設(shè)初值條件為：設(shè)解的一般形式為：(2-7-2)

其中為復(fù)數(shù)，并且若將寫成：其中為實(shí)數(shù)。七.差分?jǐn)?shù)值解的耗散(Dissipation)(Dispersion)性質(zhì)

1.微分方程解的耗散或頻散特性考查方程：(2-7-1)則：計(jì)算流體力學(xué)第二章理論基礎(chǔ)(2)將(2-7-2)式代入(2-7-1)方程，得：即將代入:計(jì)算流體力學(xué)第二章理論基礎(chǔ)(2)（2-7-3）

計(jì)算流體力學(xué)第二章理論基礎(chǔ)(2)

此解表示僅當(dāng)時(shí)解的振幅才是衰減的，即為（正）耗散解,而當(dāng)時(shí),振幅隨時(shí)間呈指數(shù)增長(zhǎng)，解將是無界的，有時(shí)也稱為負(fù)耗散解。但不論，波速與波數(shù)k無關(guān)，波速恒為，所以是一種無頻散的解。

2)

，其余的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)均為0。方程為：

解為：討論幾種特例:

1）所有即————行波方程解為:

這表示分解的振幅將始終是，所以解是無耗散的；同時(shí)不論k是多少，波速衡為所以波形不發(fā)生任何變化，所以也是無頻（色）散的解。計(jì)算流體力學(xué)第二章理論基礎(chǔ)(2)解是無耗散的，但不同的分立波（波數(shù)不同），傳播速度不一樣，其傳播速度為即時(shí)k

越大，則波速越大，換言之，波數(shù)較大的子波會(huì)逐步趕上波數(shù)較小的子波，在滿足一定的條件下，將形成孤立波。

，其余的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)均為0。方程為：方程（弧立波方程）解為：類似地討論4).時(shí):計(jì)算流體力學(xué)第二章理論基礎(chǔ)(2)結(jié)論:（1）偶階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)影響解的耗散，并且對(duì)于能被4的整除的偶階項(xiàng)，當(dāng)其系數(shù)為負(fù)時(shí)，是正耗散，為正時(shí)是負(fù)耗散（解趨于無窮）；而其余的偶階項(xiàng)（即不能被4整除的偶階項(xiàng)，例如2階、6階、10階等···）當(dāng)系數(shù)為正時(shí)是正耗散，系數(shù)為負(fù)時(shí)是負(fù)耗散（解）；（2）奇階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)只影響解的頻散（色散）特性，不影響解的耗散特性；（3）方程（2－7－1）的解既有耗散，也有頻散，其耗散及頻散特性與

這兩個(gè)無窮級(jí)數(shù)的和有密切的關(guān)系。計(jì)算流體力學(xué)第二章理論基礎(chǔ)(2)當(dāng)時(shí)，解可以寫成：

2、解的耗散，頻散特性的定量討論方法。例1：解為：

的含義；是相鄰時(shí)間間隔內(nèi)解的振幅的改變；

的含義是相鄰時(shí)間間隔內(nèi)解的相位差的改變。

對(duì)于的每一個(gè)分量（即分立波）；引入放大因子G；G是復(fù)數(shù)對(duì)于復(fù)數(shù)G，可以考察，以及G的幅角：計(jì)算流體力學(xué)第二章理論基礎(chǔ)(2)

★由于只要求G，所以并不一定需要將的仔細(xì)形式寫出，而重點(diǎn)放在和這兩個(gè)瞬時(shí)的解表達(dá)式上。當(dāng)時(shí)

例2：解為；放大因子例3；對(duì)于差分方程的Lax格式：該差分格式的修正方程為（通式）：計(jì)算流體力學(xué)第二章理論基礎(chǔ)(2)初值若，解可寫成回閱(2-7-3)式，其解為：計(jì)算流體力學(xué)第二章理論基礎(chǔ)(2)!注意此時(shí)都是復(fù)數(shù)，其含義不僅僅是振幅了（與的含義不同！！）從的改變包含振幅和相位的改變：因此，若固定空間位置，考慮時(shí)間間隔前后的解之比：

另一方面(2-7-3)式的解，當(dāng)空間位置變化時(shí)，即：當(dāng)時(shí)，或時(shí)相應(yīng)的解的形式改變是：計(jì)算流體力學(xué)第二章理論基礎(chǔ)(2)綜合以上： 對(duì)于線性差分格式(2-7-4)式：

將此假設(shè)代入差分格式(2-7-4)，并考慮對(duì)于線性差分格式，可以分別討論每一個(gè)Fourier分量的關(guān)系，有：

所有項(xiàng)均有并同除以有時(shí)習(xí)慣將寫成，所以放大因子：計(jì)算流體力學(xué)第二章理論基礎(chǔ)(2)討論：對(duì)于任意，要求則充分和必要的條件是：或就是Lax格式的穩(wěn)定條件。從另一角度看，即使，保證了解差分?jǐn)?shù)值解的有界,(穩(wěn)定了！)但數(shù)值解與真解的差別，仍存在著耗散和頻散這兩個(gè)方面的誤差。可通過下列圖示表示：顯而易見，Lax差分格式的解與源方程的解的特性存在差異。與相比計(jì)算流體力學(xué)第二章理論基礎(chǔ)(2)為簡(jiǎn)單起見，討論一維問題；

——守恒型

——非守恒型八、差分格式的守恒性質(zhì)；如果對(duì)一個(gè)差分方程在定義域的任意有限空間內(nèi)作求和運(yùn)算，（即相當(dāng)于在連續(xù)問題中對(duì)微分方程在空間域中作積分運(yùn)算）所得的表達(dá)式仍能滿足該區(qū)域上物理量的守恒關(guān)系，則稱該差分格式具有守恒性，或守恒格式。

例；對(duì)于連續(xù)方程；有限體積域內(nèi)的質(zhì)量守恒律計(jì)算流體力學(xué)第二章理論基礎(chǔ)(2)例1。對(duì)守恒方程用FTCS格式；若從N至M累加:可見，該格式在離散的概念下，所描述的守恒關(guān)系與微分的源方程描述的守恒律是一致的，所以是守恒格式。計(jì)算流體力學(xué)第二章理論基礎(chǔ)(2)例2：Burger方程，其守恒形式是：格式1（由守恒形式出發(fā)）：格式2（由非守恒形式出發(fā)）：請(qǐng)分別討論上述兩個(gè)格式的守恒性質(zhì)。計(jì)算流體力學(xué)第二章理論基礎(chǔ)(2)九、差分格式的保單調(diào)性質(zhì)；保單調(diào)格式的性質(zhì)是指差分格式的計(jì)算，能保持原有函數(shù)的單調(diào)性。保單調(diào)格式對(duì)于防止數(shù)值解在連續(xù)區(qū)出現(xiàn)偽振蕩是非常重要的；保單調(diào)性質(zhì)是指；若所給初值函數(shù)值是的單調(diào)函數(shù)（也可以是分段單調(diào)函數(shù)），那么由保單調(diào)格式計(jì)算得到的也一定是的單調(diào)函數(shù)且與具有相同的單調(diào)性。差分格式的保單調(diào)性質(zhì)將在構(gòu)造TVD格式時(shí)進(jìn)一步闡述。*單調(diào)格式：對(duì)于守恒格式。如果恒有

(其中為自變量的元函數(shù))，則稱為單調(diào)格式。計(jì)算流體力學(xué)第二章理論基礎(chǔ)(2)●單調(diào)格式具有保單調(diào)性質(zhì)證明：設(shè)是單調(diào)的（不失一般性，設(shè)為單調(diào)增加），即

考慮