初中數學競賽綜合強化練習1

學校:姓名：班級:考號：

一、單選題

1.已知上|<2兀，x是整數，則符合條件的x的值有（）

A.5個B.6個C.11個D.13個

2.如圖，在中，ZC=45°,將AABC繞著點B逆時針方向旋轉，使點C的對應

點C，落在CA的延長線上，得到AA/C,連接AY,交BC'于點、0.下列結論：①

ZACA,=90°；②A4'=BC'；③ZA'BC=ZA'AC；?AA'OC.其中正確

結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

3.如圖，在RdABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,將△ABC繞點A沿順時針方向

旋轉后得到AAOE,直線B。、CE相交于點。，連接A0.則下列結論中：

①△ABQsaACE；②NCOD=135。；③AOLBO；④ZXAOC面積的最大值為8,其中

正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.若x-；+（3y+iy=0,則7+了的值是（）

A.0B.-C.—D

39-I

5.如圖，直線A8與坐標軸交于A8兩點，。4=3,08=1.若將直線AB繞點A逆時

針旋轉45。后交x軸于點C,則點C到直線A8的距離是（）

y

A.25/i0B.4C.3加D.士回

45

6.下列方程是一元高次方程的是()

A.x+3=0B.x2-3x-1=0C.x3+2x+-=0D.r+1=0

x

7.己知a,人滿足(a+1)2-(。-2)+|c-3|=0,則a+b+c的值等于()

A.2B.3C.4D.5

8.將正整數按如圖所示的規律排列，若有序數對(〃,利)表示第〃排，從左到右第機個

數，如(4,2)表示9,則表示123的有序數對是().

1第一排

32第二排

456第三II

10987第四紡

A.(16,3)B.(15,3)C.(16,14)D.(15,13)

二、填空題

9.如圖(1),將一個等腰直角三角形紙片沿著虛線剪成三塊，再利用這三塊小紙片進

行拼接，恰好拼成一個如圖(2)無縫隙、不重疊的平行四邊形，則2的值是一.

(1)(2)

10.如圖，。是等邊三角形ABC內一點，ZADB=90°,將△ABO繞點A旋轉得到

△ACE,延長8。交CE于點G,連接并延長交8c于點F.則下列結論：

①△AOE是等邊三角形；②四邊形4OGE是軸對稱圖形：③AC,EF互相平分；④BF

=CF.其中正確的有.(填序號)

A

.E

11.如圖，在正方形ABC。中，點。是對角線B。的中點，點P在線段0。上，連接

4P并延長交C。于點E,過點尸作尸尸，AP交BC于點凡連接4尸、EF,4尸交BO于

G,以下三個結論：①AP=尸尸；②DE+BF=EF；③久八針為定值.其中正確的結論

有.(填入正確的序號即可).

12.方程2(1-3x)4-32=0的根是.

13.若卜―1|+e+2021)2=0,那么“一6的值是.

14.如圖，直線y=-〈x+5與坐標軸交于A,B兩點，交反比例y="(x>0)的圖象于

2x

C,。兩點，且8=347,點后是直線48上一點，連接OE,以OE為邊在OE右側

作直角三角形OEF,ZOEF=90°,ZOFE=ZABO,若邊OF交反比例函數圖象于點

G,OG=GF,則％值為，點E的坐標是.

15.已知正整數x滿足V+5X+30是完全平方數，則x的值是.

16.如圖，在邊長為6的正AABC中，D,E分別在邊AC,A8上，AD^AC,

2

AE=-ABtBD,CE相交于點R則點A,D,b所在圓的半徑.

A

D

B匕-------—

三、解答題

17.有一個n位自然數然數…gh能被此整除,依次輪換個位數字得到的新數

bed…g/?〃能被xo+1整除，再依次輪換個位數字得到的新數cd…g/mb能被xo+2整

除，按此規律輪換后,d…g/2abe能被xo+3整除…g能被xo+〃-1整除，

則稱這個“位數abed…gh是初的一個“輪換數例如：60能被5整除，06能被6整

除，則稱兩位數60是5的一個“輪換數”；再如：324能被2整除，243能被3整除，

432能被4整除，則稱三位數324是2個一個“輪換數

(1)若一個兩位自然數的個位數字是十位數字的2倍，求證這個兩位自然數一定是“輪換

數”.

⑵若三位自然數應是3的一個“輪換數”，其中“=2,求這個三位自然數人.

18.【問題提出】

(1)如圖1,在中，ZC=90°,平分NABC交AC于點￡>,設C。的長為

m，點D到邊AB的距離為〃,則，"n.(填”或“=”)

【問題探究】

(2)如圖2,在梯形ABC。中，ZA=90°,AD//BC,AB=2O(l+0),BO為對角

線，且NBDC=45。，求△BCD面積的最小值；

【問題解決】

(3)某景點有一個形狀為菱形的草坪，如圖3,AB=40G米，4=60。，現

欲將該草坪擴建為使得點E、尸分別在胡、8C的延長線上，且邊E尸經過

點O,為了節省成本，要求擴建后的草坪面積(AB斯的面積)盡可能小，問ABEF

的面積是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請說明理由.

19.【閱讀】下列是多項式6x+5因式分解的過程：

x2-6x+5=x2-6x+9+5-9=(x-3)2-4=(x-3+2)(x-3-2)=(x-l)(x-5).請利用上

述方法解決下列問題.

【應用】

(1)因式分解：J+8X-9；

(2)若x>5,試比較f-4x-5與0的大小關系;

(3)【靈活應用】若(？+從-24-86+17=0，求a+6的值.

20.某商場經營甲、乙兩種商品，甲種商品每件進價100元，售價比進價多40%,乙

種商品每件售價160元，售價比進價多5.

(1)求每件甲種商品的售價和每件乙種商品的進價；

(2)若該商場同時購進甲、乙兩種商品共100件，花去11120元，求該商場購進乙種商

品多少件？

(3)春節期間，該商場對甲、乙兩種商品進行如下優惠活動：

①不超過2000元，不優惠；

②超過2000元且不超過2500元，九折優惠；

③超過2500元，八折優惠.

按照上述優惠條件，憂憂第一天只購買乙種商品一次性付款1760元，第二天只購買甲

種商品一次性付款2016元，那么這兩天憂憂在該商場購買甲、乙兩種商品一共多少

件？

21.問題探究

(1)請在圖①、圖②各作兩條直線，使它們將正方形ABCD與半。O的面積三等

分；

(2)如圖③，在矩形ABC。中，AB=3,BC=4,請在圖③中過頂點A作兩條直線，

使它們將矩形A8c。的面積三等分，并說明理由；

問題解決

(3)位于寶雞市鳳翔區的機場將計劃于2024年建成通航.如圖④，在機場旁邊有一

塊平行四邊形ABCO空地，其中A8=AC=100米，BC=120米，根據視覺效果和花期

特點，機場設計部門想在這塊空地上種上等面積的三種不同的花，要求從入口點A處

修兩條筆直的小路(小路面積忽略不計)方便旅客賞花，兩條小路將這塊空地的面積

三等分.那么設計部門能否實現自己的想法？若能實現，請通過計算，畫圖說明；若

不能，請說明理由.

圖②

22.已知如圖AABC是銳角三角形，分別以邊AB、AC為邊向外作△回￡）和AACE,

△A3。和AACE均為等邊三角形，且BE和CQ交于點F,連接AF.

(1)求證：^ACD^AEB；

(2)求出NCEE的度數;

(3)求證：ZAFB=NBFC=ZAFC.

參考答案:

1.D

【解析】

【分析】

利用去絕對值符號，得出關于x的解集范圍，再根據整數的定義，求出符合條件的值的個

數.

【詳解】

解：v|x|<2萬,

-2》<X<2TT,

?.5=3.14,

/.—6.28<x<6.28,

???*是整數，

\x可取—6,-5,-4,—3,-2,—1,0,1,2,3,4,5,6有13個，

故選：D.

【點睛】

本題考查了去絕對值符號及無理數，解題的關鍵是：會去絕對值符號求解不等式的解集.

2.C

【解析】

【分析】

利用旋轉的性質和等腰三角形的性質推出NAC'A'=90。，即可判斷①的正確性：通過點

*、B、A、C四點共圓可以判斷出②③④的正確性.

【詳解】

解：由題意可得：BC=BC',NC=NA'C'8

ZC=45°

ZBC'A=45°

'：ZACA'=ZACB+ZBC'A

：.ZAC'A'=90°,故①正確；

ZBC'A=ZC=45°

：.NC'BC=90°

'：ZABC=ZA'BC

答案第1頁，共27頁

ZA'6A=90°

，ZA!BA+NAC'A=180°,NC'AB+ZC'A'B=180°

.?.點4、B、A、C'四點共圓

,/ZACA'=90°,ZBAC豐90°

.?.A'A是直徑，BC不是直徑

AA'A^BC,故②錯誤；

?點A、B、A、C'四點共圓

二NA'8C=NA'AC’,故③正確；

?點A、B、A、C'四點共圓

ZAA'C=ZABC,ZA'C'B=ZA!AB

???△A'OC'sABOA,故④正確；

...正確結論的個數是3個

故選C.

【點睛】

本題考查了圖形的旋轉、等腰三角形的性質、四點共圓、圓周角定理的推論以及相似的判

定等知識點，靈活運用這些知識點是解題的關鍵.

3.C

【解析】

【分析】

①由旋轉性質證明AASD—ACE即可判斷；

②由①的結論可得，ZABD^ZACE,進而得到NBOC=NCAB=45。，即可判斷NCOD；

③證明△ABD為等腰三角形即可判斷；

④由題意直線8。、CE相交于點。，當4。，AC時，的面積最大，通過勾股定理

計算求出最大值，進而進行判斷

【詳解】

①由旋轉的性質可知：AC=BC=AE=DE=4.,AB=AD=4無

;.空=絲=應

ACAE

-.ZDAE=ZCAB=45°

.?.ZDAE+ZEAB=ZCAB+ZEAB

答案第2頁，共27頁

即ZBA￡>=NC4E

：./\ABD^/\ACE

故①正確

②設CE,AB相交于點F,如圖:

由①AABOSAACE,可得NAB￡)=NACE,

又ZBFO=NCFA

:.ZBOC=ZCAB=45°

ZCOD=135°

故②正確

(3)ZBOC=ZCAB=45°,

???可知AB,CO四點共圓,

則NBQ4=NBC4=90。

即AOJ.BD

故③正確

④設。到AC的距離為/?,

???AC=4,以AC為底邊，當人最大時候，AAOC面積的才最大,

由③可知是等腰三角，OD=OB

■：8C，AC,當。點到AC的距離最大時即當49，AC時，h最大

即當旋轉角度45。時，過。作OG_LAC于點G,如圖，

由②可知NC8=135。

由③可知AOLBD,

:.ZAOC=45°

AB=AD,ZBAD=45°

答案第3頁，共27頁

ZABD=1(180°-45°)=67.5°

由①可知A43OSAACE

ZACE=ZABD=61.5°

ZOAC=180°-ZOC4-ZAOC=67.5°

:.OA=OC

:.CG=GA=-AC=2

2

在心ABOEr中，BE=AB-AE=4壺-4,DE=4

BD=y]BE2+DE2=7(472-4)2+42=4“-20

在RfZ\AOO中，AD=4&OD=；BD=2$4-2如

AO=y]AD2-OD2=J(4夜＞-(2"-2夜/:2"+2血

在RrZSOCG中，

OG=yjACP-CG2=Jl6+80-4=J12+80=20+2

故④不正確

綜上所述：①②③正確，共計3個

故選C

【點睛】

本題考查了圖形的旋轉，三角形相似的性質與判定，同弧所對的圓周角相等，圓內接四邊

形對角互補，等腰三角形性質，勾股定理，正確的作輔助線和熟練的幾何基礎知識是解題

答案第4頁，共27頁

的關鍵.

4.D

【解析】

【分析】

根據絕對值和平方的非負性求出x和y的值，再根據有理數的乘方運算算出結果.

【詳解】

解：（3y+l）2>0,且x-；+（3y+l）2=0,

：.x--=0,3y+l=0,即x=Ly=~-,

333

則x2+y2

故選：D.

【點睛】

本題考查絕對值和平方的非負性，代數式的值，有理數的乘方運算，解題的關鍵是掌握絕

對值和平方的非負性.

5.C

【解析】

【分析】

過點C作CDJ.AB于點。，△ACD為等腰直角三角形，AD=CD,BD=AB—AD,BC邁

用面積法推導，最后在用ABCD中，利用勾股定理求解即可.

【詳解】

答案第5頁，共27頁

/.ZADC=90

,：直線AB繞點A逆時針旋轉45°

，ZDAC=45"

ZD14C=45°

，AD=CD

在RAAOB中,04=3,0B=l

AB?=01+OB）=io

/.AB=廂

又；AB.CD=BC>OA

：.BC=—CD

3

在mJ3CD中：BC2=BD2+CD2

設CD=x,則8￡>=A8-AO=VHi-x,BC=—x

3

（￥^X）2=（V10-JC）2+JC2

化簡得：4X2-9710X+45=0

解得：%=|國（舍），x2=|vio

即：CD=-Vio

4

故選：c

【點睛】

本題考查勾股定理，等角對等邊、一元二次方程的解法等知識點，根據相關內容列出等量

關系是解題關鍵.

6.D

【解析】

【分析】

根據一元高次方程的定義：只含一個未知數，未知項的最高次數大于等于3的整式方程，

即可得出答案.

【詳解】

解：這四個方程都只含一個未知數，

答案第6頁，共27頁

,:A,B中未知數的項的次數小于等于2,

:.A,B選項不是一元高次方程，不符合題意，

VC中分母中含有未知數，

是分式方程，

...C選項不符合題意，

?.?D符合一元高次方程定義：只含一個未知數，未知項的最高次數大于等于3的整式方

程，

???D選項符合題意，

故選：D.

【點睛】

本題考查了一元高次方程的定義，注意幾元幾次方程都首先是整式方程.

7.C

【解析】

【分析】

根據完全平方和算術平方根以及絕對值都是非負數，列出方程求解即可.

【詳解】

解：根據題意，得，3+1產+J(2-"+|c-3|=0,

a+1=0,2-b=0,c-3=0,

解得a=-l，b—2,c=3,

所以a+b+c--1+2+3=4.

故選：C.

【點睛】

本題考查了完全平方和算術平方根以及絕對值都是非負數，非負數的性質：幾個非負數的

和為0,那么這幾個數都為0,掌握非負數的性質是解題的關鍵.

8.C

【解析】

【分析】

根據圖中的數字，可以發現每排的數字個數和每排中數字的排列順序，從而可以得到123

在第多少排，然后即可寫出表示123的有序數對，本題得到解決.

答案第7頁，共27頁

【詳解】

解：由圖可知，

第一排1個數，

第二排2個數，數字從大到小排列，

第三排3個數，數字從小到大排列，

第四排4個數，數字從大到小排列，

???,

則前〃排的數字共有處2個數，

2

?.?當〃=15時，”/=120,

??.123在第16排,

二表示123的有序數對是（16,14）,

故選：C.

【點睛】

本題考查數字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發現數字的變化特點，寫出表示

123的有序數對.

9.夜+1

【解析】

【分析】

等腰直角三角形紙片沿圖中虛線剪成三塊圖形，能拼成一個沒有縫隙且不重疊的平形四邊

形，則等腰直角三角形的面積和平行四邊形的面積相等，可得;（。+32=。（。+人+切，求

出“和人之間的關系即可得出結論.

【詳解】

解：如圖，等腰直角三角形紙片沿圖中虛線剪成三塊圖形，能拼成一個沒有縫隙且不重疊

的平行四邊形，

等腰直角三角形的面積等于平行四邊形的面積，

由圖（1）可知：等腰直角三角形的直角邊的長為（。+6）,由圖（2）可知：平行四邊形的

底邊長為（。+匕+6）,高為

答案第8頁，共27頁

/.1(Q+Z?)2=a(a+b+h),

Ab2-2ab-a2=0,

電)-2x(%=°

解得：幺=夜+1或2=一夜+1(舍去),

aa

，2的值是&+1.

a

故答案為：72+1

【點睛】

本題考查了圖形的剪拼、一元二次方程的解法、等腰直角三角形和平形四邊形的面積公

式.解決本題的關鍵是利用轉化思想，剪拼前后兩個圖形的面積相等.

10.①②④

【解析】

【分析】

根據旋轉性質，得到ZBAD=ZCAE,得證ND4E=60。，判斷結論①；連接AG,

利用"L判斷結論②；連接AF,證明四邊形AFCE一定不是平行四邊形；利用四點共圓,

證明NAFB=90。，根據三線合一，得BF=CF.

【詳解】

,/^ABD繞點A旋轉得到MCE,

.'.AD=AE,ZBAD=ZCAE,NACB=NAEC=90。，

ZBAD+ZDAC=ZCAE+ZDAC即NBAC=NDAE=60°,

t^ADE是等邊三角形，

故結論①正確；

如圖，連接AG,..hAOE是等邊三角形，

答案第9頁，共27頁

：.AD=AE,

'：ZADG=ZAEG=90°,

：.^ADG^LAEG,

：.GD=GE,ZDAG=ZEAG,

?..△AOE是等邊三角形，

，直線AG垂直平分OE,

，四邊形AOGE是一個軸對稱圖形，

故結論②正確；

連接AF,

ZDAC+ZEAC=60°-ZACB,

：.ZEAC^ZACB,

.?.AE與FC一定不平行，

二四邊形AFCE一定不是平行四邊形,

：.AC,EF一定不互相平分，

故結論③錯誤；

???△AOE是等邊三角形，ZADG=90°,

：.ZEDG=ZBDF=30°,

：./4。斤=120°,

二ZADF+ZABC^\80°,

：.A,B,F,。四點共圓，

ZADG=ZAFB=90°,

根據三線合一，得BF=CF,

故結論④正確.

故答案為：①②④.

答案第10頁，共27頁

【點睛】

本題考查了旋轉的性質，定理，線段的垂直平分線判定，四點共圓，等腰三角形的三線

合一，熟練掌握基礎知識是解題的關鍵.

11.

【解析】

【分析】

①證明A,B,F,P四點共圓，推出/%G=NPBF=45。，可得結論；②將△AOE繞點4順

時針旋轉90。得到△利用全等三角形的性質證明即可；③由△AEFgAAMF,推出

S4AEF=SAAMFJFM.AB,因為尸M的長度是變化的，所以△AEF的面積不是定值.

2

【詳解】

取4斤的中點T,連接PT,BT.

-：AP±PF,四邊形ABC。是正方形，

ZABF=ZAPF=90°,ZABD=ZCBD=45°,

'：AT=TF,

：.BT=AT=TF=PT,

B,F,戶四點共圓，

：.ZPAF=ZPBF=45°,

：.ZPAF=ZPFA=45°,

：.PA=PF,故①正確，

將MOE繞點A順時針旋轉90。得到AABM,

VZADE=ZABM=90°,NABC=90。，

ZABC+ZABM=\SO°,

：.C,B,M共線，

ZEAF=45°,

：.ZMAF=ZFAB+ZBAM=ZFAB+ZDAE=45°,

：.ZFAE=ZFAM,

在AEM和中，

FA=FA

-2FAM=NFAE,

AM=AE

答案第II頁，共27頁

：./\FAM^/\FAE(SAS),

：.FM=EF,

'：FM=BF+BM=BF+DE,

：.EF=DE+BF,故②正確,

/\AEF^/\AMF,

：.S4AEF=S4AMF=-FM.AB,

2

???FM的長度是變化的，

...△AEF的面積不是定值，故③錯誤,

故答案為：①②.

本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，四點共圓，等腰直角三角形的判定和

性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考填

空題中的壓軸題.

C1

12.X/=l,X2=--

3

【解析】

【分析】

移項整理得(l-3x)4=16,然后兩邊同時開四次方得六1=±2,由此即可解決問題.

【詳解】

解：：2(1-3切-32=0,

...(1-3x)4=16,

1-3x=±2,

..1

..X/=l^：2=--

故答案為X/=l,X2=-；.

【點睛】

答案第12頁，共27頁

本題考查高次方程的解法，解題的關鍵是降次，這里通過開四次方把四次降為了一次.

13.2022

【解析】

【分析】

根據絕對值和平方的非負性，即可求出〃和。的值，再代入計算即可.

【詳解】

根據題意可知1=0，b+2021=(),

解得：。=1,b=—2021.

???”6=1-(-2021)=2022.

故答案為：2022.

【點睛】

本題考查非負數的性質，代數式求值.掌握絕對值和平方的非負性是解題關鍵.

14-8(亞元I

【解析】

【分析】

根據題意，首先根據直線表達式以及坐標軸上點的特征求出40,5),B(10,0)；設點C的

坐標為(a,b),過點C作軸于點”，過點。作。軸于點N,則

AAMC^MND,由相似三角形的性質，結合C￡>=3AC求出出點。的坐標為(4a,4b-

15),根據反比例函數上點的坐標之積相等，即可求出k值；連接BF,結合已知可得0、

B、F、E四點共圓，所以點G是圓心，。尸是直徑，尸=90。；接下來求出點G的坐

標，進而即可得到點F的坐標，設出點E的坐標，再利用勾股定理進行求解即可。

【詳解】

解：：直線y=-gx+5與坐標軸交于A,B兩點,

40,5),8(10,0),

設點C的坐標為(“，b),過點C作CM_Ly軸于點過點。作。NJ.y軸于點N,則

0=-L+5,CM-a,AM=5-b,^AMC^^AND

2

.AMAC

"AN~AD

又?.??)=3AC,AD=AC+CD

答案第13頁，共27頁

.1

:.AN=4(5-b),

:.ON=OA-AN=5-4(5-b)=4b-l5,

點。的坐標為(4m4615),

???點。、。在反比例y=：(x>o)的圖像上，

="=4。(4/7-15),

解得,b=4,

將8=4代入=—1。+5得，a=2

2

解得4=4x2=8.

連接BF.

???NOFE=NABO,

.??。、B、F、￡四點共圓.

VZOEF=90°,OG=GF,

，點G是圓心,。尸是直徑,

；?ZOBF=90°.

75(10,0),

QQ

.??點G的橫坐標為5,當產5時，了=一二匚，

x5

Q

???點G的坐標為(5,?,

VOG=GF,

.??點F的坐標為

設點E的坐標為卜,-gx+5)

由勾股定理可得。呼+后產=。尸

22222

所以f+(-1X+5)+(10-X)+(-1x+5-y)=10+(y)

1Q

解得，x=^|或1°(舍去)，

，點E的坐標為.

答案第14頁，共27頁

故答案為：8,.

【點睛】

本題考查了反比例函數與一次函數的綜合應用，四點共圓，直徑所對的圓周角是直角，勾

股定理，三角形相似的判定和性質，解決本題的關鍵是作輔助線，證明。、8、F、E四點

共圓.

15.1或21##21或1

【解析】

【分析】

設Y+5X+30=〃2,利用求根公式得出41-95也是完全平方數，再由95=1x95或

95=5x19,（2n+k）＞（2n-k）,列方程求出〃的值，再代入求根公式計算x的值即可；

【詳解】

解：設X。+5x+30=〃2,,方程f+5x+3O-〃2=0有正整數解，

???方程的根為：尸-5+,病-95（負根舍去），

2

???方程的根為整數，???41-95也是完全平方數，

設4〃「95=/,則4/—92=95,（22）（2〃-左）=95,

；95=1x95或95=5x19,（2〃+外＞（2”-女）,

2〃+左=95_、J2〃+Z=19

2n-k=\或12〃-k=5解得：”=24或〃=6,

當〃=24時，代入x=_5+14吐氾得:戶21,

2

當〃=6時，代入x=_5+〃吐史得:戶1,

2

故答案為：21或1；

【點睛】

本題考查了一元二次方程的求根公式，整數的運算規律，利用根是整數判斷4,/-95也是完

全平方數是解題關鍵.

16.2

【解析】

【分析】

答案第15頁，共27頁

根據SAS證△BAO04CBE,推出N4OF+NAEF=180。，可得A、E、F、。四點共圓，取

AE的中點G,連接G。，證AADG是等邊三角形，推出G是圓心，求出半徑即可.

【詳解】

解：在正△ABC中，

AE=-AB,

3

，BE=-AB,

3

XVAD=-AC,

3

；.BE=AD,

又,.?AB=BC,NBAD=NCBE,

二△54。絲△CB￡(SAS),

，ZADB=ZBEC,

VZBEC+ZAEC=18O°,

：.ZADB+ZAEC^SO0,

；.A、E、F、。四點共圓，

取AE的中點G,連接G￡),

AE=-AB,

3

AG=GE=-x6=2,

3

X*->AD=—AC=—x6=2,ZDi4￡=60°,

33

...△AOG是等邊三角形，

：.GD=AG=AD=2,

即GA=GE=GD=2,

...點G是A、E、F、。四點所在圓的圓心，且半徑是2,

答案第16頁，共27頁

故答案為：2

【點睛】

本題主要考查四點共圓和等邊三角形的知識，熟練掌握四點共圓的判定和等邊三角形的性

質是解題的關鍵.

17.(1)見解析；

(2)這個三位自然數為201,207,255

【解析】

【分析】

(1)先設出兩位自然數的十位數字，表示出這個兩位自然數，和輪換兩位自然數即可；

(2)先表示出三位自然數和輪換三位自然數，再根據能被5整除，得出b的可能值，進而

用4整除，得出c的可能值，最后用能被3整除即可.

(1)

設兩位自然數的十位數字為x,則個位數字為2x,

這個兩位自然數是10x+2x=12x,

.??這個兩位自然數是12x能被6整除，

?.?依次輪換個位數字得到的兩位自然數為10x2x+42￡

.?.輪換個位數字得到的兩位自然數為2￡能被7整除，

???一個兩位自然數的個位數字是十位數字的2倍，這個兩位自然數一定是“輪換數”.

⑵

???三位自然數正是3的一個“輪換數”，且a=2,

二100。+10匕+。能被3整除，

即：10b+c+200能被3整除，

第一次輪換得到的三位自然數是lOO/7+lOc+a能被4整除，

即1006+10C+2能被4整除,

第二次輪換得到的三位自然數是100c+10a+6能被5整除，

即100c+〃+20能被5整除，

100c+fe+20能被5整除，

.?力+20的個位數字不是0,便是5,

,b=0或b=5,

當b=0時，

答案第17頁，共27頁

,.TOOHlOc+2能被4整除,

二10c+2能被4整除，

，c只能是1,3,5,7,9；

；.這個三位自然數可能是為201,203,205,207,209,

而203,205,209不能被3整除，

,這個三位自然數為201,207,

當6=5時，；100/7+1Oc+2能被4整除，

/.10c+502能被4整除,

；.c只能是1,3,5,7,9；

二這個三位自然數可能是為251,253,255,257,259,

而251,253,257,259不能被3整除，

???這個三位自然數為255,

即這個三位自然數為201,207,255

【點睛】

此題是數的整除性，主要考查了3的倍數，4的倍數，5的倍數的特點，解本題的關鍵是用

5的倍數求出〃的值.

18.(1)=；(2)400(1+72)；(3)存在，48006平方米

【解析】

【分析】

(1)如圖，過。點作于E,根據角平分線的性質得到。C=OE,可得"與"的大

小關系；

(2)如圖2,作△BCD的外接圓。。，連接08、OC、OD,過點。作Q//LBC于點

H,過點。作DE，8c于點E,可得￡>E=A3=20(l+&),OH+OD>DE,從而

=ISC-￡>￡=10(1+A/2)BC,當BC取得最小值時，△BCD的面積最小；

(3)如圖3,連接30,過點。作。產于點〃，作于點N,仿照(1)中

的思路，可得DM=DN,再利用勾股定理可得到￡)N=JA勾-AM=60,

BN=AB+AN=60日從而求出小邊粉的=2%皿八,=34)0百，然后在AN上截取

NH=MF,連接。〃，證明△D/陽絲然后可推導出S△詆=S四邊儂，

答案第18頁，共27頁

當△DE"的面積最小時，ABEF的面積最小，再仿照（2）中的思路解答即可.

【詳解】

解：（1）如圖，過。點作于E,

:在AABC中，NC=90。，C￡＞的長為"?，點。到邊A8的距離為〃，

ADCVBC,CD=m,DE=n,

,:8。平分Z/WC,

DC=DE,

即：m=n,

故答案為：=.

（2）如圖2,作△3CO的外接圓O。，連接。B、OC、0D,過點。作8c于點

H,過點。作DEJ_BC于點E,

：.OB=OC=OD,NDEB=90。,ZOHB=ZOHC=90°f

?在梯形4?CO中，ZA=90°,AD//BC,AB=20（l+&）,

二ZABC=90°,

，四邊形是矩形，

￡>E=AB=20（l+@,OH+OD>DE,

：.S^BCD=^BCDE=]0（\+>/2）BC,

當8c取得最小值時，△38的面積最小，

N8￡>C=45。，

...ZfiOC=90°,

Z.NOBC=NOCB=45°,

...ABOC、ABOH、ACOH均為等腰直角三角形，

：.OH=BH=CH=-BC,

2

答案第19頁，共27頁

設OH=BH=CH=x,則OD=OB=OC=?x,

/.OH+OD=(\+42)x,即(1+血卜220(1+碼,

...Q20,即BC=2x240,

/.%c加小=100+血卜40=400(1+收).

圖2

(3)如圖3,連接80,過點。作DW_LBF于點M,作￡W_L8￡于點N,

'??四邊形ABC。是菱形，A8=40G，ZABC=60°,

：.CD=AD=AB=40>/3,平分ZA8C,/BAD=120°,

：.ZABD=ZCBD=-ZABC=30°,DM=DN,ZDAE=60°,

2

在RtAAND中，AV=-AD=20x/3,

2

2

DN=y/AD2-AN2=J(40@-(20廚=60,

BN=AB+AN=606,

在RhBDM和RaBDN中，

\BD=BD

[DM=DN'

Rt^BDM^RtABDN(HL),

S四邊麻MON=2stM)N=2X；BN.DN=60右x60=3600^,

在AN上截取M/=M尸，連接￡)〃.

在ADY”和『中，

答案第20頁，共27頁

DN=DM

-NDNH=ZDMF,

NH=MF

：.△DNHdDMF(SAS),

S&BEF~$四邊形BMZW+S&DEN+^ADMF

S四邊形BMDN+S&DEN+^AftVW

=S四邊形BMZW+S&DEH>

,S四邊形BMDN-3600-73,

...當4DEH的面積最小時，ABEF的面積最小,

'：DN工HE,且DV=60,

:.SDFH==EHDN=30EH,

4Ut.lt2

二當EH取得最小值時，4DEH的面積最小，即ABEF的面積最小,

作△￡)￡〃的外接圓。O,連接O。、OE、OH,過點。作盛于點P,如圖3,

則OD=OE=OH,OP+OD>DN,

即OP+OD260,

；ZEDH=1800-ZMDN=180°-(360°-90°-90°-60°)=60°,

：.NEOH=120。,

,:OPVEH,

：.NPOE=NPOH=-ZEOH=60°,

2

AOD=OE=OH=2OP,PE=PH=43OP,

即3OP260,

；.OP220米，

即EH=2PE=2&OP>40x/3,

△￡)￡”的面積最小值為406x30=12006(平方米)，

，A8E尸的面積最小值為3600G+12(X)G=48006(平方米).

綜上所述，AB所的面積存在最小值，最小值為48006平方米.

答案第21頁，共27頁

E

圖3

【點睛】

本題屬于三角形綜合題，通過構造三角形的外接圓轉化為圓與三角形的綜合題，考查了圓

的基本性質，圓周角定理，垂徑定理，全等三角形的判定及性質，勾股定理，解直角三角

形，等腰直角三角形的判定及性質，三角形的面積，角平分線的性質，等積變換等知識，

能將問題探究的結論運用到解決實際問題中，采用了轉化的思想方法.解題的關鍵是將三

角形面積的最值問題轉化為線段的最值問題以及問題探究結論的實際應用.

19.(l)(x+9)(x-l)

(2)x2-4x-5>0

(3)5

【解析】

【分析】

(1)先配方，然后利用平方差公式因式分解即可；

(2)先配方，然后利用平方差公式因式分解，根據條件得出x+l>0,/5>0即可；

(3)先列用配方法化為偶次方的和為0,根據偶次方非負性質，得出a-1=0,6-4=0解一

元一次方程即可.

(1)

解：X2+8X-9=X2+8X+16-9-16=(X+4)2-25=(X+4+5)(X+4-5)=(X+9)(X-1),

(2)

解：X2-4X-5=X2-4X+4-5-4=(X-2)2-9=(X-2+3)(X-2-3)=(X+1)(X-5),

?/x>5,

答案第22頁，共27頁

Ax+l>0,x-5>0,

.\(x+l)(x-5)>0,

/.X2-4X-5>0;

(3)

解?：???。2+從-2。-8〃+17=0,

a2-2a+l+Z?2-8/2+16=(a-l)2+(/?-4)2=0,

V(?-1)2>0,(/>-4)2>0,

<7-1=0,Z?-4=0,

\a=i,0=4,

:.a+b=5.

【點睛】

本題考查配方法化為完全平方數，平方差公式因式分解，比較大小，非負數性質，代數式

的值，掌握配方法化為完全平方數，平方差公式因式分解，比較大小，非負數性質，代數

式的值是解題關鍵.

20.(1)每件甲種商品的售價是140元，乙種商品的進價是128元

(2)該商場購進乙種商品40件

(3)這兩天憂憂在該商場購買甲乙兩種商品一共27或29件

【解析】

【分析】

(1)由甲的售價比進價多40%,乙的售價比進價多!，分別計算甲的售價，乙的進價即

可解題；

(2)設乙種商品x件，根據購進甲、乙兩種商品共100件，花去11120元，列方程、解方

程即可解題；

(3)分兩種情況討論.

(1)

解：甲售價：100x(1+40%)=140(元)

乙進價：160，l+；)=128(元)

答：每件甲種商品的售價是140元，乙種商品的進價是128元.

答案第23頁，共27頁

⑵

設乙種商品X件,

100x(100-x)+128x=11120

x=40

答：該商場購進乙種商品40件.

(3)

第一天：17604-160=11(件)

第二天：2016+90%+140=16(件)或2016—80%+140=18(件)

11+16=27(件)或11+18=29(件)

答：這兩天憂憂在該商場購買甲乙兩種商品一共27或29件.

【點睛】

本題考查一元一次方程的實際應用，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵.

21.(1)見解析；(2)見解析；(3)設計部門能實現自己想法，理由見解析

【解析】

【分析】

(1)分別作A。、BC邊的三等分點，再分別過三等分點作直線即可；作圓心角為60。的扇形

即可；

(2)首先求得矩形ABCZ)的面積，再根據三等分面積及三角形面積公式，即