7.5正態分布第七章新課程標準素養風向標通過實際問題,借助直觀觀察,認識正態曲線的特點及曲線所表示的意義.1.理解正態曲線和正態分布的概念.(數學抽象)2.認識正態曲線的特點及曲線所表示的意義.(數學抽象)3.會根據正態曲線的性質求隨機變量在某一區間內的概率.(數學運算)基礎預習初探

N(μ,σ2)

x=μ

【對點練】1.已知隨機變量ξ服從正態分布N(2,25),若P(ξ>c)=P(ξ<c-4),則實數c的值是 (

)A.4

B.3 C.2 D.1【解析】選A.隨機變量ξ服從正態分布N(2,25),則此正態分布對應的正態密度曲線關于直線x=2對稱,又P(ξ>c)=P(ξ<c-4),于是得c+(c-4)=4,解得c=4,所以實數c的值是4.

核心互動探究

【定向訓練】1.正態分布有兩個參數μ與σ,

相應的正態曲線的形狀越扁平 (

)

A.μ越大

B.μ越小C.σ越大

D.σ越小【解析】選C.由正態曲線圖象的特征知選C.

【跟蹤訓練】如圖是當σ取三個不同值σ1,σ2,σ3時的三種正態曲線,那么σ1,σ2,σ3的大小關系是 (

)A.σ1>σ3>σ2>0 B.0<σ1<σ3<σ2C.σ1>σ2>σ3>0 D.0<σ1<σ2<σ3【解析】選D.由圖可知,三種正態曲線的μ都等于0,由μ一定時,σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散,則0<σ1<σ2<σ3.探究點二

正態分布下的概率問題【典例2】(1)已知隨機變量X服從正態分布,即X~N(μ,σ2),且P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,若隨機變量X~N(5,1),則P(X>6)≈ (

)A.0.3413 B.0.3174C.0.1587 D.0.1586【思維導引】建立已知P(μ-σ<X≤μ+σ)與所求P(X>6)的關系,直接求解.或者將所求P(X>6)用μ,σ表示出來,結合對稱性,求X>6對應區域的面積,即為所求概率.

(2)設X~N(1,22),試求:①P(-1≤X≤3);②P(3≤X≤5);③P(X>5).【思維導引】將已知與所求用μ,σ表示出來,結合對稱性,求對應區域的面積,即為所求概率.

【類題通法】正態分布概率求解的注意事項(1)注意對稱:解答此類問題的關鍵在于充分利用正態曲線的對稱性,把待求區間內的概率向已知區間內的概率進行轉化,在此過程中注意數形結合思想的運用.(2)注意面積:正態曲線與x軸所圍成的面積值為1;X落在區間[a,b]上的概率與由正態曲線、過點(a,0)和(b,0)的兩條x軸的垂線及x軸所圍成的圖形的面積相等.(3)只需將所求隨機變量取值范圍的端點值轉化為μ±σ,μ±2σ,μ±3σ之一,然后結合正態分布的對稱性,數形結合(概率相當于面積),求解對應區域的面積即可.題目后面(或試卷前面)有參考數據,不需記憶P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值.【定向訓練】1.已知隨機變量X服從正態分布N(a,4),且P(X>1)=0.5,則實數a的值為 (

)A.1

B.2

C.3 D.4【解析】選A.隨機變量X服從正態分布N(a,4),所以曲線關于x=a對稱,由P(X>1)=0.5,可知μ=a=1.2.抽樣調查表明,某校高三學生成績ξ(總分750分)近似服從正態分布,平均成績為500分.已知P(400<ξ<450)=0.3,則P(550<ξ<600)=

.

【解析】由圖可以看出P(550<ξ<600)=P(400<ξ<450)=0.3.答案:0.3【跟蹤訓練】已知隨機變量X服從正態分布N(4,σ2),P(X<6)=0.78,則P(X≤2)=

.

【解析】P(X≤2)=P(X≥6)=1-P(X<6)=0.22.答案:0.22

W0123P【類題通法】1.生活中常見的正態分布(1)在生產中,各種產品的質量指標一般都服從正態分布.(2)在測量中,測量結果、測量的隨機誤差都服從正態分布.(3)在生物學中,同一群體的某種特征都服從正態分布.(4)在氣象中,某地每年某月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等都服從正態分布.2.利用3σ原則求某區間內取值概率的基本方法(1)根據題目給出的條件確定μ與σ的值.(2)將待求問題向[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]這三個區間轉化.(3)利用上述區間求出相應的概率.【定向訓練】1.(2022·寧波高二檢測)寧波某高中某次高二年級數學測試,經抽樣分析,成績X近似服從正態分布N(90,σ2),且P(84<X≤90)=0.3,該校有500人參加此次測試,估計該校數學成績不低于96分的學生人數為 (

)A.60

B.80

C.100

D.120【解析】選C.由題意知,P(X≤84)=P(X≤90)-P(84<X≤90)=0.5-0.3=0.2,P(X≥96)=P(X≤84)=0.2,則學生人數為500×0.2=100(人).

課堂素養達標

2.已知隨機變量X服從正態分布N(4,9),且P(X≤2