第三章要點提示

1.導數的概念設函數y=/(x)在點/的某個鄰域內有定義，如果極限

lim包=lim

—/\xAv-＞。Ax

存在，則稱函數y=/(x)在點與處可導，并稱該極限值為函數)，=/(%)在點與處的導數，

記為/(%)，半，或竿

dxdx

即

，、/」1_=.螞.4了v_=r螞/(項)+小)一/Uo)

如果極限不存在，我們稱函數y=/(x)在點/處不可導，也稱導數不存在.

2.導數的幾何意義：曲線y=/(x)在點M(x°J(x。))處切線的斜率等于函數y=/(x)

在/點的導數/'(%).

3.導數的四則運算法則

若函數/(x),g(x)在x點可導，則它們的和、差、積、商(分母不為零)在x點均

可導，且

(1)(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)

(2)(/(%)?g(.)'=/'(x)?g(x)+/(x)g'(x)

特別地，(0%x))'=07x)(C為常數)。

(3)必可J(x)?g(?-/(x)g'(x),g(Q0

UwJg2(x)

特別地，f—"l=一坐也.

U(X)Jg2(X)

4.復合函數的求導法則

設函數y=/[g(x)]由y=f(u),u=g(x)復合而成。如果“=g(x)在點無可導，y=f(u)

在點M=g(x)處可導，則復合函數y=/[g(x)]在點x可導，且

(7(g(x)))'=7'(g(x))-g'(x)

dydydu

或—=—?—

drdudx

5.導數基本公式。

(1)(C)'=0(2)(￡')'=T

⑶(ax)'=a'\na,特別地,

(4)(log?x)'=——,特別地,(lnx),=-

x\naX

(5)(sinx)'=cosx(6)(cosx)'=-sinx

/、，1

⑺(tanx)'=-(8)(cotx)=一一7^

cosxsin-x

1

(arcsinx)'=1(10)(arccosx)'--

(9)4^7

(arctanxy=—^1

(11)(12)(arccotx)'=一

1+X1+x2

6.微分定義

設函數y=/(x)在x0點可導，則稱dy=f\x0)\x為函數y=f(x)在點/的微分.

微分的應用：\y~dy.

7.彈性的定義

X

若函數y=/(x)在區間(。,加內可導，并且/(x)w0,則稱紇y=/'(x)?一為函數

y

y=/(x)在區間(a,㈤內的點彈性函數，簡稱彈性函數。

習題3.1

1.用導數定義求下列函數的導數。

(1)/(x)=x2+2x(2)f(x)=-

X

解：⑴r(x)=lim-T⑴

&T。AX

「(x+Jx)2+2(x+Jx)-x2-2x

=lim-----------------------------

2xAx+zbr+2Ax

=lim----------------

Ar->0JX

=2x+2

/、V/(X4-zlx)-/(x)

r

(2)f(x)=lim------八

4r4/\X

1j_

=hmX+AxX

a—。AX

=lim--------=——r

小3(x+Ax)xx

2.設下列各題中的/'（/）均存在，求下列各式的極限值。

⑵Hm熱也必^

(1)1加上5二網二」筑

^->0Arh-0h

⑷lim巫32

(3)lim4/U0+-)-/(x0)]

"f8〃fox-x^

切

解：⑴h.m.Uf_(x20----A-x)'-八f(x°0’)

及TOAx

=Tim，(Xo-4x)-/(%)

dx-?O-Ax

=-f'?)

(2).

20h

lim"Q°+⑶一f(x。)]+"(/)-A%。一創

2°h

=1而"*。+1―/*。)]+Hm"-—初

hoh/T°h

=ruo)+/vo)=2r(xo)

(3)lim4/(x+-)-/(%())]

?8"0

/(x0+—)-/(x0)

=lim---------------

n->ooI

n

=./(X。)

/2(x)—/2(x°)

(4)lim

1項x-x0

[/(x)+/(x)]-[/(x)-/(x)]

—iirn00

x-x0

hm[/(x)+/(/)]?hm'-------

XT.%

XTX。X-X()

=2/u0)r(x0)

3.討論下列函數在x=0的連續性與可導性：

xN0

(1)f(x)=x\x\(2)/(x)=｛；

xe,x<0

解：(1)因為

lim/(x)=limxlxl=0=/(O)

x->0x->01

所以/(x)=x|x|在x=0是連續的。又

lim/(O+Ar)-/(O)

小t。Ax

=lim"卜。

43。AX

-lim\Ax\=0

4—()11

所以y(x)二x|x|在x=0是可導的，且尸(0)=0。

(2)因為

limf(x)=limx2=0=/(O)

limf(x)=limxex=0=/(O)

x^0~x-^)~

故lim/(x)=lim/(x)=/(O),即/(%)在x=0即右連續也左連續，所以/(x)在x=0

x^0~x->0+

是連續的。又

/(O+Ar)—/(O)

八0.)=&

Ax

.Ax~—0

lim-------

—十/\x

limAx=0

Jx->0+

八吁盤

AxeAx-0

lim

zLr->0-Ax

lim=1

&T。-

因為/'(0+)。/'(0一)，所以，/(x)在x=0不可導。

4.討論函數

x-\X<0

2x0<x<1

fM=<九2+11<x<2

1,

—x+4x>2

2

在點x=0,x=l及x=2處的連續性和可導性。

解：當x=O時，

limf(x)=lim2x=0w/(O)=-1

+

x^O入3+

故/(%)在x=0不是右連續，所以/(x)在x=0不連續的，因而不可導。

當x=l時,

lim/(x)=lim2x=/(I)=2

limf(x)=limx2+1=/(I)=2

x—?rx->i+

故lim/(x)=lim/(x)=，l),即/(x)在x=l右連續且左連續，所以，/(x)在x=l是

x-?「x-M*

連續的。又

八l)=lim'T⑴

5X-l

limZ￡zZ=2

X~1

草……⑴

x-1

x~+1—2

=lim

Xfl+x—1

xMX-l

所以有"1)=草1)，即/(%)在x=l是可導的。

當x=2時，

limf(x)-limx2+1=/(2)=5

x->2-x-^T

lim/(%)=lim—x+4=/(2)=5

x->2+A->2+2

故lim/(x)=limf(x)=/(2),即/(x)在x=2右連續且也左連續,所以,f(x)在x=2

.12-.12+

是連續的。又

.2)=lim.幻_/⑵

EX-2

lim*+J5=4

T-x-2

于:⑵=lim/⑴―1⑵

12+X-2

1U

-x+44-51

r21

=lim--------=—

x->2+X—22

因為￡(2)工九'(2),故/(x)在x=2不可導。

5.一物體的運動方程為s=〃+4,求該物體在1=10時的瞬時速度。

解：v(Z)=s'=(r+4/=It

物體在t=10時的瞬時速度為v(10)=2-10=20o

6.求曲線/(x)=/在點(1,1)處的切線方程和法線方程。

解：曲線/(x)=,在點(1,1)處的切線的斜率為

/'(x)k=3，仁=3

曲線f(x)=/在點(1,1)處的切線方程為

j-l=3(x-l)

曲線f(x)=/在點(1,1)處的法線方程為

f+1r>1

7.試確定常數凡6的值，使得函數”元)='一在x=l處可導。

or+仇x<l

解：因為該函數在%=1處可導，所以該函數在x=l處連續。因此有

lim/(x)=limf(x)=/(1)

x—F.rfl-

即limax+h=limx2+1=/(I)=2

A-->Ex-?r

a+b=2

一=hm…⑴

X-i

「(vc+b-2

=lim---------

*TrX-l

..ax-a

=lim-----=a

「x-1

力⑴=lim/G)_1⑴

IlX-1

1.+1—2

=lim--------

+x-1

2

rx-l.

=lim-----=2

f+x-1

由力1)=力⑴得

a-2,b-0

8.證明：在曲線盯=1上任意一點處的切線與兩個坐標軸所構成的面積都等于2。

證明：設點(%,為)是曲線孫=1的點，則與凡=1，且在該點的切線方程為

了一，＞=7'(*0)(*一*0)

而y'(x0)=一一L，所以切線方程為y—y0=--L(x—x0)，該切線方程在工軸和為y軸

X。X()

的截距長分別為

因=卜0+盟/斗，lyl=y0+—

*0

切線與兩個坐標軸所構成的面積為

^lJrklyl=||xo+Joxo2|-%+g

]2

=-[XOJO+1+(XOJO)'+XOJO]

=2

x>0

9.證明函數/(x)=在x=0處連續，但不可導。

x<0.

證明：因為

[.\[.vxTl—1

limj(X)=lim7=—

XT0+xr0+

1.x1

=—

“f。VX\/x+l+l

=0

所以limf(x)=limf(x)=f(0),故該函數在X=0處連續。

xf(rxf(r

又

x/TTT-i

草0)=物與*=物吉

=lim廠I...........——不存在

*f。+yjX^\JX+1+1)

故該函數在x=0處不可導。

10.設某商品的需求函數。式尸)=一5尸+1000,求邊際需求函數Q/(P)。

解

-5(P+AP)+1000-(-5^+1000)

(于)=螞=-5

AP

這一結果表示該商品的價格每增加一個單位，需求量就會減小5個單位。

習題3.2

1.利用導數的四則運算法則，求下列函數的導數：

(1)y=2x4-3x3+2-x-2

解：y=8x3-9x2+2x-3

(2)y=(x+a)(x+b)

W：y=x2+(。+6)％+。力

y,=2x+a+b

1+x

⑶y=--

l-x

版tJ+X\,1—x-(l+x)?(-1)2

解：y=(-----)=------------------=------y

l-x(1一x)~(1-x)-

(4)y=xlnx

解：=(xInx)r=Inx+x?—=Inx+1

x

(5)y=4eA-Inx

解：yf=4(ex?—+lnx)=4ex(—+Inx)

XX

(6)y=xarcsinx

.x

解：y=arcsmx+/

Vl-x2

(7)y=2x-x2

解：y=2XIn2-x2+2x-2X=2X(In2?x2+2x)

3

(8)y=xcosx

解：yf=3x2cosx-x3sinx=x2(3cosx-xsinx)

1-sinx

(9)>=

,—cosx(l4-sinx)—(1—sinx)cosx

解:y=

(1+sinx)2

-2cosx

(l+sinx)2

(10)j=Inx2+x2Inx

2i2

解：yr=—k2xlnx+x2-—=—Fx(2lnx+1)

XXX

(11)y=xsinx+cosx

解：>'=sinx+xcosx-sinx=xcosx

(12)y-xex-Inx

解：y=ex+xex」=/(1+工)」

xx

cosx

(13)y=----------

1+sinx

—sinx(l+sinx)-cosx?cosx

解:y=

(1+sinx)2

sinx+11

(l+sinx)2sinx+1

(14)y=x^2arctanx

%2

f

解：y=2xarctanx4----------r

1+x2

、〃一lnx

(z15)y=---------

a+lnx

a+lnxa-\nx

解："一-------一烏J

(tz+lnx)x(a+lnx)

(16)y=xsinxlnx

解：y'=sinx?Inx+xsinx-----xcosx-lnx

x

=sinx-Inx+sinx+xcosxlnx

2.求下列函數的導數：

(1)y=(l+x3)2

解：y=2(i+x3)(i+x3y=6x2(i+x3)

(2)y=22"i

解：y=22X+IIn2?(2x+1)'=21n2?22r+,

(3)y=Vl+lnx

1f

解：V=-j(1+Inx)=——/1

2，l+lnx2xvl+lnx

(4)

解：y=esinA(sinxy=cosxesinA

(5)y=(arctanx)3

r2f

解：y=3(arctanx)(arctanx)=3(a「cta\")

1+JT

(6)y=tanx3

(7)y=tan3x

…，C9/\'3sin-x

解：y=3tan^x(tanx)=---------

cosX

(8)y=exsinex+cosex

解：y'-exsinex+excosex-ex-sinex-ex-e2xcosex

(9)y=sin2(cosx)

解：yr=2sin(cosx)?cos(cosx)(-sinx)=-sinx-sin(2cosx)

(10)y=(Jl+x+Jl-x)2

解：yr=2(Jl+x+Jl—x)(Jl+x+Jl-x)，

=3(J1+x+Jl-x)(—/-----/)

2jl+x2vl-x

(寫

2

_3x

Vl-x2

(11)y=\n(x+\lx2+a2)

解：y'=------J(x+&+k)，

x+ylx2+a2

(12)y=6公(sin法+coshx)

解：y=ae"'(sinbx+cosZ?x)+e"(bcosbx-bsinbx)

=(a+/?)/cosZzx+(。一b)eaxsinbx

=[(a+b)cos。尤+(q-b)sin

3.設/(x)是可導的函數，求下列函數的導數：

(1)y=f(G)

解：y'=)(Vxy=

21x

(2)y=

解：=，/(x)=，y)

27/0)2y[fM

(3)y=f(ex)

解：y'=exf(ex)

(4)y=ef(x}

解：y=e/(x)r(x)

(5)y=sin/(2x)

解：/=2cos/(2x)-fr(2x)

(6)y=/(xsin2x)

解：y=/7xsin2x)-(sin2x+2xsinxcosx)

=(sin2x+xsin2x)/'(xsin2x)

(7)y=/(sin2x)+/(cos2x)

解：yf=/r(sin2x)-2sinxcosx+/r(cos2x)-2cosx?(—sinx)

=sin2x[//(sin2x)-/'(cos2x)]

(8)y=f(x2Inx)

解:yr=f\x~Inx)[2xlnx+解?—]

=x(21nx+1)fr(x2Inx)

4.求下列分段函數的導數:

，.2

sin-x

xw0

⑴/*)=<X

0,x=0

解：當xwO時,

2xsinxcosx-sin2x

ff(x)=(―)'

X

sinx(2xcosx-sinx)

x2

當x=0時,

sin2x

r(0)=lim幺上幽=

.t->0x-0x->0x-0

sin2x,

-lim——；-=1

ior

sinx(2xcosx-sinx)

xwO

f'M=<x2

1x=0

x

x^O

\+el,x

⑵/(%)=

0x=0

解：當xwO時,

,/r

l+el/x-xe-4

r（x）=（—―y=￡

l+e,/x(1+S

j(l+e"*)+e”，

x(l+e,/A)2

當x=0時,

XA

ff(0)=lim,C。)=lim丘之一

i。x—01。x-0

因為x-o+,e"xf+oo,九'(0)=0,x-0一，e"x->0,￡(0)=,所以當x=0時,

函數不連續，故不可導。

5.求下列函數的二階導數：

(1)y=ln(l+x2)

,2x

解:y—■7

1+X-

2x2(1+X2)-2X-2X2(1—x2)

r=()=一

1+x2(1+x2)2(1+x2)2

⑵y=sin2x-e*

解:y'=2cos2x-ex+sin2x-e*=(2cos2x+sin2x)ex

y”=[(2cos2x+sin2x)e']'

=[(-4sin2x+2cos2x)e*]+(2cos2x4-sin2x)ex

=(4cos2x-3sin2x)ex

⑶J=xcosx

解:y'=cosx—xsinx

y"——sinx—sinx—xcosx

——2sinx—xcosx

1

(4)

>=11~—~Xr

11,1

解:)

y=1[(i-x)-2-(i+x)-2]

/=^[2(1-X)-3+2(1+X)-3]

=(l-x)-3+(l+x)-3

6.驗證函數y=",sinx滿足關系式y"-2y'+2y=0。

解：yf=ex(sinx+cosx),

y"=eJ[(sinx+cosx)+(cosx-sinx)]=2cosxe*

將y,y',y"帶入方程左端有

yn-2y'+2y=2cosxex—2(sinx+cosx)ex+2sinxex=0

即y=e*-sinx滿足關系式y"-2y'+2y=0。

7.設/(x)可導，求下列函數的導數：

⑴y=xf(x2)

解：V=/(X2)+W2)-2x=/(x2)+2x2f(x2)

(2)y=(1+x2)/(arctanx)

解：yr=2i/(arctanx)+(1+x2)/z(arctanx)----r

1+x-

=2xf(arctanx)+/\arctanx)

解：yf=-e^xf(ex)+e-xff(ex)ex

=-)(/)+/，(/)

(4)y=xf(lnx)

解：yr=f(Inx)+xff(lnx)-—

x

=/(lnx)+/z(lnx)

8.求下列方程所確定的隱函數的導數位：

dx

(1)xy+ey+y=2

解：方程兩邊對x求導，有

尹》曳+/.空+電=0

dxdxdx

從上式中解出空，得

dx

a=，

dx(x+e，+l)

(2)x3+y3-3xy=0

解：方程兩邊對x求導，有

從上式中解出電，得

dx

dy_y-x2

dxj2-x

(3)y-x2ey=1

解：方程兩邊對x求導，有

曳-2xe，*e也=0

dxdx

從上式中解出生，得

dx

dy_2xey

dx1-x2e，

(4)xy=ex+y

解：方程兩邊對x求導，有

y+X型=ef(l+^)=Xy(l+

dxdx

從上式中解出生，得

dx

dy=y(x-l)

dxx(l—y)

(5)Inj=xy+cosx

解：方程兩邊對x求導，有

—?—=j+x--sinx

ydxdx

從上式中解出生，得

dx

dy_y(y-sinx)

dx1-xy

(6)siny+ey-xy2=e

解：方程兩邊對x求導，有

cos可也+/.電一/_2到業=o

dxdxdx

從上式中解出生,

得

dx

dy二/

dxcosy+ey—2xy

9.若y是由方程y=l—x"所確定的隱函數，求y4|I=0

解：方程兩邊對X求導，有

更=_0，7”.包⑴

dxdx

由原方程當x=Ofhf,y=l,將x=0,j=1代入（1）得

沙。”

(1)式兩邊再求導有

d2y=_/包-/曲_X/.（業）2f也

V*</人yJ今

dx2dxdxdxdx

_2/且7屋心

dxdxdx2

將x=0,丁=1及半|

*=o=-e代入上式得

dx

2

^r|x=0=-2e-（-e）-0-0=2e

222也歷

10.求曲線爐+y3二=。3在點（Jq,J?處的切線方程和法線方程。

44

222

解：對方程兩邊求導得

222JZ/T

解得步一點

曲線Xf3s在點丁丁)處的切線斜率是

y3

XJ

dv石=

旦1

-

1-3

蟲J

六4

所以，所求切線方程是

￡/

44

即

x+尸也a=。

2

所求法線方程是

y-?)

44

即

y=x

求下列函數的導數出:

II.利用對數求導法,

dr

(1)y=xx

xxnx

解y=x=e',

/=exlnx(xlnxy=exlnx(lnx+x--)=xx(l+lnx)

x

(2)j=xln2x

解y=xln2x=e,n2xlnx,

y=eln2jc,nx(ln2x-liixy

=eln2xlnx(2,J_.lnx+|n2X.l)

2xx

xln2xln2x2

x

_1(1+x)(2+x)

V(3+x)(4+x)

1(1+x)(2+x)

解：lny=ln

Y(3+X)(4+X)

=l[ln(l+x)+ln(2+x)-ln(3+x)-ln(4+x)]

上式兩邊求導得

r

y1r1111,

y21+x2+x3+x4+x

所以

,1「11111

y=—y[----+--------------------]

21+x2+x3+x4+x

j_(l+x)(2+x)1111

2V(3+x)(4+x)1+x2+x3+x4+x

⑷廠。-02+上

7U+D5

解：皿=加丁+方

J(X+l)5

=ln(l-x)+31n(2+x)-^ln(x+1)

上式兩邊求導得

y-i35

—=-----1----------------

y1—x2+x2(x4-1)

所以

------1------------------

1—x2+x2(x+l)

(1—x)(2+x)'335

J(X+1)52+x2(x+l)

12.求下列函數的”階導數。

(1)y=

(2)y=-^-

2-x

解(1)y=e2A+l,則y'=2e2x+1,反復求導有

—+|嚴=2/1

(2)y=」一，則

2-x

，，一1

、一(27)2

，“二2

(27)3

/=-2^

'(2-x)4

一般地，y["}--、.)“+],n>\o即

(1丫"n\

\2-x)(2-x)n+l

習題3.3

1.已知y=/-x,計算當x=2,Ax=0.01時的少及dy。

22

解：Ajx=2=(2+0.01)-(2+0.01)-(2-2)

Ar=0.01

=2.2-0.01+0.012-0.01

=3-0.01+0.012=0.0301

2

dyx=2=(x-xy|x=2Ar=O.O3

Ax=0.01

2.求下列函數的微分

(1)y——H3-\/x

尤

解：因為

,13

y=7+-7=

X-

所以

,z13、,

dy=(一一-+—i=)dx

X~2yjx

(2)y=x?cos2x

解：因為

y'=cos2x_2xsin2x

所以

dy=(cos2x—2xsin2x)dx

(3)y=(x+l)e"

解：因為

y'=e*+(x+l)e*=(x+2)ex

所以

dy=(x+2)exdx

(4)y=[ln(l-x)]2

解：因為

y=21n(l-x).三=2E(l-x)

1-xx—1

所以

,21n(l-x),

dy=------------ax

x-1

(5)y=x2-e2x

解：因為

yr=2x?e2x+x2?e2x-2=2x(1+x)?e2x

所以

dy=2x(1+x)-e2xdx

(6)j=sin2(x2+2)

解：因為

yf=2sin(x2+2)cos(x2+2)-2x

=2xsin2(x2+2)

所以

dy=2xsin2(x2+2)dx

(7)y=/支.inx

解：因為

/=-3e'-3xlnx+eT*，=(_L_3Inx)et*

XX

所以

dy=(--31nx)el~3xdx

x

(8)j=In2(1+sinx)

解：因為

I2cosx

yr=2In(l+sinx)*----------?cosx=-----------In(l+sinx)

1+sinx1+sinx

所以

dy=加(1+sinx)dx

1+sinx

(9)y=arcsin2x2

解：因為

y,=-4x-

Vl-4x4

所以

4x

dy=,dx

Vl-4x4

(10)y=arctan(l+x2)

解：因為

,=I、2x

‘-l+(x2+l)2-X-l+(x2+l)2

所以

2x

dy=------------z---------^dx

l+(x2+l)2

3.求由方程x+e，=2xj所確定的函數y=y(x)的微分由，。

解：方程兩邊對x求導，有

1+e，?y'=2y+2xyf

從上式中解出V，得

所以

,2j-l

dy=-----dx

ey-2x

4.一個直徑為20厘米的球，球殼厚度為0.2厘米，求該球殼體積的近似值。

4a

解：半徑為r的求體積為V=/(r)=-7tr\當r=10,Ar=-0.2,球殼體積為

44

AV=—兀/-—兀(r+Ar)3

4