2024屆江西省吉安市四校數學高二第二學期期末學業質量監測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知的二項展開式中含項的系數為，則()A． B． C． D．2．已知函數，對于任意，且，均存在唯一實數，使得，且，若關于的方程有4個不相等的實數根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．某圖書出版公司到某中學開展奉獻愛心圖書捐贈活動，某班級獲得了某品牌的圖書共4本，其中數學、英語、物理、化學各一本，現將這4本書隨機發給該班的甲、乙、丙、丁4個人，每人一本，并請這4個人在得到的贈書之前進行預測，結果如下：甲說：乙或丙得到物理書；乙說：甲或丙得到英語書；丙說：數學書被甲得到；丁說：甲得到物理書．最終結果顯示甲、乙、丙、丁4個人的預測均不正確，那么甲、乙、丙、丁4個人得到的書分別是（）A．數學、物理、化學、英語 B．物理、英語、數學、化學C．數學、英語、化學、物理 D．化學、英語、數學、物理4．用反證法證明命題“已知函數在上單調，則在上至多有一個零點”時，要做的假設是（）A．在上沒有零點 B．在上至少有一個零點C．在上恰好有兩個零點 D．在上至少有兩個零點5．已知變量x，y滿足約束條件則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知函數的圖象關于直線對稱，且在上為單調函數，下述四個結論：①滿足條件的取值有個②為函數的一個對稱中心③在上單調遞增④在上有一個極大值點和一個極小值點其中所有正確結論的編號是（）A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③7．點是雙曲線在第一象限的某點，、為雙曲線的焦點.若在以為直徑的圓上且滿足，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.8．已知點P是橢圓上的動點,當點P到直線x-2y+10=0的距離最小時,點P的坐標是（）A． B． C． D．9．某軍工企業為某種型號的新式步槍生產了一批槍管，其口徑誤差（單位：微米）服從正態分布，從已經生產出的槍管中隨機取出一只，則其口徑誤差在區間內的概率為（）（附：若隨機變量服從正態分布，則，）A． B． C． D．10．已知函數，則函數的單調遞增區間是（）A．和 B．和C．和 D．11．設復數z滿足，則z的共軛復數（）A． B． C． D．12．從5名學生中選出4名分別參加數學，物理，化學，生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方案種數為A．48 B．72 C．90 D．96二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知命題“若，則”，在其逆命題，否命題，逆否命題中，真命題的個數是__________．14．在平面凸四邊形ABCD中，，點M，N分別是邊AD，BC的中點，且，若，，則的值為________.15．已知函數，則的最大值是__________．16．已知雙曲線的左、右焦點分別為，,過作圓的切線，交雙曲線右支于點，若，則雙曲線的漸近線方程為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知平面內點到點的距離和到直線的距離之比為，若動點P的軌跡為曲線C．（I）求曲線C的方程；（II）過F的直線與C交于A，B兩點，點M的坐標為設O為坐標原點.證明：．18．（12分）某拋擲骰子游戲中，規定游戲者可以有三次機會拋擲一顆骰子，若游戲者在前兩次拋擲中至少成功一次才可以進行第三次拋擲，其中拋擲骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.游戲規則如下：拋擲1枚骰子，第1次拋擲骰子向上的點數為奇數則記為成功，第2次拋擲骰子向上的點數為3的倍數則記為成功，第3次拋擲骰子向上的點數為6則記為成功.用隨機變量表示該游戲者所得分數.（1）求該游戲者有機會拋擲第3次骰子的概率;（2）求隨機變量的分布列和數學期望．19．（12分）已知函數（a∈R）．（1）討論y＝f（x）的單調性；（2）若函數f（x）有兩個不同零點x1，x2，求實數a的范圍并證明．20．（12分）已知二項式展開式中的第7項是常數項.(1)求；(2)求展開式中有理項的個數.21．（12分）設函數，（為常數），．曲線在點處的切線與軸平行（1）求的值；（2）求的單調區間和最小值；（3）若對任意恒成立，求實數的取值范圍．22．（10分）已知復數，其中為虛數單位，.（1）若，求實數的值；（2）若在復平面內對應的點位于第一象限，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：先根據二項式定展開式通項公式求m,再求定積分.詳解：因為的二項展開式中，所以,因此選C.點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數.2、A【解題分析】

解：由題意可知f（x）在[0，+∞）上單調遞增，值域為[m，+∞），∵對于任意s∈R，且s≠0，均存在唯一實數t，使得f（s）＝f（t），且s≠t，∴f（x）在（﹣∞，0）上是減函數，值域為（m，+∞），∴a＜0，且﹣b+1＝m，即b＝1﹣m．∵|f（x）|＝f（）有4個不相等的實數根，∴0＜f（）＜﹣m，又m＜﹣1，∴0m，即0＜（1）m＜﹣m，∴﹣4＜a＜﹣2，∴則a的取值范圍是（﹣4，﹣2），故選A．點睛：本題中涉及根據函數零點求參數取值，是高考經常涉及的重點問題，（1）利用零點存在的判定定理構建不等式求解；（2）分離參數后轉化為函數的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個零點時，還需考慮函數的圖象與參數的交點個數；（3）轉化為兩熟悉的函數圖象的上、下關系問題，從而構建不等式求解.3、D【解題分析】

根據甲說的和丁說的都錯誤，得到物理書在丁處，然后根據丙說的錯誤，判斷出數學書不在甲處，從而得到答案.【題目詳解】甲說：乙或丙得到物理書；丁說：甲得到物理書．因為甲和丁說的都是錯誤的，所以物理書不在甲、乙、丙處，故物理書在丁處，排除A、B選項；因為丙說：數學書被甲得到，且丙說的是錯誤的，所以數學書不在甲處，故排除C項；所以答案選D項.【題目點撥】本題考查根據命題的否定的實際應用，屬于簡單題.4、D【解題分析】分析：利用反證法證明，假設一定是原命題的完全否定，從而可得結果.詳解：因為“至多有一個”的否定是“至少有兩個”，所以用反證法證明命題“已知函數在上單調，則在上至多有一個零點”時，要做的假設是在上至少有兩個零點，故選D.點睛：反證法的適用范圍是，（1）否定性命題；（2）結論涉及“至多”、“至少”、“無限”、“唯一”等詞語的命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；（4）要討論的情況很復雜，而反面情況較少．5、B【解題分析】畫出二元一次不等式所示的可行域，目標函數為截距型，，可知截距越大值越大，根據圖象得出最優解為，則的最大值為2，選B.【題目點撥】本題主要考查線性規劃問題，首先由不等式組作出相應的可行域，作圖時，可將不等式轉化為（或），“”取下方，“”取上方，并明確可行域對應的是封閉區域還是開放區域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結合圖形確定目標函數最值取法、值域范圍．6、D【解題分析】

依照題意找出的限制條件，確定，得到函數的解析式，再根據函數圖像逐一判斷以下結論是否正確．【題目詳解】因為函數的圖象關于直線對稱，所以，又在上為單調函數，，即，所以或，即或所以總有，故①②正確；由或圖像知，在上單調遞增，故③正確；當時，只有一個極大值點，不符合題意，故④不正確；綜上，所有正確結論的編號是①②③．【題目點撥】本題主要考查三角函數的圖像與性質，意在考查學生綜合分析解決問題的能力．7、D【解題分析】試題分析：根據題畫圖，可知P為圓與雙曲線的交點，根據雙曲線定義可知：，所以，又，即，所以，，雙曲線離心率，所以。考點：雙曲線的綜合應用。8、C【解題分析】分析：設與直線x-2y+10=0平行且與橢圓相切的直線方程為，與橢圓方程聯立，利用，解得，即可得出結論.詳解：設與直線x-2y+10=0平行且與橢圓相切的直線方程為，聯立，化為，，解得，取時，，解得，，.故選：C.點睛：本題考查了直線與橢圓的相切與一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.9、C【解題分析】

根據已知可得，結合正態分布的對稱性，即可求解.【題目詳解】.故選：C【題目點撥】本題考查正態分布中兩個量和的應用，以及正態分布的對稱性，屬于基礎題.10、C【解題分析】

先求出函數的定義域，再求導，根據導數大于0解得x的范圍，繼而得到函數的單調遞增區間．【題目詳解】函數f(x)＝x2－5x＋2lnx的定義域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝＞0，解得0＜x＜或x＞2，故函數f(x)的單調遞增區間是，(2，＋∞)．故選C【題目點撥】本題考查了導數和函數的單調性的關系，易錯點是注意定義域，屬于基礎題．11、B【解題分析】

算出，即可得.【題目詳解】由得，，所以.故選：B【題目點撥】本題主要考查了復數的除法運算，共軛復數的概念，考查了學生基本運算能力和對基本概念的理解.12、D【解題分析】因甲不參加生物競賽，則安排甲參加另外3場比賽或甲學生不參加任何比賽①當甲參加另外3場比賽時，共有?=72種選擇方案；②當甲學生不參加任何比賽時，共有=24種選擇方案．綜上所述，所有參賽方案有72+24=96種故答案為：96點睛：本題以選擇學生參加比賽為載體，考查了分類計數原理、排列數與組合數公式等知識，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

根據原命題和逆否命題真假性相同可得到逆否命題的真假；寫出命題的否命題和逆命題可得到其真假性.【題目詳解】易知命題“若，則”為假命題，故其逆否命題也為假命題；逆命題為“若，則”是真命題；否命題為“若，則”，也為真命題.故答案為2.【題目點撥】這個題目考查了命題的逆否命題和逆命題，和否命題的書寫以及真假的判斷，否命題既否條件又否結論，命題的否定是只否結論.14、【解題分析】

通過表示，再利用可計算出，再計算出可得答案.【題目詳解】由于M，N分別是邊AD，BC的中點，故，，所以，所以，所以，而，所以，即，故，故答案為【題目點撥】本題主要考查向量的基底表示，數量積運算，意在考查學生的空間想象能力，運算能力，邏輯分析能力，難度較大.15、【解題分析】分析：對函數求導，研究函數的單調性，得到函數的單調區間，進而得到函數的最值.詳解：函數，設，函數在故當t=時函數取得最大值，此時故答案為：.點睛：這個題目考查了函數最值的求法，較為簡單，求函數的值域或者最值常用的方法有：求導研究單調性，或者直接研究函數的單調性，或者應用均值不等式求最值.16、【解題分析】

先計算，在中，根據勾股定理得得到漸近線方程.【題目詳解】如圖所示：切點為，連接，過作于是中點，在中，根據勾股定理得：漸近線方程為：故答案為【題目點撥】本題考查了雙曲線的漸近線，作輔助線是解題的關鍵，也可以直接利用正弦定理和余弦定理計算得到答案.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）（II）見解析【解題分析】

（I）根據題目點到點的距離和到直線的距離之比為，列出相應的等式方程，化簡可得軌跡C的方程；（II）對直線分軸、l與x軸重合以及l存在斜率且斜率不為零三種情況進行分析，當l存在斜率且斜率不為零時，利用點斜式設直線方程，與曲線C的方程進行聯立，結合韋達定理，可推得，從而推出．【題目詳解】解：（I）∵到點的距離和到直線的距離之比為.∴，.化簡得：．故所求曲線C的方程為：.（II）分三種情況討論：1、當軸時，由橢圓對稱性易知：．2、當l與x軸重合時，由直線與橢圓位置關系知：3、設l為：，，且，，由化簡得：，∴，設MA,MB，所在直線斜率分別為：，，則此時，．綜上所述：.【題目點撥】本題主要考查了利用定義法求軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題．解決直線與圓錐曲線位置關系中常用的數學方法思想有方程思想，數形結合思想以及設而不求的整體代入的技巧與方法．18、（1）（2）見解析【解題分析】分析：⑴該游戲者拋擲骰子成功的概率分別為、、，該游戲者有機會拋擲第3次骰子為事件．則；(2)由題意可知，的可能取值為、、、、，分別求出，，，，得到的分布列及數學期望．詳解：⑴該游戲者拋擲骰子成功的概率分別為、、，該游戲者有機會拋擲第3次骰子為事件．則；答：該游戲者有機會拋擲第3次骰子的概率為(2)由題意可知，的可能取值為、、、、，，，，，，所以的分布列為所以的數學期望點睛：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意互斥事件概率加法公式的合理運用．19、（1）見解析；（2），證明見解析【解題分析】

（1）先求得函數的單調區間，然后求函數的導數，對分成兩種情況，分類討論函數的單調區間.（2）令，分離常數，構造函數，利用導數求得的單調區間和最大值，結合圖像求得的取值范圍.構造函數（），利用導數證得在成立，從而證得在上成立.根據的單調性證得.【題目詳解】函數的定義域為當時，，函數在上為增函數；當時，，，有，在有，即，綜上：當時，函數在上為增函數；當時，.（2）有兩個不同的零點，即有兩個不同的根，即即有兩個不同的交點；，，，當時，故.由上設令（）當時，，故在上為增函數，，從而有，即，而則，又因為所以，又，，故，即證.【題目點撥】本小題主要考查利用導數研究函數的單調區間和最值，考查利用導數研究零點問題，考查利用導數證明不等式，綜合性很強，屬于難題.20、（1）（2）展開式中的有理項共有3項【解題分析】

（1）根據二項展開式的通項以及第項是常數項計算的值；（2）根據二項展開式的通項，考慮未知數的指數為整數的情況，然后判斷有理項的項數.【題目詳解】解：（1）二項式展開式的通項為第7項為常數項，（2）由（1）知，若為有理項，則為整數，為6的倍數，，共三個數，展開式中的有理項共有3項.【題目點撥】本題考查二項展開式的通項的應用，難度一般.二項展開式中的有理項的分析的主要依據是：未知數的指數為整數；二項展開式中的常數項的分析的主要依據是：未知數的指數為.21、