第七章

參數估計

§7.2區間估計的基本概念1區間估計的基本概念一、基本概念前面，我們討論了參數點估計.它是用樣本算得的一個值去估計未知參數.但是點估計值僅僅是未知參數的一個近似值,它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，使用起來把握不大.區間估計正好彌補了點估計的這個缺陷.2區間估計的基本概念譬如，在估計湖中魚數的問題中，若我們根據一個實際樣本，得到魚數N的極大似然估計為1000萬尾.若我們能給出一個區間，實際上，N的真值可能大于1000萬尾，也可能小于1000萬尾.在此區間內我們合理地相信

N

的真值位于其中.這樣對魚數的估計就有把握多了.3區間估計的基本概念也就是說，我們希望確定一個區間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數值.湖中魚數的真值[]這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，習慣上這里α是一個很小的正數.稱為置信概率，置信度或置信水平.置信水平記作1-α,4區間估計的基本概念置信水平的大小是根據實際需要選定的.例如，通常可取置信水平1-α=0.95或0.9等.根據一個實際樣本，由給定的置信水平，使我們求出一個盡可能小的區間

置信區間.稱區間為θ的置信水平為1-α的5區間估計的基本概念尋找置信區間的方法,一般是從確定誤差限入手.使得根據置信水平1-α

，可以找到一個正數δ，我們選取未知參數的某個估計量，只要知道的概率分布，確定誤差限并不難.稱δ為與θ之間的誤差限.6區間估計的基本概念下面我們就來正式給出置信區間的定義,由不等式可以解出θ

：這個不等式就是我們所求的置信區間.并通過例子說明求置信區間的方法.7區間估計的基本概念置信區間定義：滿足設θ是一個待估參數，給定α>0,若由樣本X1,X2,…Xn確定的兩個統計量分別稱為置信下限和置信上限.則稱區間是θ的置信水平(置信度、置信概率)為1-α的置信區間.8區間估計的基本概念這里有兩個要求:可見，對參數θ作區間估計，就是要設法找出兩個只依賴于樣本的界限(構造統計量)一旦有了樣本，就把θ估計在區間內.9區間估計的基本概念2.

估計的精度要盡可能的高.就是說，概率要盡可能大.即要求估計盡量可靠.可靠度與精度是一對矛盾，1.

要求θ以很大的可能被包含在區間內.盡可能短，如要求區間長度或能體現該要求的其它準則.一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.10區間估計的基本概念二、單側置信區間上述置信區間中置信限都是雙側的，但對于有些實際問題，人們關心的只是參數在一個方向的界限.例如對于設備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長沒什么問題，過短就有問題了.這時，可將置信上限取為+∞，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區間叫單側置信區間.11區間估計的基本概念于是引入單側置信區間和置信限的定義：滿足設θ是一個待估參數，給定α>0,若由樣本X1,X2,…Xn確定的統計量則稱區間是θ的置信水平為1-α的單側置信區間.稱為單側置信下限.12區間估計的基本概念又若統計量則稱區間是θ的置信水平為1-α的單側置信區間.稱為單側置信上限.滿足13區間估計的基本概念設燈泡壽命服從正態分布.求燈泡壽命均值μ的置信水平為0.95的單側置信下限.

例1

從一批燈泡中隨機抽取5只作壽命試驗，測得壽命X（單位：小時）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差未知，取樣本函數解：的點估計取為樣本均值

14區間估計的基本概念使即對給定的置信度1-α,確定分位數得均值μ的置信水平為1-α的單側置信區間為15區間估計的基本概念

將樣本值代入得1065小時即μ的置信水