絕密★啟用前

2023年高考數學第二次模擬考試卷A

（云南，安徽，黑龍江，山西，吉林五省通用）

高三數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求.

I.設集合A=ke>i},6={-1,0,1,2},貝B=（）

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{-1,0,1}D.（-1,0,1,2）

【答案】B

【分析】首先求集合A,再求Ac瓦

【詳解】e'>l=x>0,所以A={x|x>0},B={-1,0,1,2},所以A8={1,2}.故選：B

2.若i為虛數單位，已知復數z=l+i,則表示復數士+z在復平面上對應的點位于（）

z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根據共粗復數概念，結合除法運算得±+z=2-2i,再根據復數的幾何意義求解即可.

z

【詳解】解：由題知三=】-+z-1_+11-22，9

Z1+1—

7-

所以，:+Z在復平面上對應的點為（2,-2）,位于第四象限.

故選：D

3.在，ABC中，A3=c，AC=b-若點。滿足3O=3OC,貝UAD()

-3,7-3,1-3,1-1,3

A.——b+—cB.—b——cC.—/?+—c'D.-b-\--c

44444444

【答案】C

【分析】結合已知條件利用平面向量基本定理可求得結果

【詳解】因為BD=3OC，AB=c，AC=b-

所以B￡>=/c=；(AC_A8)=/_|c,

3331

所以AD=43+8。=。+2人一己。=一人+一。，

4444

故選：c

4.將函數y=cos(x-1卜勺圖象上所有點的橫坐標變為原來的。(。>0)倍，縱坐標不變，得到圖象恰

好與函數/(x)=sin(2x+e)(0<e<7i)的圖象重合，則()

兀

A.o)=2B.(p=一

6

C.直線x=是曲線y=〃x)的對稱軸D.點，,0)是曲線y=/(x)的對稱中心

【答案】D

【分析】根據三角函數圖像變化結合誘導公式得出y=sin(、+?),即可得出。與。,判斷選項AB；

根據三角函數解析式求出其對稱軸與對稱中心得出，即可判斷選項CD.

【詳解】將函數y=cos(x-=]的圖象上所有點的橫坐標變為原來的。倍，縱坐標不變，

則》2，即T，故A錯誤;

而。=(,故B錯誤；

〃x)=sin(2x+9],令2x+g=Qr+g(keZ),即x=?+看(憶eZ)為y=/(x)的對稱軸,

令”解得ez,即直線不是曲線y=〃x)的對稱軸,

2126oo

故C錯誤；

令2》+緊人萬優eZ),即仁-川(AeZ)為y=/(x)的對稱中心，

令第4=￡,解得iez,故點停o)是曲線y=〃x)的對稱中心，

263vJ)

故D正確；

故選：D.

5.如圖，《宋人撲棗圖軸》是作于宋朝的中國古畫，現收臧于中國臺北故宮博物館.有甲、乙、丙

三人想根據該圖編排一個舞蹈，首先由他們來選取該圖中小孩撲棗的爬、扶、撿、頂、搖中的五個

動作，每人至少模仿一個動作，且爬、扶、撿、頂、搖都要被依序模仿到，則選擇的方案共有（）

A.60種B.90種C.100種D.150種

【答案】D

【分析】根據題意，分2步進行：第一步：將5個動作分為3組，第二步：將分好的三組交給甲、

乙、丙三人進行模仿，由分步計數原理計算可得答案.

【詳解】根據題意，分2步進行：

第一步：將5個動作分為3組，

若其中一組有3個動作，其他兩組各1個動作，有《=10種分法；

若其中一組有1個動作，其他兩組各有2個動作，有竽"=15種分法，

所以，將5個動作分成3組共有10+15=25種分法；

第二步：將分好的三組交給甲、乙、丙三人進行模仿，有父=6種情況，

則有25x6=15（）種選擇的方案.

故選：D.

22

6.設橢圓。：?+2=1（“>6>0）的左、右焦點為"、鳥，過E作x軸的垂線與C交于A、B兩點，

ab~

與）,軸交于點。，若4DJ.E8,則橢圓C的離心率等于（）

A.3B.@C.&D.yfj

33

【答案】A

【分析】根據圖中的幾何特點和橢圓定義即可求解.

又。（坐標原點）是6居的中點，所以。。是三角形△耳五避的中位線,

所以。是￡8的中點，所以FtDA=BDA,所以=

又=所以KAB為等邊三角形，所以乙4耳鳥=30,

所以上當時，y=±2?所以"出，

忻國30---

所以工=立，所以三1=3，所以（島+c）（氐-3c）=0,

2ac32ac3

所以四-3c=0,所以5=4,故選：A.

7.已知〃=(色丫，Z?=1log6+|log5,18

5641og6+91og5'則’)

l27j2856

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【分析】解得a=]3,又利用對數運算可判斷logs6<3結合基本不等式可判斷ac與;3的大小，即

可得a,〃,c的大小關系.

【詳解】解"C惘11，

2

由于5=log55=log5VI25>log5V36=log56,

1919H9-319

/?=-log56+-log65=-log56+-^>2-log56.——取等條件應為5logs6=即

28281og56\281og5622olog5o

333

log56=-,而log56<],故

1818,18183

c=---------------------------\—,=—=-9

41幅6+9臉54bg56+/f2j4bgQ島122,取等條件為41。/=存,即

333

logs6=],而logs6<],故c<],所以">a>c.

故選：A.

8.如圖，棱長為1的正方體ABC。-A4GA中，P為線段AB上的動點（不含端點），則下列結論

錯誤的是（）

A.直線RP與AC所成角的范圍是

B.平面AAP_L平面A/P

C.三棱錐A-CDP的體積為定值

D.平面4PR截正方體所得的截面可能是直角三角形

【答案】D

【分析】A在該空間幾何體中建立空間直角坐標系，用向量法求出異面直線所成的角即可；B用面面

垂直的判定證明平面RAP，平面AAP;C用換底法％.曲=Leg得出體積為定值；D選項則直

接觀測即可判斷.

對于A,以D為原點，DA為x軸，DC為）'軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，Dl（0,0,l）,

A(1,O,O),C(O,1,O),

設P(1M1-a),(0<。<1),AP=(1,a,-a),AC=(-1,1,0),

\D,P-AC\_\-a

|cos<DP,AC>|=

]忸iP||AC「Jl+2/x&

t11

令r=l-a€（0,l）,則7（l,+8）,上式化為&2戶一4+3）辰告+4舊不'

根據二次函數的性質知：|cos<ARAC>|w（0,正），

..直線DIP與AC所成的角為艇）,故A正確；

對于B,正方體中A4,48=A且A%A8u面々AP,

平面4AP,AQ|U平面4AP,

二平面AAPj.平面4AP,故B正確；

對于c,SCDDi=lxlxl=l,p到平面CD。的距離BC=L

...三棱錐。-CDP的體積:%-CDP=/一CW〕=QXQX1=3為定值，故C正確;

對于D,P為線段A8上的動點（不含端點），連接AP并延長，

若”的延長線交于用B,如下圖截面為四邊形，

若”的延長線交于4片，設交點為S,如下圖截面為ASD、,

設45=嘰0＜機＜1,則AS=4S=，毋+1,D、A=五,故D|S2+AS2H

故45。不為直角三角形，故D錯誤.

故選：D

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.如圖所示是根據A,B兩個城市2010~2016年GDP數據（單位：百億元）作出的統計圖（稱為

雷達圖），根據圖中信息，下列關于A,B兩市GDP數據統計結論正確的是（）

2016年

2012年2013年

----A市一?—B市

A.在這七年中，A市GDP每年均高于B市

B.與2010年相比，2016年A市GDP增量高于B市

C.A市這七年GDP的平均值高于B市

D.在這七年中，A,B兩市GDP在2013年差距最小

【答案】ABC

【分析】觀察統計圖逐一判斷選項即可得出答案.

【詳解】解：由圖可知：在這七年中，A市GDP每年均高于B市，所以A市這七年GDP的平均

值高于B市，則AC正確；2010年時，A市GDP增量小于5,2016年時，A市GDP增量大于5,

故B正確；2013年，兩市GDP差距為5,而2010年、2011年兩市差距明顯小于5,故D不正確.

故選：ABC

10.已知函數/(*)=—Inx,下列說法正確的有()

x

A.曲線y=/(x)在X=1處的切線方程為"X-1

B./(x)的單調遞減區間為(e,+8)

C./(x)的極大值為！

e

D.方程/(x)=-l有兩個不同的解

【答案】ABC

【分析】對于A,利用導數的幾何意義求解即可，對于B,對函數求導后，由導數小于零可求得結

果，對于C,求導后求出函數的單調區間，從而可求出函數的極大值，對于D,畫出/(x)的圖象,

利用圖象求解.

【詳解】因為/(*)=叱，%>0,

X

所以廣⑺二七二,

X-x'

對于A,7(1)=0,/(1)=1,則/(X)在x=l處的切線方程為y=x-l,所以A正確;

對于B,令((x)<0,解得X>e,所以f(x)的單調遞減區間為(e,+8),所以B正確；

對于C,令于。)>0,得0<x<e,令:(x)<0,得X>e,所以f(x)在(0,e)上單調遞增，在于,+8)

上單調遞減，所以Ax)的極大值為f(e)=,，所以C正確；

e

對于D,由D的解析知Ax)在(0,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減，且/(e)=L

e

當x>l時，/(x)>0,當Ovxvl時,/(x)<0,

所以畫出f(x)的圖象，如圖，

方程/(x)=-1解的個數，即f(x)的圖象與y=-l的交點個數,

由圖知f（x）=-l只有一個解，所以D錯誤.

故選：ABC.

11.已知拋物線。:丁=20田5>0）過點8（1,2）,過點A（-1,O）的直線交拋物線于M,N兩點，點N

在點〃右側，若尸為焦點，直線NF,分別交拋物線于尸，。兩點，則（）

A.|炳.|阿>4B.\OM\-\ON\=\OBf

TT

C.A,P,。三點共線D./AMPS一

4

【答案】AC

【分析】設直線方程聯立拋物線方程消參，利用定義表示出然后由韋達定理和解不等

式可判斷A；用坐標表示出利用韋達定理表示后，由m的范圍可判斷B；設直線NF,

借助韋達定理表示出P點坐標，同理可得Q點坐標，然后由斜率是否相等可判斷C；根據M和P

的橫坐標關系，結合AN斜率可判斷D.

【詳解】因為拋物線C:>2=2px（p>0）過點8（1,2）,

所以4=2p,所以拋物線方程為y2=4x

設”（牛乂）,N（x2,y2）

設過點4（-1,0）的直線方程為x=my-l,代入y2=4x整理得：y2-4my+4=o

貝b'l+必=4九%%=4,.=16，〃2—16>0,即m<-1或卬>1

\OM\.|ON|=++￡="X+xW+xM+y汶

又才=4占,腎=4々,%治=4

由定義可知，|“丹=%+1,|人叫=6+1,

^T^\MF\-\NF\=x,x2+為+X2+1=+1+-”+1>2+=4,故卜正確；

1644

所以=J；%+）：2+16=J17+y；+y；=，9+16病>5

又|0靖=5,故B錯誤；

記P號,為），。序,yJ

設直線NF方程為x=〃y+l,代入V=4x整理得：丁-4町>-4=0

,4,4

則丫跖:-4，丫3=---,同理可得丫4=--7

%，2

k=.=4%―-4y=%一4%=-16%--4-

因為"一方一即一三，破一77一廣一^^［一百

---1-1---r1

44

=

^AP^AQ9所以A,P9。三點共線，C正確;

4JI

因為力=-=-%,MPYAF,fffZAMP=--ZMAO

芳2

由上可知，直線AM的斜率所以0<NMA。〈工，所以NAMP>f,D錯誤.

m44

故選：AC

12.已知函數y=〃x—1)的圖象關于直線x=-l對稱，且對VxeR有/(X)+〃T)=4.當xe(0,2］時,

/(x)=x+2.則下列說法正確的是()

A.“X)的周期T=8B.“X)的最大值為4

C./(2021)=2D.〃x+2)為偶函數

【答案】ABD

【分析】由函數y=/(x-l)的圖象關于直線對稱，得/(-2+x)="-2-x),又

/(X)+/(-%)=4,所以“x)=/(T—x)=4—〃-x),〃T—x)+/(x+4)=4,從而可得

/(x+8)=/(%),進而根據周期性、對稱性、xe(0,2］時〃x)的解析式即可求解.

【詳解】解：函數y=/(x-l)的圖象關于直線4-1對稱，

??函數y=/(x)的圖象關于直線x=-2對稱，/(-2+x)=/(-2-x)

對VxeR有"x)+"r)=4,.■.函數y=〃x)的圖象關于(0,2)中心對稱，

〃-2+x+2)=/[—2—(x+2)],BP/(x)=/H-x)=4-/(-x),

又“T-x)+〃x+4)=4,即x)=4-/(x+4),

/(x+4)=/(-x),

/[(X+4)+4]=/[-(X+4)]=/(X),即/(X+8)=〃X),/(X+2)=/(-X+2),

???/(x)的周期T=8,選項A正確；/(x+2)為偶函數，選項。正確；

當xe(O,2]時，〃x)=x+2,/(x)+/(-x)=4,

.,.當xw[—2,0)時，一xw(0,2],—x+2=4,即f(x)=x+2,

.?.當xe[-2,2]時，f(x)=x+2,

又函數尸/("的圖象關于直線x=-2對稱，，在一個周期[-6,2]上，〃x)x=〃2)=4,

\/(x)在R上的最大值為4,選項8正確；

/(2021)=/(252x8+5)=/(5)=/(1+4)=/(-1)=-1+2=1,選項C錯誤.

故選：ABD.

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.(》-1乂1-2/)’的展開式中d的系數為(用數字作答).

【答案】40

【分析】寫出展開式通項，令x的指數為5,求出參數的值，代入通項即可得解.

【詳解】(1-2/丫的展開式通項為九1=C；?(-2x2丫=c；.(-2)”?一(o與％45,keN),

因為(x-l乂1一2巧'=%(1-2巧5_0_2巧5,

25

所以,x(l-2x)的展開式通項為XTM=C；?(-2)?.一”(0Q5,丘N),

由26+1=5,可得4=2,

而（1-2巧’中不含『項，故（1）（1-2巧’的展開式中f的系數為C“_2）2=40.

故答案為：40.

14.已知數列｛4｝滿足4=2,a,”=2S",則S$=.

【答案】162

fSTT—1zi

【分析】由%=JI、.，〃GN,,可得當“22,〃eN*時，3=3,

5-5,1，"22a1t

及出.據此可寫出數列前5項，繼而可得答案.

S,,n=\*

【詳解】因““=1,〃eN*

S“一S,i，n>2

則當"22,“wN?時，an=2S?_,,與。,川=2S“相減得：a-a=2a=>—=3.又由弓=1，

an

則a2=25,=4.故q=2,a,=4,a3=12,a4=36,a5=108,則S5=162.

故答案為：162.

15.已知圓O:x2+y2=2,A,B為圓。上兩個動點，且|AB|=2,M為弦48的中點，C（6,a-1）,

O（A?+3）,當A,B在圓。上運動時，始終有為銳角，則實數。的取值范圍是.

【答案】（y,-3）_（l,+a＞）

【分析】由題知M的軌跡是以。為圓心，1為半徑的圓，且C,。是以N為圓心的直徑的兩個端點,

若始終有NCMD為銳角，只需要兩圓相離即可，故得到圓心距和半徑和的不等關系，求解即可.

如圖，連接。加，貝!110Ml=萬萬=1,

所以點M在以。為圓心，1為半徑的圓上，

設CQ的中點為N,則N(存,4+1),且181=4,

因為當A,B在圓。上運動時，始終有NCMD為銳角,

所以以。為圓心，1為半徑的圓與以N為圓心，2為半徑的圓相離，

故木+(〃+1)2>1+2,解得a<-3或>即a€(Y?,-3)I；(l,+oo)

故答案為：l-00，-?)(1,+8)

16.在三棱錐尸一中，PAL底面ABC,PA=2,AB=AC=BC=2m,M為AC的中點，若

三棱錐尸-4甄的頂點均在球。的球面上，。是球。上一點，且三棱錐。-尸AC體積的最大值是

逆，則球。的體積為.

3

■尺REQ32332兀

【答案】—7T##—

33

【分析】根據給定條件，探討三棱錐P-/WM外接球球心。的位置，再借助錐體體積計算作答.

【詳解】正45C中，M為AC的中點，則8MLAC,而平面A8C,平面43C,即

BMA.PA,

而PAAC=A,PAACu平面以C,則工平面PAC,尸Mu平面PAC,有BM工PM,又

PAYAB,

因此，RIAP8W與RtPAB的斜邊戶8中點到點A,B,M,P的距離相等，即三棱錐尸-外接

球球心為心中點，

從而，點O是三棱錐P-4啊外接球球心，設球。的半徑為R,有R2=l+M,

的外接圓圓心為/W的中點，設為尸，連接。尸，則OFJ■平面Q4F,如圖,

因此D到平面PAC距離的最大值為.」(4+/叫+R=J1+/7?-I-｝機2

+J1+加2

+疝

22

又SAPAC，解得＞=3,/?=l+m=4,R=2,

所以球。的體積為A"R'=爭”.

故答案.3為2：爭

四'解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分。解答應寫出文字說

明'證明過程或演算步驟.

17.從①S“=2an-l,②S.=2"-1,③S〃=2S,+1,這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中,

并完成解答.

問題：已知數列｛q｝的前"項和為S"，4=1,.

(1)證明：數列｛%｝是等比數列，并求｛為｝的通項公式；

⑵記數列a=log?%,,,數列廣3的前〃項和為，.證明：(〈工

【答案】⑴證明見解析，。"=2"一’⑵證明見解析

【分析】(D利用S“和4的關系求出通項公式，并用等比數列的定義證明數列｛q｝是等比數列即可.

(2)利用裂項法求出數列的前”項和為7.，即可得證.

【詳解】⑴選①S,=2a“-1

S=2a-\

易知J?,兩式相減得?=2j-2a“，

lA，+i=2a“+i-l

即4“=2%,又。尸0,貝！j｝=2,

故數列｛4｝是首項4=1,公比4=2的等比數列，則〃“=2〃T

選②S.=2"-l

當〃=1時，4=1,

（S=2〃-1

當〃22時，J皿，兩式相減得為=2”-2E=2〃\

〔S“T=2-1

令〃=1得q=l,綜上所知勺=2〃,

且4+|-2_2

且4,2"T2,

故數列｛叫是首項6=1,公比4=2的等比數列，

選③S,川=2S“+1

當〃22時，［"［；："；；，兩式相減得S向-S“=2（S“-S,i）,即%u=2a〃

即智=2（〃22）,易求,=2,又q=l,

故如=2（〃€也），故數列｛%｝是首項4=1,公比4=2的等比數列，

則4=2”|

（2）由（D知〃“=2"\貝!）以=1。82%“=1。8222""=2〃-1,

貝U々?鼠一（2n-l）-（2n+l）-212〃-1-2〃+1

所以北=；［1111]所以y.

----1----—+…+

3352〃一1

18.在AABC中，角A,B,。的對邊分別為。，b,c,2acosB-b=c.

⑴求證：cosB二=；

2b

2

（2）若。=1,—,求AABC的面積.

b2

【答案】⑴證明見解析⑵工

20

【分析】(D利用正弦定理、誘導公式及三角恒等變換等化簡已知等式得到Sin(A-8)=sin8,再

根據三角形內角的范圍得到sinA=2sin3cos3,再次利用正弦定理即可得證；

(2)利用已知及(1)中的結論得到cosB的值，利用同角的三角函數關系得到sinB,結合題目條

件2acosB-6=c求出”的值，再由三角形的面積公式即可求解；

【詳解】(1)由2"cos3-"=c及正弦定理可得2sinAcos8-sirLB=sinC.

因為sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinAcosB—cosAsin5=sinB>fipsin(A—B)=sinB.

因為4,8為三角形的內角，所以A—3+8=兀或A—8=B,

得A=n(舍去)或A=2B.故sinA=sin28=2sinBcosB.

由正弦定理可得a=2bcos3,故cosB=W".

2b

(2)由⑴得：cose=^-,又

2bh2

所以a=]%，cosB=,則sinB=>/l—cos2B—.

因為2?cos8_b=c,c=l,所以2x3〃x』_%=1,得力=±,貝！ja=9,

2455

所以AA8C的面積為^acsinB=近.

220

19.9年來，某地區第X年的第三產業生產總值y(單位：百萬元)統計圖如下圖所示.根據該圖提

(1)在所統計的9個生產總值中任選2個，記其中不低于平均值的個數為X,求X的分布列和數學期

望E(X)；

(2)由統計圖可看出，從第6年開始，該地區第三產業生產總值呈直線上升趨勢，試從第6年開始用

線性回歸模型預測該地區第11年的第三產業生產總值.

(附：對于一組數據a，幻，化,乃)，…，(演,為),其回歸直線處凝+力的斜率和截距的最小二

￡(七-》)(％7)Yx^-nxy

乘法估計分別為：?=J————=丹------,a^-bx.

藥西7)~ixt~nx"

/=1/=1

【答案】⑴分布列見解析，數學期望￡(x)=j

(2)該地區第H年的第三產業生產總值約為134.6

【分析】(D求出平均值，得出不低于平均值的有3個，因此X服從超幾何分布，由此可計算出各

概率得分布列，由期望公式可計算出期望；

(2)由后面的四個數據求出線性回歸直線方程，將x=11代入回歸方程即可得出預測值.

【詳解】(D依題知，9個生產總值的平均數為：

14+16+20+26+33+42+60+78+98

------------------------9------------------------=43,

由此可知，不低于平均值的有3個，

所以X服從超幾何分布，

P(X=k)=^^,(A;=0,1,2),

C9

C°C2-<,1x155

所以p(x=o)=%^=絲擔=3,

'C；3612

plp2-l

P(X=1)=號3x61

"36"-2

C；Cj23x1_1

尸(X=2)=

c,-3T-12

分布列為:

X012

51

P

V22T2

_3

所以E(X)=0x----1-1x—F3x—

12212~4

(2)由后面四個數據得:

-6+74-8+9__-42+60+78+98

x=------------=7.5,y==69.3,

44

工內=6x42+7x60+8x78+9x98=2178,

?=i

^x,2=62+72+82+92=230,

?=l

2178-4x7.5x69.5

所以。==18.6,4=69.5-18.6x7.5=-70,

230-4x7.5x7.5

所以線性回歸方程為y=18.6x-70,

當x=ll時，y=18.6xll-70=134.6,所以該地區第11年的第三產業生產總值約為134.6

20.如圖，在多面體ABC0E中，已知.ABC,ACD,&BCE均為等邊三角形,平面ACZ)_L平面

ABC,平面BCEJ_平面ABC,〃為AB的中點.

(1)判斷。E與平面ABC的位置關系，并加以證明；

(2)求直線。，與平面ACE所成角的正弦值.

【答案】(DDE〃平面ABC,證明見解析；(2)半

【分析】(1)分別取AC,8c的中點O",連接DO,EP,OP,EP//DOS.EP=DO,再利用線面平

行的判定定理，即可得到答案；

(2)連接8。，則易知8。1平面ACQ,以。為坐標原點，分別以020408的方向為x，y，z軸的

uuir「l1下、

正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,求出向量￡>”=-6,點券及平面ACE的法向

量加=(-1,0,2),代入夾角公式，即可得到答案；

【詳解】(1)DE〃平面A8C,理由如下：

分別取AC,3c的中點O,P,連接。O,EROP,

因為45=8,所以ZX?_LAC,

又平面AC￡)J_平面ABC,平面AC￡>平面ABC=AC,

￡>Ou平面ACO,所以OO_L平面ABC,

同理EP工平面ABC,所以EP〃DO,

又因為.ACD,BCE是全等的正三角形，所以￡P=DO,

所以四邊形。OPE是平行四邊形，

所以DE〃OP,

因為￡D(z平面ABC,OPu平面ABC,

所以田〃平面ABC；

(2)連接80,則易知8。1平面AC。，以。為坐標原點，分別以。2。4,03的方向為％y，z軸的

正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系。-歲z,令AC=2.

則0(0,0,0),4(0,1,0),C(0,T,0),0(6,0,0),”0；與

所以AC=(0,-2,O),AE=

設平面ACE的法向量為m=(x,y,z),

-2y=0

m-AC=0

所以,所以百x-gy+~~2=o

m-AE=0

則y=o,取z=2,.*.x=-l,則機=(一1,0,2),

DH.m2-J3V15

所以cos(￡>/7,s)=

|D//|.|,7J|2小5

設直線DH與平面ACE所成的角為。，則sin0=kos胡=誓.

21.已知雙曲線E:二-與=1的焦距為4,以原點為圓心，實半軸長為半徑的圓和直線x-y+萌=0

a-b2

相切.

（1）求雙曲線E的方程；

（2）已知點尸為雙曲線E的左焦點，試問在x軸上是否存在一定點過點M任意作一