福建省福州一中學(xué)2023年數(shù)學(xué)九年級(jí)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．若半徑為5cm的一段弧長(zhǎng)等于半徑為2cm的圓的周長(zhǎng)，則這段弧所對(duì)的圓心角為（）A．144° B．132° C．126° D．108°2．一塊圓形宣傳標(biāo)志牌如圖所示，點(diǎn)，，在上，垂直平分于點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得，，則圓形標(biāo)志牌的半徑為（）A． B． C． D．3．如圖，在半徑為的中，弦與交于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．4．拋物線的頂點(diǎn)在（）A．x軸上 B．y軸上 C．第三象限 D．第四象限5．如圖，D是等邊△ABC邊AD上的一點(diǎn)，且AD：DB=1：2，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)C與D重合，折痕為EF，點(diǎn)E、F分別在AC、BC上，則CE：CF=（）A． B． C． D．6．如圖，在4×4的正方形方格中，和的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的格點(diǎn)上，則的值為（）A． B． C． D．37．如圖4，兩個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)均為1，其中一個(gè)正六邊形的一邊恰在另一個(gè)正六邊形的對(duì)角線上，則這個(gè)圖形（陰影部分）外輪廓線的周長(zhǎng)是A．7 B．8 C．9 D．108．在ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以A為圓心，以3為半徑畫(huà)圓，則點(diǎn)C與⊙A的位置關(guān)系是（）A．在⊙A外 B．在⊙A上 C．在⊙A內(nèi) D．不能確定9．若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的一個(gè)根是x＝1，則m的值是（）A．1 B．2 C．3 D．410．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A為（0，3），點(diǎn)B為（2，1），點(diǎn)C為（2，-3）．則經(jīng)畫(huà)圖操作可知：△ABC的外心坐標(biāo)應(yīng)是（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．有4根細(xì)木棒，長(zhǎng)度分別為2cm、3cm、4cm、5cm，從中任選3根，恰好能搭成一個(gè)三角形的概率是__________．12．關(guān)于x的方程的根為_(kāi)_____．13．如圖，矩形中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，則長(zhǎng)的取值范圍是____．14．四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，給出下列四個(gè)條件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD從中任選兩個(gè)條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有________種15．如圖，直線a//b//c，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，若DE=2，則DF的長(zhǎng)度為_(kāi)________．16．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A=30°，BC=4，則⊙O的直徑為_(kāi)__．17．圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是120°，其底面圓的半徑為2cm，則其側(cè)面積為_(kāi)____．18．分式方程的解是__________．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)M（1，m），當(dāng)MB+MD的值最小時(shí)，求m的值；（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值．20．（6分）如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是射線CB和射線DC上的動(dòng)點(diǎn)，且始終∠MAN＝45°．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在線段BC、DC上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BM、MN、DN之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在CB、DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，給予證明，若不成立，寫(xiě)出正確的結(jié)論，并證明；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在CB、DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，若CN＝CD＝6，設(shè)BD與AM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，交AN于Q，直接寫(xiě)出AQ、AP的長(zhǎng)．21．（6分）某企業(yè)為了解飲料自動(dòng)售賣(mài)機(jī)的銷(xiāo)售情況，對(duì)甲、乙兩個(gè)城市的飲料自動(dòng)售賣(mài)機(jī)進(jìn)行抽樣調(diào)查，從兩個(gè)城市中所有的飲料自動(dòng)售賣(mài)機(jī)中分別抽取16臺(tái)，記錄下某一天各自的銷(xiāo)售情況（單位：元）如下：甲：25、45、2、22、10、28、61、18、2、45、78、45、58、32、16、78乙：48、52、21、25、33、12、42、1、41、42、33、44、33、18、68、72整理、描述數(shù)據(jù)：對(duì)銷(xiāo)售金額進(jìn)行分組，各組的頻數(shù)如下：銷(xiāo)傳金額甲3643乙26ab分析數(shù)據(jù)：兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下表所示：城市中位數(shù)平均數(shù)眾數(shù)甲C1．845乙402．9d請(qǐng)根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）填空：a=，b=，c=，d=．（2）兩個(gè)城市目前共有飲料自動(dòng)售賣(mài)機(jī)4000臺(tái)，估計(jì)日銷(xiāo)售金額不低于40元的數(shù)量約為多少臺(tái)？（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為甲、乙哪個(gè)城市的飲料自動(dòng)售賣(mài)機(jī)銷(xiāo)售情況較好？請(qǐng)說(shuō)明理由（一條理由即可）．22．（8分）感知定義在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，老師給出這樣一個(gè)新定義：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足α+2β＝90°，那么我們稱(chēng)這樣的三角形為“類(lèi)直角三角形”．嘗試運(yùn)用（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分線．①證明△ABD是“類(lèi)直角三角形”；②試問(wèn)在邊AC上是否存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D），使得△ABE也是“類(lèi)直角三角形”？若存在，請(qǐng)求出CE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．類(lèi)比拓展（2）如圖2，△ABD內(nèi)接于⊙O，直徑AB＝10，弦AD＝6，點(diǎn)E是弧AD上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)A，D），延長(zhǎng)BE至點(diǎn)C，連結(jié)AC，且∠CAD＝∠AOD，當(dāng)△ABC是“類(lèi)直角三角形”時(shí)，求AC的長(zhǎng)．23．（8分）如圖，△OAP是等腰直角三角形，∠OAP＝90°，點(diǎn)A在第四象限，點(diǎn)P坐標(biāo)為（8，0），拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和A、P兩點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式．（2）點(diǎn)B是y軸正半軸上一點(diǎn)，連接AB，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線交拋物線于C、D兩點(diǎn)，且BC＝AB，求點(diǎn)B坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M是線段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，求△CBN面積的最大值．24．（8分）如圖示，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)（）交軸于，，在軸上有一點(diǎn)，連接.（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)是第二象限內(nèi)的點(diǎn)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)①求面積最大值并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；②若，求此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)；（3）連接，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).連接，把線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)等于______（直接寫(xiě)出答案）25．（10分）如圖，二次函數(shù)y=（x﹣2）2+m的圖象與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)．已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)該二次函數(shù)圖象上點(diǎn)A（1，0）及點(diǎn)B．（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，寫(xiě)出滿足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范圍．26．（10分）如果一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)相差2cm，面積是24，那么這個(gè)三角形的兩條直角邊分別是多少？

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【分析】利用圓的周長(zhǎng)公式求得該弧的長(zhǎng)度，然后由弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】解：依題意得2π×2＝，解得n＝1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算.此題的已知條件是半徑為2的圓的周長(zhǎng)=半徑為5的弧的弧長(zhǎng).2、B【分析】連結(jié)，，設(shè)半徑為r，根據(jù)垂徑定理得，在中，由勾股定理建立方程，解之即可求得答案.【詳解】連結(jié)，，如圖，設(shè)半徑為，∵，，∴，點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，∵，∴，在中，∵，，即，解得，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，關(guān)鍵是利用垂徑定理解答．3、C【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于，連接，由垂徑定理得出，得出，由勾股定理得出，證出是等腰直角三角形，得出，求出，由直角三角形的性質(zhì)得出，由勾股定理得出，即可得出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于，連接，如圖所示：則，∴，在中，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴，在中，，∴；故選C．【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：垂徑定理.利用垂徑定理和勾股定理解決問(wèn)題是關(guān)鍵.4、B【分析】將解析式化為頂點(diǎn)式即可得到答案.【詳解】=2(x+0)2-4得：對(duì)稱(chēng)軸為y軸，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-4),在y軸上，故選B.5、B【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，∠EDF=∠C=60o,CE=DE,CF=DF再由∠BDF+∠ADE=∠BDF+∠BFD=120o可得∠ADE=∠BFD，又因∠A=∠B=60o，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似可得△AED∽△BDF所以，設(shè)AD=a，BD=2a，AB=BC=CA=3a，再設(shè)CE==DE=x，CF==DF=y，則AE=3a-x，BF=3a-y，所以整理可得ay=3ax-xy，2ax=3ay-xy，即xy=3ax-ay①，xy=3ay-2ax②；把①代入②可得3ax-ay=3ay-2ax，所以5ax=4ay，，即故選B．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)．6、B【分析】根據(jù)勾股定理求出和的各邊長(zhǎng)，由三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似可得，所以可得，求值即可.【詳解】解：由勾股定理，得，，，，，，，，，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形，靈活利用正方形方格的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】解：∵個(gè)正六邊形的一邊恰在另一個(gè)正六邊形的對(duì)角線上，∴它的一半是60°，它的鄰補(bǔ)角也是60°，∴上面的小三角形是等邊三角形，∴上面的（陰影部分）外輪廓線的兩小段和為1，同理可知下面的（陰影部分）外輪廓線的兩小段和為1，故這個(gè)圖形（陰影部分）外輪廓線的周長(zhǎng)是1．故選B．8、B【分析】根據(jù)勾股定理求出AC的值，根據(jù)點(diǎn)與圓的位關(guān)系特點(diǎn)，判斷即可．【詳解】解：由勾股定理得：∵AC=半徑=3，∴點(diǎn)C與⊙A的位置關(guān)系是：點(diǎn)C在⊙A上，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系定理和勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，點(diǎn)與圓（圓的半徑是r，點(diǎn)到圓心的距離是d）的位置關(guān)系有3種：d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；d＜r點(diǎn)在圓內(nèi)；d＞r點(diǎn)在圓外．掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9、C【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x＝1代入方程得1+2﹣m＝0，然后解關(guān)于m的一次方程即可．【詳解】解：把x＝1代入x2+2x﹣m＝0得1+2﹣m＝0，解得m＝1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次的代入求參數(shù),關(guān)鍵在于掌握基本運(yùn)算方法.10、C【解析】外心在BC的垂直平分線上，則外心縱坐標(biāo)為-1.故選C.二、填空題(每小題3分,共24分)11、【分析】根據(jù)題意，使用列舉法可得從有4根細(xì)木棒中任取3根的總共情況數(shù)目以及能搭成一個(gè)三角形的情況數(shù)目，根據(jù)概率的計(jì)算方法，計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，從有4根細(xì)木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4種取法，而能搭成一個(gè)三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三種，得P=.故其概率為：．【點(diǎn)睛】本題考查概率的計(jì)算方法，使用列舉法解題時(shí)，注意按一定順序，做到不重不漏．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．12、x1=0,x2=【分析】直接由因式分解法方程，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴或，∴，；故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解法解方程．13、【分析】證明，利用相似比列出關(guān)于AD，DE，EC，CF的關(guān)系式，從而求出長(zhǎng)的取值范圍．【詳解】∵∴∴∵四邊形是矩形∴∴∴∴∴∴因?yàn)椤喙蚀鸢笧椋海军c(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的最值問(wèn)題，掌握相似三角形的性質(zhì)以及判定、解一元二次方程得方法是解題的關(guān)鍵．14、1.【分析】根據(jù)題目所給條件，利用平行四邊形的判定方法分別進(jìn)行分析即可．【詳解】解：由題意：①②組合可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；③④組合可根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；①③可證明△ADO≌△CBO，進(jìn)而得到AD=CB，可利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；①④可證明△ADO≌△CBO，進(jìn)而得到AD=CB，可利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；

∴有1種可能使四邊形ABCD為平行四邊形．故答案是1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理．15、1【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)可得，從而計(jì)算出EF的值,即可得到DF的值．【詳解】解：∵直線a∥b∥c，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，DE=2，

∴，即，

∴=，

∴EF=2，∵DE=2∴DF=DE+EF=2+2=1

故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．16、1【分析】連接OB，OC，依據(jù)△BOC是等邊三角形，即可得到BO=CO=BC=BC=4，進(jìn)而得出⊙O的直徑為1．【詳解】解：如圖，連接OB，OC，∵∠A=30°，∴∠BOC=60°，∴△BOC是等邊三角形，又∵BC=4，∴BO=CO=BC=BC=4，∴⊙O的直徑為1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓以及圓周角定理的運(yùn)用，三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．17、12πcm【分析】先根據(jù)底面半徑求出底面周長(zhǎng)，即為扇形的弧長(zhǎng)，再設(shè)出扇形的半徑，根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式，確定扇形的半徑；最后用扇形的面積公式求解即可.【詳解】解：∵底面圓的半徑為2cm，∴底面周長(zhǎng)為4πcm，∴側(cè)面展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)為4πcm，設(shè)扇形的半徑為r，∵圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是120°，∴＝4π，解得：r＝6，∴側(cè)面積為×4π×6＝12πcm，故答案為：12πcm．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的表面積、扇形的面積以及弧長(zhǎng)公式，解答的關(guān)鍵在于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的牢固掌握和靈活運(yùn)用.18、【分析】等式兩邊同時(shí)乘以，再移項(xiàng)即可求解．【詳解】等式兩邊同時(shí)乘以得：移項(xiàng)得：,經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是方程的解.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程的問(wèn)題，掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、（1）；（2）；（3）.【分析】將A，B，C點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，用待定系數(shù)法可得函數(shù)解析式；（2）求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，作B點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，可求出直線的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)在直線上時(shí)，的值最小；（3）作軸交AC于E點(diǎn)，求得AC的解析式為，設(shè)，，得，所以，，求函數(shù)的最大值即可.【詳解】將A，B，C點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，得方程組：解得拋物線的解析式為配方，得，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為作B點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，如圖1，則，由得，可求出直線的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)在直線上時(shí)，的值最小，則．作軸交AC于E點(diǎn)，如圖2，AC的解析式為，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，的面積的最大值是；【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)綜合運(yùn)用.解題關(guān)鍵點(diǎn)：畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)問(wèn)題解決.20、（1）BM+DN＝MN；（2）（1）中的結(jié)論不成立，DN﹣BM＝MN．理由見(jiàn)解析；（3）AP＝AM+PM＝3．【分析】（1）在MB的延長(zhǎng)線上，截取BE=DN，連接AE，則可證明△ABE≌△ADN，得到AE=AN，進(jìn)一步證明△AEM≌△ANM，得出ME=MN，得出BM+DN=MN；

（2）在DC上截取DF=BM，連接AF，可先證明△ABM≌△ADF，得出AM=AF，進(jìn)一步證明△MAN≌△FAN，可得到MN=NF，從而可得到DN-BM=MN；

（3）由已知得出DN=12，由勾股定理得出AN＝＝＝6，由平行線得出△ABQ∽△NDQ，得出＝＝＝＝，∴＝，求出AQ=2；由（2）得出DN-BM=MN．設(shè)BM=x，則MN=12-x，CM=6+x，在Rt△CMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出BM=2，由勾股定理得出AM＝＝，由平行線得出△PBM∽△PDA，得出＝＝，，求出PM=PM＝AM＝，得出AP＝AM+PM＝3.【詳解】（1）BM+DN＝MN，理由如下：如圖1，在MB的延長(zhǎng)線上，截取BE＝DN，連接AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠D，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAN＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝45°＝∠NAM，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，又∵M(jìn)E＝BE+BM＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；故答案為：BM+DN＝MN；（2）（1）中的結(jié)論不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：如圖2，在DC上截取DF＝BM，連接AF，則∠ABM＝90°＝∠D，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠FAN＝45°，在△MAN和△FAN中，，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN．（3）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABM＝∠MCN＝90°，∵CN＝CD＝6，∴DN＝12，∴AN＝＝＝6，∵AB∥CD，∴△ABQ∽△NDQ，∴＝＝＝＝，∴＝，∴AQ＝AN＝2；由（2）得：DN﹣BM＝MN．設(shè)BM＝x，則MN＝12﹣x，CM＝6+x，在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，解得：x＝2，∴BM＝2，∴AM＝＝＝2，∵BC∥AD，∴△PBM∽△PDA，∴＝＝＝，∴PM＝AM＝，∴AP＝AM+PM＝3．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵．21、（1）6，2，2，33（2）1875（3）見(jiàn)解析（答案不唯一）【分析】（1）根據(jù)某一天各自的銷(xiāo)售情況求出的值，根據(jù)中位數(shù)的定義求出的值，根據(jù)眾數(shù)的定義求出的值．（2）用樣本估算整體的方法去計(jì)算即可．（3）根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【詳解】（1）．（2）（臺(tái)）故估計(jì)日銷(xiāo)售金額不低于40元的數(shù)量約為1875臺(tái)．（3）可以推斷出甲城市的飲料自動(dòng)售貨機(jī)銷(xiāo)售情況較好，理由如下：①甲城市飲料自動(dòng)售貨機(jī)銷(xiāo)售金額的平均數(shù)較高，表示甲城市的銷(xiāo)售情況較好；②甲城市飲料自動(dòng)售貨機(jī)銷(xiāo)售金額的眾數(shù)較高，表示甲城市的銷(xiāo)售金額較高；可以推斷出乙城市的飲料自動(dòng)售貨機(jī)銷(xiāo)售情況較好，理由如下：①乙城市飲料自動(dòng)售貨機(jī)銷(xiāo)售金額的中位數(shù)較高，表示乙城市銷(xiāo)售金額高的自動(dòng)售貨機(jī)數(shù)量較多；【點(diǎn)睛】本題考查了概率統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題，掌握平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的性質(zhì)、樣本估算整體的方法是解題的關(guān)鍵．22、（1）①證明見(jiàn)解析；②CE＝；（2）當(dāng)△ABC是“類(lèi)直角三角形”時(shí)，AC的長(zhǎng)為或．【分析】（1）①證明∠A+2∠ABD=90°即可解決問(wèn)題．②如圖1中,假設(shè)在AC邊設(shè)上存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D）,使得△ABE是“類(lèi)直角三角形”,證明△ABC∽△BEC,可得,由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．（2）分兩種情形:①如圖2中,當(dāng)∠ABC+2∠C=90°時(shí),作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F,連接FA,FB．則點(diǎn)F在⊙O上,且∠DBF=∠DOA．②如圖3中,由①可知,點(diǎn)C,A,F共線,當(dāng)點(diǎn)E與D共線時(shí),由對(duì)稱(chēng)性可知,BA平分∠FBC,可證∠C+2∠ABC=90°,利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）①證明:如圖1中,∵BD是∠ABC的角平分線,∴∠ABC＝2∠ABD,∵∠C＝90°,∴∠A+∠ABC＝90°,∴∠A+2∠ABD＝90°,∴△ABD為“類(lèi)直角三角形”;②如圖1中,假設(shè)在AC邊設(shè)上存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D）,使得△ABE是“類(lèi)直角三角形”,在Rt△ABC中,∵AB＝5,BC＝3,∴AC＝,∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°,∴∠ABE+2∠A＝90°,∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90°,∴∠A＝∠CBE,∴△ABC∽△BEC,∴,∴CE＝,（2）∵AB是直徑,∴∠ADB＝90°,∵AD＝6,AB＝10,∴BD＝,①如圖2中,當(dāng)∠ABC+2∠C＝90°時(shí),作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F,連接FA,FB,則點(diǎn)F在⊙O上,且∠DBF＝∠DOA,∵∠DBF+∠DAF＝180°,且∠CAD＝∠AOD,∴∠CAD+∠DAF＝180°,∴C，A，F(xiàn)共線,∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90°,∴∠C＝∠ABF,∴△FAB∽△FBC,∴,即,∴AC＝．②如圖3中,由①可知,點(diǎn)C,A,F共線,當(dāng)點(diǎn)E與D共線時(shí),由對(duì)稱(chēng)性可知,BA平分∠FBC,∴∠C+2∠ABC＝90°,∵∠CAD＝∠CBF,∠C＝∠C,∴△DAC∽△FBC,∴,即,∴CD＝（AC+6）,在Rt△ADC中,[（ac+6）]2+62＝AC2,∴AC＝或﹣6（舍棄）,綜上所述,當(dāng)△ABC是“類(lèi)直角三角形”時(shí),AC的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓綜合題,考查了相似三角形的判定和性質(zhì),“類(lèi)直角三角形”的定義等知識(shí),解題的關(guān)鍵是理解題意,學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題,學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題.23、（1）；（2）；（3）.【分析】（1）先根據(jù)是等腰直角三角形，和點(diǎn)P的坐標(biāo)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求得；（2）設(shè)點(diǎn)，如圖（見(jiàn)解析），過(guò)點(diǎn)C作CH垂直y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AQ垂直y軸于點(diǎn)Q，易證明，可得，則點(diǎn)C坐標(biāo)為，將其代入題（1）中的拋物線函數(shù)關(guān)系式即可得；（3）如圖，延長(zhǎng)NM交CH于點(diǎn)E，則，先通過(guò)點(diǎn)B、C求出直線BC的函數(shù)關(guān)系式，因點(diǎn)N在拋物線上，則設(shè)，則可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式列出等式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【詳解】（1）是等腰直角三角形，，點(diǎn)P坐標(biāo)為則點(diǎn)A的坐標(biāo)為將點(diǎn)O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的函數(shù)關(guān)系式得：，解得：故拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CH垂直y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AQ垂直y軸于點(diǎn)Q，又故點(diǎn)C的坐標(biāo)為將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入題（1）的拋物線函數(shù)關(guān)系式得：，解得：故點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（3）如圖，延長(zhǎng)NM交CH于點(diǎn)E，則設(shè)直線BC的解析式為：，將點(diǎn)，點(diǎn)代入得：解得：則直線BC的解析式為：因點(diǎn)N在拋物線上，設(shè)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為的面積即整理得：又因點(diǎn)M是線段BC上一點(diǎn)，則由二次函數(shù)的性質(zhì)得：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小故當(dāng)時(shí)，取得最大值.【點(diǎn)睛】本題是一道較好的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.24、（1）；（2）①，點(diǎn)坐標(biāo)為；②；（3）【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可得解；（2）①由A、E兩點(diǎn)坐標(biāo)得出直線AE解析式，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，則坐標(biāo)為，然后構(gòu)建面積與t的二次