備戰2022高考黃金30題系列之數學選擇題壓軸題【新高考版】

專題5解析幾何

1.(2022?山東濟南?一模)已知直線履7+2左=0與直線》+6-2=0相交于點P,點4(4,0),

O為坐標原點，則tan/。4P的最大值為()

A.2-73B?岸C.1D.6

【答案】B

【解析】

【分析】

根據給定條件求出點尸的軌跡，再借助幾何圖形，數形結合求解作答.

【詳解】

直線依一y+2%=。恒過定點M(-2,0),直線x+6-2=0恒過定點N(2,0),

而“1+(-1)?k=0,即直線依-y+2k=0與直線x+h-2=0垂直，nP與N不重合時，

PM±PN.PMPN=0>

當p與N重合時，PM-PN=0,令點P(x,y),則麗=(-2-x,-y),PN=(2-x,-y),

于是得-+>2=4,顯然點P與“不重合，因此，點P的軌跡是以原點為圓心，2為半徑的

圓(除點例外)，如圖，

觀察圖形知，射線”繞點4旋轉NOAPe。》'與旋轉到與圓O：f+y?=4相切時，ZOAP

最大，tanNOAP最大，

因|O4|=4,AP為切線，點P'為切點，I。昨2,NO巴4=90,則NO4P'=30。,

所以N04尸最大值為30,(tanZOAP)max=tan30°=與.

故選：B

【點睛】

思路點睛：涉及在垂直條件下求動點的軌跡問題，可以借助向量垂直的坐標表示求解，以簡

化計算，快捷解決問題.

22

2.（2022?山東?濰坊一中模擬預測）己知環、心分別為橢圓C：?=lgb>0）的左、

右焦點，P是橢圓C上的一點，直線I：》=土亙，且尸。，/,垂足為Q點.若四邊形。「耳用

a

為平行四邊形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

A.佟,1）B.（>/2-1,1）C.（0,^-1）岑）

【答案】B

【解析】

【分析】

設則由題意可得|「。|=|耳用由此可得％=色叱-2c=2,2-02-2ac,再由

aa

x0G（-a,a）,可求出離心率的范圍

【詳解】

<2r2、

設P（x。，%），則。

回四邊形。尸大名為平行四邊形，團-。|=忻6|,

_6!+b~?a~+b~_2.cr—c~—2<zc/、

0-------------------X=2C,BPX=-------------2c=------------￡（-〃,〃），

aQ0aa

,2cr—d—2ac.

團一1<------------<1,

a

團-1<2-/-2e<1>得5/2—1<6?<1?

故選：B

3.（2022?山東煙臺?一模）過直線x-y-%=0上一點尸作圓M：（x-2y+（y-3『=l的兩條

切線，切點分別為A,B,若使得四邊形的面積為近的點尸有兩個，則實數，〃的取

值范圍為（）

A.-5<m<3B.-3<m<5C.加<一5或/n>3D.a<-3或，〃>5

【答案】A

【解析】

【分析】

利用圓的性質可得S=g|PA||M4|+g|尸功M8|=|R4卜近，進而可得|尸”|=2直，結合題意

|2-3-n?|「

可得際?<2應，即得.

【詳解】

由圓M：（x-2y+（y-3/=1可知，圓心M（2,3）,半徑為1,

0|M4|=|MB|=1,

回四邊形PAMB的面積為5=^\PA\\MA\+^\PB\\MB\=|PA|=@,

131PMi==業+田/=272,

要使四邊形辦MB的面積為"的點P有兩個，

|2-3-77t|

<20

則"+（一］）-

解得-5<〃?<3.

故選：A.

4.（2022?山東?昌樂二中模擬預測）PQ為經過拋物線V=2px焦點的任一弦，拋物線的準線

為I,PM垂直于/于M,QN垂直于/于N,尸。繞/一周所得旋轉面面積為以MN為直

徑的球面積為Sz，則（）

A.E>S2B.S,<5,C.￡>S2D.St<S2

【答案】C

【解析】

【分析】

解：設設尸。與x軸夾角為凡令|「耳=%，目=〃，根據拋物線的定義可知歸閘=加,

\QN\=n,再根據圓臺的側面積公式及球的衣面積公式得到S,=乃（相+〃）2、

S2-7t{m+ri^sar0,即可判斷；

【詳解】

解：設尸。與x軸夾角為仇令|「可=，"，|Q尸卜〃，則1PM=人，|例=〃,則

222

5,=7v[\PM\+\QN\）-\PQ\=7v{m+n^,S2=^|MW|=^（w+w）sin6,所以SR邑當且僅當

。=90。時等號成立；

故選：C

5.（2022?山東?濟南一中模擬預測）已知直線/：x+y-l=0與圓C：（x-a）2+（y+a-l）2=l

交于A,B兩點，。為坐標原點，則礪.麗的最小值為（）.

A.-B.C.5/2D.g

222

【答案】A

【解析】

【分析】

uii'uun,uuinuiruuumr.min.2

J咫意力統/n園心c，、.OAOB=（OC+C4jx.（oc+c/?x）=|oc|--l,"iOC>]；；"直線/肘，

|（?C|取得最小值得出答案.

【詳解】

圓C的圓心。（〃,1一〃）,滿足4+（1—〃）一1=0,所以直線/過圓心C,

uiruun/uuuiuir八兒即uir皿皿uruniuir[Uuup

所以QAOB=（OC+C4x）（OC+C8x）=（0C+C4x）.（z0C-C4x）=|0q-1,

iuun|2.1l-llJ2

當oc垂直直線/時，pq取得最小值，所以|oq的最小值為-

所以|UUoUc|2|的得最小值1為故0UU40ULU3的最小值為-1

故選：A

6.（2022?山東省實驗中學高三階段練習）如圖，已知F為雙曲線C:二-與=1（“>0力>0）的

a~b~

右焦點，平行于x軸的直線/分別交C的漸近線和右支于點AB,且

NOAF=90。,NOBF=NOFB,則C的漸近線方程為（）

【答案】c

【解析】

【分析】

設仇由題意求出〃='，利用Q卸=|0耳解得a=b,即可求出漸近線

方程.

【詳解】

雙曲線c：W-W=l（。>°，z^>°）的漸近線方程為y=±紇?

a~b~a

_b（、

設3（團川，則由a，解得

ab

因為I30AF=90。，所以砥L%=-1,即ma，得”=一

----cc

b

99J>>04

又點B（孫〃）在雙曲線C上，所以[-[=1,將〃=絲代入，得病="-丁.

屋Z?cC

2249,?）

又自所以儂=防.所以〃/+“即/C-*+學_=化簡得j,即

08F=E）0F6,2=02,02,2a2=

c~c~

a=b,所以雙曲線的漸近線方程為y=±x.

故選：c

7.（2022?山東荷澤?一模）已知兩條直線4：2x-3y+2=O,，2：3x-2y+3=0,有一動圓（圓

心和半徑都在變動）與34都相交，并且44被截在圓內的兩條線段的長度分別是定值26,

24,則動圓圓心的軌跡方程為（）

A.(y-1)--x2=65B.x2-(y-1)'=65

C.j2-（x+1）'=65D.(x+1)--y2=65

【答案】D

【解析】

【分析】

利用點到直線距離公式與圓內弦長與半徑關系即可求解.

【詳解】

|2x-3y+2|

設動圓圓心尸（x,y）,半徑為r,貝I」尸至此的距離4=產到4的距離

713

|3x-2y+3|

用因為44被截在圓內的兩條線段的長度分別是定值26,24,

2產毋=26,2產丁=24,化簡后得，=169,r-d；=144,相減得6^=25,

氏2"段一?3|代入后化簡可得同+1）2一名

將4==65.

VI3

故選：D.

22

8.（2022?山東臨沂?一模）已知K分別為雙曲線C：=一與=1（。>0,&>0）的左,

arb~

右焦點，點P在第二象限內，且滿足恒P|=a,（哥+EK）?可=0,線段”尸與雙曲線C

交于點。，若用"=3|耳。.則C的離心率為（）

△百730,而D.運

A?-----DR.------L?-----

35610

【答案】C

【解析】

【分析】

取耳P的中質E,由已知得瑪由三線合一得136Gp是等腰三角形，表示出各邊長,

再由余弦定理表示cos在6E,再由雙曲線的定義表示內。，在國&中由余弦定理列式,

得關于4c的等式關系，即可求得離心率.

【詳解】

取線段4P的中點E,連接巴E，

因為（呼+而）.哥=0,所以g耳P,

所以回EKP是等腰三角形，且怩"=|6用=2c,

在MA4％中,山同一萬=a,

COSZF2F{E=

\FtF2\2c4c

連接心。，又比。|=￡，點。在雙曲線c上，由優。一忻。=2%則優0=T，

忻用'IRQ『一優Qf(2c『+(?-(/)[”

在團6。0中,cosZF2FiQ=,整理得

2|甲訃閘2x2cx-4c

3

12c2=17/,

所以離心率e=￡=畫.

a6

9.(2022?山東荷澤?高三期末)瑞士著名數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、

重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中作

AABC,AB=4C,點5(-14),點C(3,5),過其“歐拉線"上一點P作圓O：=+y2=4的

兩條切線，切點分別為M,N,則|肱V|的最小值為()

A.72B.2拒C.&D.2-73

【答案】B

【解析】

【分析】

求中垂線方程，結合點線距離判斷"歐拉線”與圓O的位置關系并求出圓心到直線的距離,

由幾何關系判斷|MN|的最小時P的位置，進而求的最小值.

【詳解】

由題設，8,C中點為(1,3),"歐拉線"斜率為％=-7L=-l,

kBC

所以“歐拉線"方程為y-3=-(x-l),即x+y-4=0,

4

又。到x+y—4=0的距離為”=志＞2,即“歐拉線"與圓。相離，

要使|MM|的最小，則在與Rl^PN。中NMOP=NNOP最小，即NMPN最大,而

僅當QP，"歐拉線"時AMPN最大，

所以d=|0P|=2點，則|MN|=2rsinzWP,且圓。半徑r=2,cos/VOP='=立，

d2

所以sinZNOP=當，BPIMN\min=2&.

故選：B

10.（2022?廣東廣州?一模）設拋物線E：V=8x的焦點為F,過點M（4,0）的直線與E相交于

A,B兩點,與E的準線相交于點C,點B在線段AC上，|BF|=3,則△BCF與“ACF的面

積之比1班=（）

3AAe/

1111

A.—B.-C.—D.一

4567

【答案】c

【解析】

【分析】

根據拋物線焦半徑公式得到8點橫坐標，進而利用拋物線方程求出8點縱坐標，直線A8的

SBC必一y

方程，求出C點坐標，聯立直線與拋物線，求出A點縱坐標，利用產nrr=弁=一上r求

SgAC%-），c

出答案.

【詳解】

如圖，過點B作3D垂直準線x=-2于點。，則由拋物線定義可知：|8尸|=|砒＞|=3,

設直線AB為x=my+4,A（X1,yJ,8（々,%），。（一2,人），不妨設”?＞0,則%＞。，％＜。，

所以丑+2=3,解得：x2=l,則父=8占=8,解得：y2=-2yf2,則8（1,-20）,

所以一2""+4=1,解得：機=逑，則直線A8為x=±&y+4,

44

所以當x=_2時，即里y+4=-2,解得：%=Y也，則C（-2,-4五），

聯立x=my+4與y2=8x得：）3—8加）」32=0,則y1y2=-32,

所以止浴其中考=爺=日=急4

11.（2022?廣東茂名?高三階段練習）已知雙曲線C：斗-營=1（。＞0力＞0）的左、右焦點分

別為《，尸2,雙曲線的左頂點為A,以環心為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P,。兩

點，其中點。在y軸右側，若恒。？2|明，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）

A.（1,6]B.[6,+co）C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先由題意，得到以￡鳥為直徑的圓的方程為公+/=,不妨設雙曲線的漸近線為y=2萬，

a

求出點P,Q的坐標，結合條件求出a,c之間的關系，即可得出雙曲線的恩心率的取值范圍.

【詳解】

h

由題意，以耳心為直徑的圓的方程為V+y2=c2,不妨設雙曲線的漸近線為y=?x,

SQ（a,b）,P（-a,-b）.

又A為雙曲線的左頂點，則A（-40）,

叫AQ|=+a?+"2,\AP\=+b2=b，

&\AQ\>2\AP\,

0^（a+a）2+/?2>2b,即44223d-/）,

7

^e2<-,又e>l,

回ee（l呼]?

故選：C.

12.（2022?廣東?金山中學高三階段練習）已知雙曲線C：￡-*=1（。>0,〃>0）的右頂點為A,

OB=5OA，若在雙曲線C的漸近線上存在點M,使得&AM8=90。，則雙曲線C的離心率的

取值范圍為（）

A.~~^+°0B.L3，]C.[4,+8）D.（1,5/5]

【答案】B

【解析】

【分析】

求出AB點坐標，以AB為直徑的圓￡）,問題轉化為雙曲線C的漸近線與圓。有交點，利用

點到直線距離得到不等關系，求出離心率的取值范圍.

【詳解】

依題意，A（a,0）,8（5“，0）,則以4B為直徑的圓D：（x-3a）2+/=4a2；flnZAAffi=90°,

故雙曲線C的漸近線與圓。有交點，故圓心。（3小0）到百線云-毆=0的距離〃=%,,2a,

則3”,2c,故9c2—9次,4c2,故5c2,,9/,則i<e=￡”也，故雙曲線C的離心率的取值

故選：B.

二、多選題

13.（2022?重慶八中高三階段練習）已知雙曲線C：三-X=l和點A（0/2）,Ft,巴分別

916

為雙曲線的左、右焦點，尸為雙曲線上在第一象限內的點，點/為△尸耳工的內心，則下列

說法正確的是（）

B_$41g___5

A.|PA|+|P周的最小值為25=

S4PIR.S4曄3

3_,_______

C.e（0,20）D.若「用=可歸身，Pl=xPF\+yPF[,則

【答案】BC

【解析】

【分析】

首先根據雙曲線方程求出焦點坐標，根據雙曲線的定義判斷A,設△PKE的內切圓的半徑

為『，利用面積公式及雙曲線的定義計算即可判斷B,設/（x”yj在耳鳥上的垂足為“，根

據切線長定理可得|班|=。+*即可得到H的坐標，記漸近線y=；x的傾斜角為。，則

tan*,記少"=。則2。40,左一6）,利用臨界值求出tana40,2）,即可求出必的取

\PF,\\PI\3

值范圍，即可判斷C,延長P/交耳K于點由角平分線定理得到禍=端=,，即可

求出X、y,即可判斷D；

【詳解】

解：因為雙曲線C：蘭一￡=1,所以a=3,b=4,c=行萬=5,則耳（-5,0）、瑪（5,0）,

雙曲線的漸近線為y=±gx,因為A（0,12）,所以國=6+（-12『=13,所以

\P^+\PFl\=\PA\+\PF2\+2a>\AF2\+2a=l9,當且僅當A、P、瑪在同一直線且P在A瑪之

間時取等號，故A錯誤；

S-忻用|一I1717Io勺

設△「/=；5的內切圓的半徑為小則^^—=--2---------=/'2、=

S4PIR-S&PIF?J.|p/7|r_J.|p/7|r|「耳|-|尸引2a3

故B正確；

設在KB上的垂足為"，根據雙曲線的定義及切線長定理可得

\PF\-\PF^=2a=\HF\-\HF^,又12cdHj+lHE，所以1"國=。+。，所以”3。），記

44,x

漸近線y犬的傾斜角為凡則tan"g,記N/E4=a,則2a￡（0,乃一6）,當

tan2a=tan（乃一8）,即一白；,：,解得出。=2,所以tana?0,2）,則

y=|，段tanae(O,4),所以以仍=g僧用《0,20),故C正確;

|「耳|=3忸工|

1121/用=18

延長P/交耳用于點M，由，"2解得?由角平分線定理可知

尸用=12'

JPMHP閭=6

蜀|PF|=闔\MF\=53,所以.1岫卜,4,又由角平分線定理知\PF鬲,\=\扁Pl\=『3過點」作NG/陰用

交尸小尸鳥分別于點N、G點，則PN所3以=NI=：3，所以—P/="2P__N_+；3—PG,因為

rO2ICJ255

3

x——

_,____3x2103

PI=xPFy+yPFz,所以x+y=:又一=§,解得；,所以y—x=4,故D錯誤;

丁y=—

V20

14.(2022?重慶八中模擬預測)己知圓M：x2+(y-2)2=l,點P為x軸上一個動點，過點

P作圓例的兩條切線，切點分別為A,B,直線AB與MP交于點C,則下列結論正確的是()

A.四邊形周長的最小值為2+2道B.|AB|的最大值為2

C.若「(1,0),則△RW的面積為1D.若。(乎,o),則|CQ|的最大值為:

【答案】ACD

【解析】

【分析】

對A,可將四邊形出MB周長轉化為2+2|A”,結合勾股定理可求最值；對B,由圓內最長

的弦為直徑可判斷錯誤；對C,由幾何關系先求出由等面積法可求出BC,CP,結合面

積公式可求久.相；對D,分點戶是否與原點重合分類討論，當點尸不與原點重合時，求出

切線長方程和直線MP方程，聯立可求動點C軌跡，由點與圓的位置關系可求|C0a.

【詳解】

如圖所示，對于選項A,四邊形以M8的周長為2+怛”+恒兒

因為怛P|=|AP],所以四邊形B4MB的周長為2+2|AP|,設|MP|=（22）,當尸與原點重合

時最小，則|4@=戶工，則四邊形以MB的周長為27FZ+2,則當f取最小值2時，四邊

形以用8的周長最小，為2G+2,故A正確；

對于選項B,因為圓M：￥+（k2）2=1的直徑為2,所以|>15卜2,故B錯誤；

對于選項C,因為P（LO）,所以|陰=逐，|朋=2,由等面積法可得=?忸C|,

求得取|=卡，|AB|=2，|PC|=-^,所以△as的面積為:網￥0=],故C正確；

對于選項D,當點P與原點重合時，|網=2,則|用=6,則|MC|=；,則C（0，T）,則

|C2|=J-+—=—：當點P不與原點重合時，設P（肛O）（mrO）,則切點弦A3的方程

11y4164

為如-2y+3=0（利用結論：過圓外一點夕伍,幾）的切線弦方程為

2

5-。）（*-。）+（.%-。）（丫-/0=/求得），直線MP的方程為y=-'x+2,聯立兩方程，可得

tn

c（總彳等善），消去m,得動點C的軌跡方程為X2+。-\J=gj.又因為。[乎,0）

所以|CQLX=J-乎）+（（）+；='，故口正確.

故選：ACD.

15.（2022?重慶市第十一中學校高三階段練習）曼哈頓距離（或出租車幾何）是由十九世紀的

赫爾曼?閔可夫斯基所創的詞匯,是一種使用在幾何度量空間的幾何學用語.例如，在平面上，

點,%）和點。（孫％）的曼哈頓距離為：40Txi-引+|乂一%|.若點尸（與，y）為

C：j?+y2=4上一動點，。（%2，%）為直線/：履一y-2&-4=0（上e[-g,2]）上一動點，設

為P,。兩點的曼哈頓距離的最小值，則心伏)的可能取值有()

A.1B.2C.3D.4

【答案】ABC

【解析】

【分析】

直線/恒過定點(2,-4),畫出圖形，對人分類討論并借助導數求出的取值范圍即可作答.

【詳解】

直線/：6一丫一2左—4=0(女€[-；,2])恒過定點42，-4),

|2k+4|汽3

由點(0,0)到直線履—y-2Z-4=0的距離I——>2得4>__,即直線/：履_y_2k_4

Vl+224

=0(Aw[-；,2])與圓相離，

⑴當/的斜率k滿足由<1時，作出一條縱截距為負數的直線平行于/,如圖：

要使得”?最小，尸應位于切點處，作軸交直線/于點C,過Q作直線。施PC于點B,

當。位于點C的左方時，LPQ=\PB\+\QB\>\PC\=LPC,當Q位于點C的右方時，同理也有

LpQ>Lpc,于是有L(k)=Lpc,

設直線y=^+r與圓相切，則有-/$=2=，=-2拒至，即切線的縱截距r=_2jB，

7、+k~

而直線/的縱截距為-2后-4,

2

L(k)=LPC=-2J1+2-(-2k-4)=2)t-2jl+k+4

24ii

m=2—^^=>0,L⑹在[-不1]上遞增，L(l)=6-2^,Z,(--)=3->/5；

■J\+k222

⑵當/的斜率k滿足上e(l,2]時，作出一條縱截距為負數的直線平行于/,如圖：

要使得最小，尸應位于切點處，作PC0），軸交直線/于點C,過。作直線QS0PC于點B,

當Q位于點C的左方時，LPQ=\PB\+\QB\>\PC\=LPC,當。位于點C的右方時，同理也有

LPQ>Lpc,于是有L伏）=LPC,

設直線y=區+f與圓相切，則有7里〒=2=，=-27i7正，即切線的橫截距一上=2一+*,

J1+公kk

4

而直線/的橫微距為2+丁，

k

L(k)=L=2+----------------

PCkk

42

L'(k)=淳+可壽L/）在口,2］上遞減,

￡(1)=6-272,L(2)=4-石,

綜上得L（k）e［3-75,6-2應］,則選項ABC滿足.

故選：ABC

【點睛】

思路點睛：處理直線與圓的位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾

何法；若方程中含有參數，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數法.

16.（2022?遼寧?大連二十四中模擬預測）已知拋物線C：V=2px,C的準線與x軸交于K,

過焦點廠的直線/與C交于A、B兩點，連接AK、BK,設A8的中點為P,過P作A8的垂

線交x軸于Q,下列結論正確的是（）

A.|AF|.|B/C|=|^|.|BF|B.tan乙4依'=cosNPQF

C.AAKB的面積最小值為fD.|A^=2|F2|

【答案】ABD

【解析】

【分析】

設直線A8的傾斜角為a,即財&=a,設4（為乂），磯毛,%），/如為）.可根據角平分線

的性質判斷A；

過A作4。取軸，垂足為。，表示出tan/AKRcos/PQF,即可判斷B；

S&AKB~S-AKF+SABKF，數形結合即可判斷C；

求出也方程，令尸。求出。的橫坐標，求出|的卜|網2|即可判斷它們的關系，由此判斷D.

【詳解】

設直線A8的傾斜角為a,即MEt=a,設P&,%）,

AFIAK\

①若則謁=扇，則根據角平分線的性質可知，*軸為MKB的

角平分線，設直線/：x=my+],代入拋物線方程得y2-2pwy-p2=0,

所以y+%=2pm,月力=_p2,

k4-"-‘I____|_2i_?%_2如，|%+。（必+丫2）_0

所以+

p.￡+Pmy+p（町+p）（，佻+p）

X|+'r2

?2

所以x軸一定是財K8的平分線，故A正確;

②過A作月皿軸，垂足為。，

71

ZAKF=-^―cos/PQF=cosa=sina=-網r^—=超---,

則tan,p,*J

x+—

12

r.tan/AKf=cos/PQ/7,故B正確;

③S.AKB=S.AKF+S’B"=giKFUy-，-加-必|…曰?2p=",當初-%|=I明=22，

即ABSv軸時，取等號，故八4/?的面積最小值為故C錯誤;

4M7f心-%）=2,（…），則匕山房十

對于D：,

團尸。方程為：丫-%=-旅（X-毛）,

令y=0得，-%=-&（》-%）=》=0+與，團Q（p+^,O）,

pP

&\FQ\=p+xn--=-+x0

團[43|=玉+赴+/?=2玉）+2=2忻。,故D正確.

故選:ABD.

V-y2

17.（2022?遼寧葫蘆島?高三期末）已知耳,尸2分別為橢圓C:>方=l（“>b>0）的左、右

焦點，P為橢圓上任意一點（不在x軸上），耳心外接圓的圓心為H,耳心內切圓的

圓心為/,直線P/交X軸于點M,。為坐標原點.則（）

A.存在2eR,使得。了=。戶+九+|絲旬成立

兩屈的最小值為！

B.

C.過點/的直線/斜率為吊，且與橢圓相交于A,B兩點，線段AB的中點為N,直線ON

2

的斜率為勾，則—b

IM

D.橢圓C的離心率e=:

PI

【答案】ABD

【解析】

【分析】

所PF2

對A,根據篇表示與所同向的單位向量，第表示與而同向的單位向量，進而判斷

—>—>

PFPF

出丁}十丁2與由共線，最后判斷答案;

PF】PF2尸I

對B,根據局>=而+凡）然后結介平面向量數量積的幾何意義與基本不等式求得答

案;

對C,利用"點差法”即可求得答案；

對D,運用角平分線定理即可求得答案.

【詳解】

—?—>—?—>

P居PF；PF2

對A,T及示與PG同向的單位向量,丁表示與京同向的單位向量，所以一

2

PF2WPF,

—>—>

與防共線,而O/=OP+Ao6l-OP=PI=

對B,鬲.麗=；研曲+無）=鬲.曲+鬲詼），取線段PK的中點G,則HG0PK

212.2

由平面向量數量積的定義可知，PHPF^PG=-PFt，同理鬲?展」年，所以

TT1->2-2、

PHPO=-PF{+PF?=:1|詼『+|成『

4/

由基本不等式易得/叫+時,用田啊n|而山出2T|居;|+|而|J=2/,

\7

當且僅當|而|=|屈;|=°時取B正確；

對C,設力&，M）,B（W，%），貝l|N（f，巴上）,所以：=叢三&

I22）-+—v%）+x,

2

<+2L=i

有因力/b2=(』+々)(%一—)?(1+%)(1-%)一°二%一丫2X+X、，即

或父/護…2%+々

L2b2

斗2=_勺￡錯誤;

對D,易知，陰，低分別是/尸耳鳥,/尸鳥耳的角平分線，由角平分線定理可知:

向=m=也=|￡M|+|F2M|=空,一

\PF,\+\PF\2aa

\PI\1^1I”I2

故選：ABD.

18.（2022?遼寧?沈陽市第一二O中學高三階段練習）已知點尸是拋物線V=2px（p>0）的焦

點，AB,CQ是經過點尸的弦且AS0CQ,A8的斜率為A,且％>0,C,A兩點在x軸上方.則下

列結論中一定成立的是（）

____3

A.OCOD=--p2B.四邊形ACBO面積最小值為16P2

4

111...

C.西+西=而D,若|4斗忸川（=4p2,則直線CD的斜率為

【答案】ACD

【解析】

【分析】

利用拋物線的極坐標方程求出|AF|,忸尸然后即可計算求解，判斷出各選項的真

假.

【詳解】

|AB|=^J-,|CD|=——里~^=-^—111

設AS的傾斜角為夕，則有sin-。sin2（e+X）。，所以須^+叵|=而，

C正確；

\AF\=—^—,\BF\=—^—,若|4尸HBF|=4P。貝人吊，=（，tan6=且，

直線CC的斜率為-6，D正確；

S=^B\\CD\^.y=-^―..8p2，所以B不正確；

ABCD2sin；。cos。sm20

2

設C（%,yJ,Z）（X2，y2），由拋物線過焦點弦的性質可知，砧=gyg=-p2,

_,3°

OC-OD=XjX2+yly2=--p^'所以A正確.

故選：ACD.

【點睛】

本題主要考查直線與拋物線的位置關系的應用，拋物線的簡單性質應用，拋物線的極坐標方

程的應用，考查學生的數學運算能力，屬于較難題.

19.（2022?江蘇南京?高三開學考試）已知直線/過拋物線C：一=4）,的焦點「，且直線/與

拋物線交于4B兩點，過A,B分別作拋物線C的切線，兩切線交于點G,設4（不耳）,鞏々,%），

則下列選項正確的是（）

A.x,-x,=-4B.以線段4尸為直徑的圓與），=-1相切

C.GF^ABD.當而==2而時，直線/的斜率為±20

【答案】AC

【解析】

【分析】

A選項，直接聯立韋達定理求解；B選項，計算出圓心到〉=-；的距離和半徑進行比較；C

選項，寫出A,8兩點處的切線方程，聯立求出點G坐標，

通過向量檢驗垂直關系；D選項，利用/=2萬，求出A，8兩點坐標，直接計算斜率.

【詳解】

對于A,拋物線的焦點廠（0,1）,準線方程y=-l,設直線/的方程>=h+1,與拋物線方程

聯立得x?—4fcr—4=0,；?X|多=-4,止確；

對于B,Ap=y+1,以線段AF為直徑的圓圓心為佟，鋁、至恒線y=-［的距離為"9

、乙乙）LL

A/?a

力芋，所以以線段AF為直徑的圓不與丫=-；相切，錯誤；

對于C,y==點A處的切線方程為y-兀=今卜-/），即了:5工-今，

點8處的切線方程為y=亨，聯立得G（后強，牛）

即G（2A,-1）,GF=[-2k,2）,AB=（x2-xl,y2-yl）=（x2-xl,kx2-kxiy齊?麗=0,故GF^AB,

正確；

對于D,AF=2FB^一再=2/，x,-x2=-4,解得赴=±及，當％=加時，%=—2a,

-2一%「

4_）‘2一>1_4_入2+X__V2,錯誤.

x2-%,/-&44

故選：AC.

【點睛】

本題關鍵在于選項C和D的判斷，C選項要通過導數寫出A,B兩點處的切線方程，進而聯

立求出點G坐標，D選項將標=2方轉化成坐標關系，

求出A,B兩點坐標.

22

20.（2022?江蘇揚州?高三期末）在橢圓C：二+與=1（a>b>0）中，其所有外切矩形的

a~b

頂點在一個定圓八/+產=層+濟上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓.該圓由法國數學家

G.Monge（1745-1818）最新發現.若橢圓C：y+/=1,則下列說法中正確的有（）

A.橢圓C外切矩形面積的最大值為4點

B.點尸（x,y）為蒙日圓「上任意一點，點〃卜26,0）,%（0,2港），當回PMN最大值時，

tan回產MN=2+G

C.過橢圓C的蒙日圓上一點P,作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于點。，若kOP,kOQ存

在，則kOPkOQ為定值

D.若橢圓C的左右焦點分別為F/,尸2,過橢圓C上一點P和原點作直線/與蒙日圓相交于

33

M,N,且則=5

【答案】BCD

【解析】

【分析】

先求得橢圓C的蒙日圓，然后根據外切矩形的