2024屆常州市重點中學數學高二下期末調研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．空間四邊形中，，，，點在線段上，且，點是的中點，則（）A． B． C． D．2．下列函數既是偶函數，又在上為減函數的是（）A． B． C． D．3．將名教師，名學生分成個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由名教師和名學生組成，不同的安排方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種4．命題“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，5．設是兩個平面向量，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知的展開式中沒有項，，則的值可以是（）A．5 B．6 C．7 D．87．已知，是雙曲線的左、右焦點，點關于漸近線的對稱點恰好落在以為圓心，為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．38．若函數的定義域為R，則實數a的取值范圍為（）A． B．（0，1）C． D．（﹣1，0）9．二項式的展開式中的常數項是A．第10項 B．第9項 C．第8項 D．第7項10．已知經過，兩點的直線AB與直線l垂直，則直線l的傾斜角是（）A．30° B．60° C．120° D．150°11．2021年起，新高考科目設置采用“”模式，普通高中學生從高一升高二時將面臨著選擇物理還是歷史的問題，某校抽取了部分男、女學生調查選科意向，制作出如右圖等高條形圖，現給出下列結論：①樣本中的女生更傾向于選歷史；②樣本中的男生更傾向于選物理；③樣本中的男生和女生數量一樣多；④樣本中意向物理的學生數量多于意向歷史的學生數量.根據兩幅條形圖的信息，可以判斷上述結論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為A．5 B．2 C．3 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位．已知直線l的參數方程是（t為參數），圓C的極坐標方程是，則直線l被圓C截得的弦長為____________．14．=.15．若，則__________．16．已知，直線：和直線：分別與圓：相交于、和、，則四邊形的面積為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知曲線的極坐標方程是，以極點為原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線的參數方程為(為參數）.（1）寫出直線的一般方程與曲線的直角坐標方程，并判斷它們的位置關系；（2）將曲線向左平移個單位長度，向上平移個單位長度，得到曲線，設曲線經過伸縮變換得到曲線，設曲線上任一點為，求的取值范圍.18．（12分）某園林基地培育了一種新觀賞植物，經過了一年的生長發育，技術人員從中抽取了部分植株的高度(單位:厘米)作為樣本(樣本容量為)進行統計，按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分組做出頻率分布直方圖，并作出樣本高度的莖葉圖(圖中僅列出了高度在[50,60),[90,100]的數據).1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的2）在選取的樣本中,從高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中隨機抽取3株,設隨機變量表示所抽取的3株高度在[80,90)內的株數,求隨機變量的分布列及數學期望.19．（12分）如圖，已知、兩個城鎮相距20公里，設是中點，在的中垂線上有一高鐵站，的距離為10公里.為方便居民出行，在線段上任取一點（點與、不重合）建設交通樞紐，從高鐵站鋪設快速路到處，再鋪設快速路分別到、兩處.因地質條件等各種因素，其中快速路造價為1.5百萬元/公里，快速路造價為1百萬元/公里，快速路造價為2百萬元/公里，設，總造價為(單位：百萬元).（1）求關于的函數關系式，并指出函數的定義域；（2）求總造價的最小值，并求出此時的值.20．（12分）已知函數f(x)=xlnx，（I）判斷曲線y=f(x)在點1,f(1)處的切線與曲線y=g(x)的公共點個數；（II）若函數y=f(x)-g(x)有且僅有一個零點，求a的值；（III）若函數y=f(x)+g(x)有兩個極值點x1,x2，且21．（12分）已知函數．（Ⅰ）當時，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集不是空集，求實數的取值范圍．22．（10分）某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數．（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°Ⅰ試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數Ⅱ根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣位三角恒等式，并證明你的結論

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：由空間向量加法法則得到，由此能求出結果．詳解：由題空間四邊形中，，，，點在線段上，且，點是的中點，則故選C.點睛：本題考查向量的求法，考查空間向量加法法則等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想，是基礎題．2、B【解題分析】

通過對每一個選項進行判斷得出答案.【題目詳解】對于選項：函數在既不是偶函數也不是減函數，故排除；對于選項：函數既是偶函數，又在是減函數；對于選項：函數在是奇函數且增函數，故排除；對于選項：函數在是偶函數且增函數，故排除；故選：B【題目點撥】本題考查了函數的增減性以及奇偶性的判斷，屬于較易題.3、A【解題分析】試題分析：第一步，為甲地選一名老師，有種選法；第二步，為甲地選兩個學生，有種選法；第三步，為乙地選名教師和名學生，有種選法，故不同的安排方案共有種，故選A．考點：排列組合的應用．4、A【解題分析】

根據含有一個量詞的命題的否定，特稱命題的否定是全稱命題，寫出原命題的否定，得到答案.【題目詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題，所以命題“，”的否定是“，”.故選：A.【題目點撥】本題考查含有一個量詞的命題的否定，屬于簡單題.5、A【解題分析】

由，則是成立的；反之，若，而不一定成立，即可得到答案.【題目詳解】由題意是兩個平面向量，若，則是成立的；反之，若，則向量可能是不同的，所以不一定成立，所以是是成立的充分而不必要條件，故選A.【題目點撥】本題主要考查了向量的概念以及向量模的概念的應用，以及充分條件與必要條件的判定，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.6、C【解題分析】

將條件轉化為的展開式中不含常數項，不含項，不含項，然后寫出的展開式的通項，即可分析出答案.【題目詳解】因為的展開式中沒有項，所以的展開式中不含常數項，不含項，不含項的展開式的通項為：所以當取時，方程無解檢驗可得故選：C【題目點撥】本題考查的是二項式定理的知識，在解決二項式展開式的指定項有關的問題的時候，一般先寫出展開式的通項.7、C【解題分析】

設點關于漸近線的對稱點為點，該漸近線與交點為，由平面幾何的性質可得為等邊三角形，設，則有；又，可得，代入離心率即可得出結果.【題目詳解】設點關于漸近線的對稱點為點，該漸近線與交點為，所以為線段的中垂線，故，所以為等邊三角形，設，則有；又，可得，所以離心率.故選:C【題目點撥】本題主要考查了雙曲線的幾何性質以及漸近線和離心率，考查了學生邏輯推理與運算求解能力.8、A【解題分析】

首先由題意可得，再由對數式的運算性質變形，然后求解對數不等式得答案.【題目詳解】由題意可得，第一個式子解得或；第二個式子化簡為，令，則，解得或，則或，則或.即或.綜上，實數的取值范圍為.故選：A.【題目點撥】本題主要考查以函數定義域為背景的恒成立問題，二次型函數的恒成立問題一般借助判別式進行處理，本題同時兼顧考查了對數的運算性質，綜合性較強，側重考查數學運算的核心素養.9、B【解題分析】展開式的通項公式Tr＋1＝，令＝0，得r＝8.展開式中常數項是第9項.選B.點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數.10、B【解題分析】

首先求直線的斜率，再根據兩直線垂直，求直線的斜率，以及傾斜角.【題目詳解】，，，直線l的傾斜角是.故選B.【題目點撥】本題考查了兩直線垂直的關系，以及傾斜角和斜率的基本問題，屬于簡單題型.11、B【解題分析】

分析條形圖，第一幅圖從性別方面看選物理歷史的人數的多少，第二幅圖從選物理歷史的人數上觀察男女人數的多少，【題目詳解】由圖2知樣本中的男生數量多于女生數量，由圖1有物理意愿的學生數量多于有歷史意愿的學生數量，樣本中的男生更傾向物理，女生也更傾向物理，所以②④正確，故選：B.【題目點撥】本題考查條形圖的認識，只要分清楚條形圖中不同的顏色代表的意義即可判別．12、D【解題分析】

利用點到直線的距離公式求出|PF2|cos∠POF2=ac，由誘導公式得出cos∠POF1=-ac，在【題目詳解】如下圖所示，雙曲線C的右焦點F2(c,0)，漸近線l1由點到直線的距離公式可得|PF由勾股定理得|OP|=|O在RtΔPOF2中，∠OPF在ΔPOF2中，|OP|=a，|PFcos∠PO由余弦定理得cos∠POF1即c=2a，因此，雙曲線C的離心率為e=c【題目點撥】本題考查雙曲線離心率的求解，屬于中等題。求離心率是圓錐曲線一類常考題，也是一個重點、難點問題，求解橢圓或雙曲線的離心率，一般有以下幾種方法：①直接求出a、c，可計算出離心率；②構造a、c的齊次方程，求出離心率；③利用離心率的定義以及橢圓、雙曲線的定義來求解。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】分析：先求出直線的普通方程，再求出圓的直角坐標方程，再利用公式求直線被圓C截得的弦長.詳解：由題意得直線l的方程為x-y-4=0,圓C的方程為(x-2)2+y2=4.則圓心到直線的距離d=，故弦長=.故答案為2.點睛：（1）本題主要考查參數方程、極坐標方程和直角坐標方程的互化，考查直線和圓的弦長的計算，意在考查學生對這些問題的掌握水平.(2)求直線被圓截得的弦長常用公式.14、【解題分析】令=y≥0，則（y≥0），∴表示的是上半圓在第一象限的部分的面積，其值等于，，所以=+=.考點：定積分.15、【解題分析】

取計算，取計算得到答案.【題目詳解】取，則取，則故答案為【題目點撥】本題考查了二項式的計算，取特殊值是解題的關鍵.16、8【解題分析】由題意，直線l1：x+2y=a+2和直線l2：2x﹣y=2a﹣1，交于圓心（a，1），且互相垂直，∴四邊形ABCD是正方形，∴四邊形ABCD的面積為4×8，故答案為：8.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；；直線和曲線相切.(2).【解題分析】

（I）直線的一般方程為，曲線的直角坐標方程為.因為，所以直線和曲線相切.（II）曲線為.曲線經過伸縮變換得到曲線的方程為，則點的參數方程為（為參數），所以，所以的取值范圍為.18、(1)見解析;(2)見解析.【解題分析】分析：（1）由莖葉圖及頻率分布直方圖能求出樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y；（2）由題意可知，高度在[80,90)內的株數為5，高度在[90,100]內的株數為2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)內的株數的可能取值為1,2,3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和期望.詳解：(1)由題意可知，樣本容量，.(2)由題意可知，高度在[80,90)內的株數為5，高度在[90,100]內的株數為2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)內的株數的可能取值為1,2,3，則,,.123故.點睛：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數學期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力，考查化歸與轉化思想.19、（1），()（2）最小值為，此時【解題分析】

（1）由題意，根據三角形的性質，即可得到；（2）構造函數，利用導數求得函數的單調性，即可求解函數的最值．【題目詳解】(1),，，，(2)設則令，又，所以.當,,,單調遞減；當,,,單調遞增；所以的最小值為.答：的最小值為(百萬元)，此時【題目點撥】本題主要考查了函數的實際應用問題，以及利用導數求解函數單調性與最值問題，其中解答中認真審題，合理建立函數的關系式，準確利用導數求解函數的單調性與最值是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．20、（I）詳見解析；（II）a=3；（III）a>【解題分析】

（I）利用導函數求出函數y=f(x)在點(1，f（1）)處的切線方程，和函數y=g(x)聯立后由判別式分析求解公共點個數；（II）寫出函數y=f(x)-g(x)表達式，由y=0得到a=x+2x+lnx，求函數h(x)=x+（III）寫出函數y=f(x)+g(x)的表達式，構造輔助函數t(x)=-x2+ax-2+xlnx，由原函數的極值點是其導函數的零點分析導函數對應方程根的情況，分離參數a后構造新的輔助函數，求函數的最小值，然后分析當a大于函數最小值的情況，進一步求出當x【題目詳解】解：（I）由f(x)=xlnx，得f'(x)=lnx+1，∴f'（1）=1，又f（1）=0，∴曲線y=f(x)在點(1，f（1）)處的切線方程為y=x-1，代入y=-x2+ax-2∴當a<-1或a>3時，△=(1-a)當a=-1或a=3時，△=(1-a)當-1<a<3時，△=(1-a)（II）y=f(x)-g(x)=x由y=0，得a=x+2令h(x)=x+2x+lnx∴h(x)在(0,1)上遞減，在(1,+∞)上遞增，因此，hmin(x)=h（1）（III）y=f(x)+g(x)=-x令t(x)=-x∴t'(x)=-2x+a+1+lnx，即a=2x-1-lnx有兩個不同的根x1，x令λ(x)=2x-1-lnx?λ且當a>ln2時，(x2-當x2a=2x∴x此時a=2ln2即x2a>2ln2【題目點撥】本題考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，考查了函數零點的求法，考查了利用導數求函數的最值，充分利用了數學轉化思想方法，考查了學生靈活處理問題和