考點50：利用導數求函數的單調性【思維導圖】【常見考法】考法一：求函數的單調性1.函數y＝4x2單調遞增區間是?！敬鸢浮浚?，+∞）【解析】y′＝8x，令y′＞0，解得x，則函數的單調遞增區間為（，+∞）．2．函數的單調減區間是?！敬鸢浮?，【解析】，，令，解得：，3．函數的單調增區間為?！敬鸢浮俊窘馕觥亢瘮档亩x域，，．故函數的單調遞增區間4.已知定義在區間(－π，π)上的函數f(x)＝xsinx＋cosx，則f(x)的單調遞增區間是_____．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))【解析】f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.令f′(x)＝xcosx＞0(x∈(－π，π))，解得－π＜x＜－eq\f(π,2)或0＜x＜eq\f(π,2)，即函數f(x)的單調遞增區間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).考法二：單調函數求參數1．已知函數在上為增函數，則實數的取值范圍是?！敬鸢浮浚?【解析】由題意可得，恒成立，①時，顯然滿足題意，②時，則根據二次函數的性質可得，，解可得，，綜上可得，．2．已知函數在區間上為增函數，則實數的取值范圍是?！敬鸢浮浚?【解析】函數在區間上為增函數，在區間上恒成立，在區間上恒成立，在區間上恒成立，在區間上單調遞增，，，，3.已知在區間，上單調遞增，則實數的取值范圍是?！敬鸢浮浚?【解析】已知在區間，上單調遞增，在，上恒成立，若，顯然恒成立，符合題意；若，則‘’，在，上是增函數，（1），即，解得，綜上的范圍是，。4.若函數存在單調遞增區間，則的取值范圍是。【答案】， 【解析】存在單調遞增區間在上有解，即在上有解，令，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減又，，，（e）當時，，令，則，當時，，函數單調遞減，，函數單調遞增（e），即，恒成立，此時不滿足題意考法三：非單調函數求參數1.已知函數在上不單調，則的取值范圍是【答案】 【解析】函數的定義域為，函數的導數，若在上不單調，即當時有解，即，則時，有解，由得，即，則即可，得，即實數的取值范圍是。2．函數上不單調的一個充分不必要條件是?！敬鸢浮?【解析】由題意，，函數在上不單調，分子應滿足在有實根，設，時，顯然不成立，時，只需，解得：或，故，。3.函數不是上的單調函數，則實數的取值范圍是。【答案】 【解析】不是上的單調函數，則有2不等的實數解，‘故△，解可得4.已知函數在其定義域內的子區間上不單調，則實數的取值范圍為?！敬鸢浮俊窘馕觥吭谄涠x域內的子區間上不單調，函數在區間上有極值，由得或（舍去），解得：考法四：利用單調性比大小1．已知函數，若，則的大小關系?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意可得：可知在上單調遞增；作出與的圖象，，可得，故，2．已知函數，則的大小關系。【答案】【解析】令，所以是偶函數；當時，，在上是增函數，將圖像向右平移一個單位得到圖像，所以關于直線對稱，且在單調遞增.∵，，，∴，∴，又∵關于直線對稱，∴，∴.3．已知奇函數是R上增函數,則的大小關系。【答案】【解析】由奇函數是上的增函數，可得，以及當時，，當時，，由，則，即為偶函數．因為，所以當時，，當時，．故時，函數單調遞增，時，函數單調遞減．因為，所以．4．已知奇函數的導函數為，當時，，若，，（1），則，，的大小關系正確的是。【答案】 【解析】令，，則在上恒成立，所以為上的遞增函數，因為，（e）（1），（e）（1），又為奇函數，所以（e），5．設定義在上的函數滿足任意都有，且時，，則，，的大小關系是。【答案】【解析】函數f（x）滿足f（t+2）=，可得f（t+4）==f（t），∴f（x）是周期為4的函數．6f（2017）=6f（1），3f（2018）=3f（2），2f（2019）=2f（3）．令g（x）=，x∈（0，4]，則g′（x）=，∵x∈（0，4]時，，∴g′（x）＞0，g（x）在（0，4]遞增，∴f（1）＜＜，可得：6f（1）＜3f（2）＜2f（3），即6f（2017）＜3f（2018）＜2f（2019）．考法五：利用單調性解不等式1.已知函數，則不等式的解集是?！敬鸢浮俊窘馕觥亢瘮担傻?，時，，單調遞增，，，不等式的解集等價于不等式的解集．．．2.已知偶函數的定義域是，，，其導函數為，對定義城內的任意，都有成立，則不等式（2）的解集為?！敬鸢浮浚?【解析】當時，由，得，即．令，則在，，上也為偶函數，且當時，總成立，在上是增函數．不等式（2）可化為（2），則，又，，，解得，，．3．設是定義在上的函數，其導函數為，若，，則不等式（其中為自然對數的底數）的解集為。【答案】【解析】令，則，，，，在上為單調遞增函數，原不等式可化為，根據的單調性得4.設是定義在，上的可導函數，，且，則不等式（a）的解集為?！敬鸢浮?，【解析】是偶函數且大于0，，則為，上的奇函數和增函數，（a）（a