橢圓1.橢圓的定義把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于______(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的_____，兩焦點間的距離叫做橢圓的______.常數焦點焦距焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形

標準方程

＝1(a>b>0)

＝1(a>b>0)范圍__________________________________________2.橢圓的簡單幾何性質－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a頂點_____________________________________________________________________________軸長短軸長為____，長軸長為____焦點______________________________________焦距|F1F2|＝____對稱性對稱軸：_________，對稱中心：______離心率______________a，b，c的關系___________A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)2b2aF1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)2cx軸和y軸原點a2＝b2＋c2橢圓的焦點三角形橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構成的△PF1F2叫做焦點三角形.如圖所示，設∠F1PF2＝θ.(1)當P為短軸端點時，θ最大，

最大.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.(6)焦點三角形的周長為2(a＋c).判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓.(

)(2)橢圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.(

)(3)

＝1(m≠n)表示焦點在y軸上的橢圓.(

)(4)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.(

)√×××A.6 B.3C.4 D.2√√√例1

(1)(2022·麗江模擬)一動圓P與圓A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而與圓B：(x－1)2＋y2＝64內切，那么動圓的圓心P的軌跡是A.橢圓

B.雙曲線C.拋物線

D.雙曲線的一支題型一橢圓的定義及其應用√設動圓P的半徑為r，又圓A：(x＋1)2＋y2＝1的半徑為1，圓B：(x－1)2＋y2＝64的半徑為8，則|PA|＝r＋1，|PB|＝8－r，可得|PA|＋|PB|＝9，又9>2＝|AB|，則動圓的圓心P的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為9的橢圓.又∠F1PF2＝60°，|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|cos60°＝4a2－3|PF1||PF2|＝4a2－16，延伸探究若將本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面積.∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)＝4a2－16，又|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝8，跟蹤訓練1

(1)已知△ABC的周長為12，B(0，－2)，C(0,2)，則頂點A的軌跡方程為√∵△ABC的周長為12，頂點B(0，－2)，C(0,2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，又8>4，∴點A的軌跡是橢圓，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，(2)(2023·鄭州模擬)若F為橢圓C：

＝1的右焦點，A，B為C上兩動點，則△ABF周長的最大值為A.4 B.8C.10 D.20√如圖，設F1為橢圓C的左焦點，則由橢圓的定義可得△ABF的周長為|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|AF1|－|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|，當A，B，F1共線時，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0，當A，B，F1不共線時，|AB|－|AF1|－|BF1|<0，所以△ABF周長的最大值為20.命題點1定義法例2

(2023·南京模擬)已知橢圓的兩個焦點分別為F1(0,2),F2(0，－2)，P為橢圓上任意一點，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中項，則此橢圓的標準方程為題型二橢圓的標準方程√命題點2待定系數法設橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n).將P1，P2代入方程，A.必要不充分條件

B.充分不必要條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√當1<k<5時，該方程不一定表示橢圓，例如當k＝3時，方程變為x2＋y2＝2，它表示一個圓，√由橢圓方程可知A(a,0)，結合a2－b2＝c2，解得a2＝3，b2＝1，命題點1離心率題型三橢圓的幾何性質√√設P(m，n)(n≠0)，則Q(－m，n)，易知A(－a,0)，因為點P在橢圓C上，A.30° B.45