第5節(jié)古典概型與幾何概型考試要求1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式；2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；3.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率；4.了解幾何概型的意義.知

識(shí)

梳

理互斥1.古典概型(1)基本事件的特點(diǎn)①任何兩個(gè)基本事件是_______的.②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.(2)古典概型的定義具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.有限個(gè)相等2.幾何概型(1)幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的__________________成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型.(2)幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)長(zhǎng)度(面積或體積)無(wú)限多個(gè)等可能性[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.古典概型中的基本事件都是互斥的，確定基本事件的方法主要有列舉法、列表法與樹狀圖法.2.概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽視只有當(dāng)A∩B＝

，即A，B互斥時(shí)，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此時(shí)P(A∩B)＝0.3.幾何概型的基本事件的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，古典概型中基本事件的個(gè)數(shù)是有限的.診

斷

自

測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.(

)(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件.(

)(3)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率.(

)(4)概率為0的事件一定是不可能事件.(

)解析對(duì)于(1)，發(fā)芽與不發(fā)芽不一定是等可能，所以(1)不正確；對(duì)于(2)，三個(gè)事件不是等可能，其中“一正一反”應(yīng)包括正反與反正兩個(gè)基本事件，所以(2)不正確；對(duì)于(4)，概率為0的事件有可能發(fā)生，所以(4)不正確.答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)×2.(老教材必修3P133A1改編)袋中裝有6個(gè)白球，5個(gè)黃球，4個(gè)紅球，從中任取一球抽到白球的概率為(

)答案A3.(老教材必修3P146B4改編)如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，向正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)投擲200個(gè)點(diǎn)，有30個(gè)點(diǎn)落入圖形M中，則圖形M的面積的估計(jì)值為____________.答案0.64.(2019·全國(guó)Ⅰ卷)我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是(

)答案A5.(2020·廣州模擬)在[－6，9]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)m，設(shè)f(x)＝－x2＋mx＋m，則函數(shù)f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)的概率等于(

)答案D答案10考點(diǎn)一古典概型的概率問(wèn)題【例1】(1)(2019·全國(guó)Ⅱ卷)生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo).若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為(

)(2)(2020·廈門一模)《易經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦)，每一卦由三根線組成(“

”表示一根陽(yáng)線，“

”表示一根陰線)，從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有三根陽(yáng)線和三根陰線的概率為(

)答案(1)B

(2)D規(guī)律方法古典概型中基本事件個(gè)數(shù)的探求方法：(1)枚舉法：適合于給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的問(wèn)題.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題，注意在確定基本事件時(shí)(x，y)可看成是有序的，如(1，2)與(2，1)不同，有時(shí)也可看成是無(wú)序的，如(1，2)與(2，1)相同.(3)排列組合法：在求一些較復(fù)雜的基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，可利用排列或組合的知識(shí).【訓(xùn)練1】(1)(2020·深圳一模)兩名同學(xué)分3本不同的書，則其中一人沒(méi)有分到書，另一人分得3本書的概率為(

)答案(1)B

(2)B考點(diǎn)二古典概型與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題【例2】(1)設(shè)平面向量a＝(m，1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1，2，3，4}，記“a⊥(a－b)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為(

)規(guī)律方法求解古典概型的交匯問(wèn)題，關(guān)鍵是把相關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件，然后利用古典概型的有關(guān)知識(shí)解決，一般步驟為：(1)將題目條件中的相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件；(2)判斷事件是否為古典概型；(3)選用合適的方法確定基本事件個(gè)數(shù)；(4)代入古典概型的概率公式求解.【訓(xùn)練2】

(2020·濟(jì)寧模擬)某中學(xué)組織了一次數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬測(cè)試，學(xué)校從測(cè)試合格的男、女生中各隨機(jī)抽取100人的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，分別制成了如圖所示的男生和女生數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖.(注：分組區(qū)間為[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100])(1)若得分大于或等于80認(rèn)定為優(yōu)秀，則男、女生的優(yōu)秀人數(shù)各為多少？(2)在(1)中所述的優(yōu)秀學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人，從這5人中任意選取2人，求至少有一名男生的概率.解

(1)由題可得，男生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.015＋0.03)×10＝45.考點(diǎn)三幾何概型

多維探究角度1與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型【例3－1】(1)在[－1，1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________.(2)如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與AB交于點(diǎn)M，則AM＜AC的概率為________.規(guī)律方法1.解答幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍，當(dāng)考查對(duì)象為點(diǎn)，且點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)，用“線段長(zhǎng)度”為測(cè)度計(jì)算概率，求解的核心是確定點(diǎn)的邊界位置.2.當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問(wèn)題時(shí)，應(yīng)以角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率.事實(shí)上，當(dāng)半徑一定時(shí)，曲線弧長(zhǎng)之比等于其所對(duì)應(yīng)的圓心角的弧度數(shù)之比.角度2與面積有關(guān)的幾何概型【例3－2】

(2019·唐山二模)割補(bǔ)法在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作中稱為“出入相補(bǔ)”，劉徽稱之為“以盈補(bǔ)虛”，即以多余補(bǔ)不足，是數(shù)量的平均思想在幾何上的體現(xiàn)，如圖揭示了劉徽推導(dǎo)三角形面積公式的方法.在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在標(biāo)記“盈”的區(qū)域的概率為(

)答案A規(guī)律方法幾何概型與平面幾何的交匯問(wèn)題：要利用平面幾何的相關(guān)知識(shí)，先確定基本事件對(duì)應(yīng)區(qū)域的形狀，再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê凸剑?jì)算出其面積，進(jìn)而代入公式求概率.角度3與體積有關(guān)的幾何概型【例3－3】

有一個(gè)底面半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________.規(guī)律方法對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事件