概率論與數理統計隨機變量及其分布匯報人：AA2024-01-19隨機變量及其分布概述常見離散型隨機變量分布常見連續型隨機變量分布隨機變量函數的分布多維隨機變量及其分布隨機變量的數字特征與極限定理目錄01隨機變量及其分布概述隨機變量是定義在樣本空間上的實值函數，它將樣本空間中的每一個樣本點映射到一個實數。隨機變量定義隨機變量具有可測性、單調性和有界性等基本性質。其中，可測性是指隨機變量的取值可以被概率測度所描述；單調性是指隨機變量的取值在一定條件下具有單調遞增或遞減的性質；有界性是指隨機變量的取值范圍在一定條件下是有限的。隨機變量性質隨機變量定義與性質分布律定義離散型隨機變量的分布律是指描述隨機變量取各個值的概率的規律，通常用分布列或分布函數表示。常見離散型隨機變量分布常見離散型隨機變量分布包括二項分布、泊松分布、幾何分布等。離散型隨機變量定義離散型隨機變量是指其取值只能是有限個或可列個實數的隨機變量。離散型隨機變量及其分布律01連續型隨機變量是指其取值可以充滿某個區間或多個區間的隨機變量。連續型隨機變量定義02連續型隨機變量的概率密度函數是一個描述隨機變量取值概率分布情況的函數，通常簡稱為密度函數。概率密度函數定義03常見連續型隨機變量分布包括均勻分布、正態分布、指數分布等。常見連續型隨機變量分布連續型隨機變量及其概率密度函數分布函數與隨機變量的關系分布函數是一個描述隨機變量取值落在某個區間內的概率的函數，通常記為F(x)。對于離散型隨機變量，其分布函數為階梯狀；對于連續型隨機變量，其分布函數為連續曲線。分布函數定義分布函數與隨機變量之間存在密切的關系。一方面，分布函數可以完全確定一個隨機變量的概率分布情況；另一方面，通過隨機變量的取值可以求得相應的分布函數的值。因此，在概率論與數理統計中，常常通過研究分布函數來了解和分析隨機變量的性質和行為。分布函數與隨機變量的關系02常見離散型隨機變量分布概率質量函數P{X=k}=C_n^kp^k(1-p)^(n-k)，k=0,1,2,...,n。期望和方差E(X)=np，D(X)=np(1-p)。定義在n次獨立重復的伯努利試驗中，設每次試驗成功的概率為p，則成功次數X服從參數為n,p的二項分布。二項分布定義泊松分布是一種描述單位時間內隨機事件發生的次數的概率分布。泊松分布的參數是單位時間（或單位面積）內隨機事件的平均發生率λ。概率質量函數P{X=k}=(λ^k/k!)e^(-λ)，k=0,1,2,...。期望和方差E(X)=λ，D(X)=λ。泊松分布定義在伯努利試驗中，記每次試驗中事件A發生的概率為p，試驗進行到事件A首次出現為止，此時所進行的試驗次數X服從參數為p的幾何分布。概率質量函數P{X=k}=(1-p)^(k-1)p，k=1,2,...。期望和方差E(X)=1/p，D(X)=(1-p)/p^2。幾何分布超幾何分布在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品的概率分布稱為超幾何分布。超幾何分布的參數是N,M,n。概率質量函數P{X=k}=C_M^kC_(N-M)^(n-k)/C_N^n，k=0,1,...,min{n,M}。期望和方差E(X)=nM/N，D(X)=(nM/N)((N-M)/N)((N-n)/(N-1))。定義03常見連續型隨機變量分布定義在概率論和統計學中，均勻分布也叫矩形分布，它是對稱概率分布，在相同長度間隔的分布概率是等可能的。性質均勻分布由兩個參數a和b定義，它們是數軸上的最小值和最大值，通常縮寫為U（a，b）。應用均勻分布在自然情況下極為罕見，同樣來由的是指數分布，像身高、體重、成績分數、考試分數在總體上都服從或近似服從均勻分布。010203均勻分布010203定義指數分布（也稱為負指數分布）是描述泊松過程中的事件之間的時間的概率分布，即事件以恒定平均速率連續且獨立地發生的過程。性質指數函數的一個重要特征是無記憶性（MemorylessProperty，又稱遺失記憶性）。這表示如果一個隨機變量呈指數分布，當s,t>0時有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。應用在排隊論中，一個顧客接受服務的時間長短用指數分布來近似。電話交換臺收到的呼叫、來到某公共汽車站的乘客、某放射性元素發射出的粒子、顯微鏡下某區域中的白血球等等，以單位時間內按泊松分布的數目到達。指數分布定義正態分布（Normaldistribution），也稱“常態分布”，又名高斯分布（Gaussiandistribution），最早由A.棣莫弗在求二項分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質。是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分布，在統計學的許多方面有著重大的影響力。要點一要點二應用正態分布在醫學的參考值范圍確定、醫學數據處理、醫學實驗設計、醫學研究和醫學論文撰寫中，均有著廣泛的應用。正態分布對數正態分布性質對于X是對數正態分布的隨機變量，均值M(X)和方差D(X)通過公式計算得到。定義如果Y是正態分布的隨機變量，則exp(Y)為對數正態分布；同樣，如果Y是對數正態分布，則ln(Y)為正態分布。如果一個變量可以看作是許多很小獨立因子的乘積，則這個變量可以看作是對數正態分布。一個典型的例子是股票投資的長期收益率，它可以看作是每天收益率的乘積。應用對數正態分布可用于描述股票收益率的分布情況。從長期來看，股票市場的收益率的分布也可以看作是對數正態分布。04隨機變量函數的分布分布律的確定通過概率質量函數（PMF）確定離散型隨機變量取各個值的概率。期望和方差的計算利用分布律計算離散型隨機變量的期望和方差，衡量隨機變量的平均水平和波動程度。常見離散分布了解并掌握常見的離散分布，如二項分布、泊松分布等，以及它們的性質和應用場景。離散型隨機變量函數的分布030201概率密度函數的確定通過概率密度函數（PDF）描述連續型隨機變量的分布情況，反映隨機變量取值的概率大小。分布函數的性質了解分布函數的性質，如單調不減、右連續等，以及它與概率密度函數的關系。常見連續分布熟悉常見的連續分布，如正態分布、指數分布等，掌握它們的性質和應用場景。連續型隨機變量函數的分布理解混合型隨機變量的定義，即既包含離散部分又包含連續部分的隨機變量。混合型的定義掌握確定混合型隨機變量分布函數的方法，通常需要考慮離散部分和連續部分的概率加權。分布函數的確定學會計算混合型隨機變量的期望和方差，以便更好地描述隨機變量的統計特性。期望和方差的計算010203混合型隨機變量函數的分布05多維隨機變量及其分布多維隨機變量定義與性質定義多維隨機變量是指取值在多維空間中的隨機變量，通常表示為$X=(X_1,X_2,...,X_n)$，其中$X_i$是一維隨機變量。性質多維隨機變量具有一些基本性質，如獨立性、相關性、協方差矩陣等。這些性質對于描述多維隨機變量的統計特性和進行概率計算具有重要意義。定義二維離散型隨機變量是指取值在二維平面上的離散點的隨機變量，用$(X,Y)$表示。其聯合分布律描述了$X$和$Y$同時取各個值的概率分布。聯合分布律的表示二維離散型隨機變量的聯合分布律可以用一個二維表格來表示，表格中的每個元素表示$X$和$Y$取對應值的概率。二維離散型隨機變量及其聯合分布律VS二維連續型隨機變量是指取值在二維平面上的連續區域的隨機變量，用$(X,Y)$表示。其聯合概率密度函數描述了$(X,Y)$落在某個區域內的概率分布。聯合概率密度函數的性質聯合概率密度函數具有非負性、規范性（全空間積分為1）以及可加性等基本性質。通過聯合概率密度函數，可以計算$(X,Y)$落在任意區域內的概率。定義二維連續型隨機變量及其聯合概率密度函數對于二維隨機變量$(X,Y)$，其邊緣分布是指其中一個隨機變量的概率分布，即$X$或$Y$的分布。邊緣分布可以通過對聯合分布律或聯合概率密度函數進行求和或積分得到。條件分布是指在給定另一個隨機變量取值的條件下，一個隨機變量的概率分布。對于二維離散型隨機變量，條件分布律可以通過聯合分布律和邊緣分布律計算得到；對于二維連續型隨機變量，條件概率密度函數可以通過聯合概率密度函數和邊緣概率密度函數計算得到。邊緣分布條件分布邊緣分布與條件分布06隨機變量的數字特征與極限定理數學期望描述隨機變量取值的“平均值”，反映隨機變量取值的“中心位置”。方差描述隨機變量取值與其數學期望的偏離程度，反映隨機