圈的電流變化時，線圈中產生自感電動勢E＝Leq\f(ΔI,Δt)。將一根質量為m、長度略大于d的金屬棒垂直導軌放置，t＝0時刻由靜止釋放。已知電感線圈的直流電阻、金屬棒及導軌電阻均為零，當金屬棒下滑時切割磁感線產生的電動勢與線圈的自感電動勢大小相等；質量為m的質點做簡諧運動的回復力滿足F＝－kx，振動周期T＝eq2π\r(\f(m,k))，重力加速度為g，電磁輻射忽略不計。關于金屬棒的運動，下列說法正確的是()A．金屬棒沿導軌先做變加速運動，最終勻速下滑B．金屬棒沿導軌下滑的最大距離為C．金屬棒釋放后經時間速度再次減為0D．釋放金屬棒后，在時刻速度第一次達到最大【答案】BC【解析】依題意，當金屬棒下滑時切割磁感線產生的電動勢與線圈的自感電動勢大小相等，有，可得，金屬棒所受安培力為，設金屬棒下滑x0時受力平衡，有