概率論與數理統計2-3匯報人：AA2024-01-19目錄CONTENTS概率論基本概念隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布隨機變量數字特征大數定律和中心極限定理數理統計基本概念參數估計方法假設檢驗方法01概率論基本概念樣本空間所有可能結果的集合，常用大寫字母S表示。事件樣本空間的子集，即某些可能結果的集合，常用大寫字母A、B等表示。基本事件只包含一個樣本點的事件，是構成樣本空間的最小單元。樣本空間與事件030201概率定義及性質概率定義事件A發生的可能性大小的度量，記為P(A)，滿足非負性、規范性（P(S)=1）和可列可加性。概率性質包括互斥事件的概率加法公式、任意事件的概率減法公式、概率的乘法公式等。在事件B發生的條件下，事件A發生的概率，記為P(A|B)，滿足P(A|B)=P(AB)/P(B)。如果事件A和事件B滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A和事件B是相互獨立的。條件概率與獨立性事件的獨立性條件概率如果事件B1,B2,...,Bn是樣本空間S的一個劃分，且P(Bi)>0(i=1,2,...,n)，則對任意事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。全概率公式在全概率公式的條件下，可以進一步得到P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)，用于在已知某些信息的情況下，更新某事件發生的概率。貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式02隨機變量及其分布VS隨機變量是定義在樣本空間上的實值函數，它將樣本空間中的每一個樣本點映射到一個實數。隨機變量分類根據隨機變量取值的特點，可以將其分為離散型隨機變量和連續型隨機變量兩類。隨機變量定義隨機變量定義及分類分布律定義離散型隨機變量的分布律描述了隨機變量取各個值的概率，通常用概率質量函數（PMF）表示。常見離散型隨機變量分布二項分布、泊松分布、幾何分布等。離散型隨機變量分布律連續型隨機變量概率密度函數連續型隨機變量的概率密度函數（PDF）描述了隨機變量在某個區間內取值的概率分布情況。概率密度函數定義正態分布、均勻分布、指數分布等。常見連續型隨機變量分布隨機變量函數是由隨機變量構成的函數，其取值也是隨機的。當已知隨機變量的分布時，可以通過一定的方法求出隨機變量函數的分布。例如，通過卷積公式可以求出兩個獨立隨機變量之和的分布。隨機變量函數定義隨機變量函數的分布隨機變量函數分布03多維隨機變量及其分布聯合密度函數定義對于連續型二維隨機變量(X,Y)，其聯合密度函數f(x,y)描述了(X,Y)在點(x,y)處的概率密度。性質聯合分布律/密度函數必須非負，且其所有可能取值的概率之和/積分為1。聯合分布律定義對于二維隨機變量(X,Y)，其聯合分布律描述了X和Y同時取值的概率，即P{X=xi,Y=yj}。二維隨機變量聯合分布律/密度函數

邊緣分布律/密度函數邊緣分布律定義二維隨機變量(X,Y)中，X或Y單獨取值的概率分布律稱為邊緣分布律，即P{X=xi}或P{Y=yj}。邊緣密度函數定義對于連續型二維隨機變量(X,Y)，X或Y單獨取值的概率密度函數稱為邊緣密度函數，即fX(x)或fY(y)。性質邊緣分布律/密度函數可以通過對聯合分布律/密度函數進行求和/積分得到。在二維隨機變量(X,Y)中，當已知X=xi時，Y的條件分布律描述了Y在X=xi條件下的取值概率，即P{Y=yj|X=xi}。條件分布律定義對于連續型二維隨機變量(X,Y)，當已知X=x時，Y的條件密度函數描述了Y在X=x條件下的概率密度，即fY|X(y|x)。條件密度函數定義條件分布律/密度函數可以通過聯合分布律/密度函數和邊緣分布律/密度函數計算得到。性質條件分布律/密度函數定義如果二維隨機變量(X,Y)的聯合分布律/密度函數可以表示為兩個邊緣分布律/密度函數的乘積，即P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}或f(x,y)=fX(x)fY(y)，則稱X和Y是相互獨立的。性質相互獨立的隨機變量之間沒有相互影響，一個隨機變量的取值不會影響另一個隨機變量的取值。相互獨立隨機變量04隨機變量數字特征數學期望定義數學期望是隨機變量取值的平均值，用于描述隨機變量取值的“中心位置”或“平均水平”。要點一要點二數學期望性質數學期望具有線性性質，即對于任意常數a和b，以及隨機變量X和Y，有E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。此外，數學期望還具有正態分布的性質，即若X服從N(μ,σ^2)分布，則E(X)=μ。數學期望定義及性質方差定義方差是隨機變量取值與其數學期望之差的平方的平均值，用于描述隨機變量取值的離散程度。標準差定義標準差是方差的算術平方根，用于描述隨機變量取值的波動范圍。協方差定義協方差是衡量兩個隨機變量變化趨勢的統計量，如果兩個隨機變量同時向相反方向變化（即一個增加，另一個減少），則它們的協方差為負值；如果兩個隨機變量同時向相同方向變化（即兩者都增加或兩者都減少），則它們的協方差為正值。方差、標準差和協方差要點三相關系數定義相關系數是衡量兩個隨機變量之間線性相關程度的統計量，取值范圍為[-1,1]。當相關系數為1時，表示兩個隨機變量完全正相關；當相關系數為-1時，表示兩個隨機變量完全負相關；當相關系數為0時，表示兩個隨機變量不相關。要點一要點二矩定義矩是描述隨機變量分布形態的統計量，包括原點矩和中心矩。原點矩是隨機變量取值的k次方與其概率的乘積之和，而中心矩是隨機變量取值與其數學期望之差的k次方與其概率的乘積之和。協方差矩陣定義協方差矩陣是由多個隨機變量的協方差組成的矩陣，用于描述多個隨機變量之間的線性相關關系。協方差矩陣的對角線元素為各個隨機變量的方差，而非對角線元素為不同隨機變量之間的協方差。要點三相關系數和矩、協方差矩陣05大數定律和中心極限定理含義大數定律是描述隨機事件在大量重復試驗中呈現出的穩定性的一種規律。表現形式隨著試驗次數的增加，隨機事件發生的頻率逐漸穩定于某一常數，即該隨機事件發生的概率。應用場景在保險、金融、醫學等領域中，大數定律被廣泛應用于風險評估和決策分析。大數定律含義中心極限定理是概率論中的一組定理，它指出在大量獨立隨機變量的和或平均值的分布將趨向于正態分布，即使這些隨機變量本身并不服從正態分布。表現形式當樣本量足夠大時，樣本均值的分布將趨近于正態分布，且樣本均值的期望等于總體均值，樣本均值的方差等于總體方差除以樣本量。應用場景中心極限定理在統計學中具有重要的地位，它是許多統計推斷方法的基礎，如置信區間、假設檢驗等。同時，在實際問題中，如質量控制、生物醫學研究等領域也廣泛應用了中心極限定理。中心極限定理06數理統計基本概念研究對象的全體個體組成的集合，通常用一個概率分布來描述。總體從總體中隨機抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體的性質。樣本樣本中包含的個體數目，通常用n表示。樣本容量總體與樣本統計量樣本的函數，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。抽樣分布統計量的概率分布，描述了統計量在多次抽樣中的分布情況。抽樣分布的性質包括期望、方差、分布形態等，決定了統計推斷的準確性和可靠性。統計量與抽樣分布性質這些統計量都是無偏的、一致的、有效的，且在大樣本情況下具有漸近正態性。樣本相關系數兩個隨機變量樣本觀測值之間的線性相關程度的標準化度量，用于估計總體相關系數。樣本協方差兩個隨機變量樣本觀測值之間的線性相關程度，用于估計總體協方差。樣本均值所有樣本觀測值的算術平均數，用于估計總體均值。樣本方差樣本觀測值與樣本均值之差的平方的平均數，用于估計總體方差。常用統計量及其性質07參數估計方法利用樣本矩來估計總體矩，從而獲得參數的估計值。矩估計法根據樣本數據，選擇使得似然函數達到最大值的參數值作為估計值。最大似然估計法通過最小化誤差的平方和來尋找數據的最佳函數匹配，從而得到參數的估計值。最小二乘法點估計方法利用樣本數據構造一個區間，使得這個區間以一定的概率包含總體參數的真值。置信區間法根據樣本數據確定一個區間，使得總體參數落在這個區間內的概率達到預定的水平。容忍區間法在貝葉斯統計框架下，利用先驗信息和樣本數據構造參數的后驗分布，并基于后驗分布給出參數的區間估計。貝葉斯區間估計法010203區間估計方法08假設檢驗方法原假設與備擇假設在假設檢驗中，原假設（$H_0$）通常表示沒有差異或沒有效應，而備擇假設（$H_1$）則表示存在差異或有效應。檢驗統計量是根據樣本數據計算出的用于判斷原假設是否成立的統計量。拒絕域是檢驗統計量取值的范圍，當檢驗統計量落入拒絕域時，我們拒絕原假設。顯著性水平（$alpha$）是事先設定的一個概率值，用于確定拒絕域的大小。P值是在原假設下，觀察到的樣本數據或更極端情況出現的概率。當P值小于或等于顯著性水平時，我們拒絕原假設。檢驗統計量與拒絕域顯著性水平與P值假設檢驗基本原理單個正態總體均值假設檢驗當總體服從正態分布，且方差已知時，可以使用Z檢驗對單個正態總體均值進行假設檢驗。當總體方差未知時，可以使用t檢驗。單個正態總體方差假設檢驗對于單個正態總體方差的假設檢驗，可以使用卡方檢驗。卡方檢驗統計量是樣本方差與總體方差之比，服從卡方分布。