第2節用樣本估計總體考試要求1.了解分布的意義和作用，能根據頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖，體會它們各自的特點；2.理解樣本數據標準差的意義和作用，會計算數據標準差；3.能從樣本數據中提取基本的數字特征(如平均數、標準差)，并作出合理的解釋；4.會用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布，會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征，理解用樣本估計總體的思想；5.會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.1.頻率分布直方圖知

識

梳

理(1)頻率分布表的畫法：第一步：求______，決定組數和組距，組距＝______；第二步：________，通常對組內數值所在區間取左閉右開區間，最后一組取閉區間；第三步：登記頻數，計算頻率，列出頻率分布表.極差分組(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)頻率2.頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的______，就得到頻率分布折線圖.(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的______增加，_______減小，相應的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑曲線，統計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.中點組數組距4.樣本的數字特征(1)眾數：一組數據中_________________的那個數據，叫做這組數據的眾數.(2)中位數：把n個數據按大小順序排列，處于________位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫做這組數據的中位數.(3)平均數：把_______________稱為a1，a2，…，an這n個數的平均數.出現次數最多最中間3.莖葉圖

統計中一種被用來表示數據的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數，葉是從莖的旁邊生長出來的數.[常用結論與微點提醒]1.頻率分布直方圖與眾數、中位數與平均數的關系 (1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數. (2)中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的. (3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.2.平均數、方差的公式推廣診

斷

自

測1.判斷下列結論正誤(在括號內打“√”或“×”)(1)平均數、眾數與中位數從不同的角度描述了一組數據的集中趨勢.(

)(2)一組數據的方差越大，說明這組數據越集中.(

)(3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數據落在該區間的頻率越大.(

)(4)莖葉圖一般左側的葉按從大到小的順序寫，右側的葉按從小到大的順序寫，相同的數據可以只記一次.(

)解析

(1)正確.平均數、眾數與中位數都在一定程度上反映了數據的集中趨勢.(2)錯誤.方差越大，這組數據越離散.(4)錯誤.莖相同的數據，相同的數據葉要重復記錄，故(4)錯誤.答案

(1)√

(2)×

(3)√

(4)×2.(老教材必修3P100T2(1)改編)一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25，則該組樣本的頻數為(

) A.4 B.8 C.12 D.16答案B3.(老教材必修3P70示例改編)若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分莖葉圖如圖所示，則這組數據的中位數和平均數分別是(

)A.91.5和91.5 B.91.5和92 C.91和91.5 D.92和924.(一題多解)(2019·全國Ⅲ卷)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的估計值為(

) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8解析

法一設調查的100位學生中閱讀過《西游記》的學生人數為x，則x＋80－60＝90，解得x＝70，答案C法二用Venn圖表示調查的100位學生中閱讀過《西游記》和《紅樓夢》的人數之間的關系如圖：5.(多選題)(2020·山東新高考模擬)為了解戶籍、性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機抽取了容量為100的樣本，其中城鎮戶籍與農村戶籍各50人；男性60人，女性40人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數比例圖(如圖所示)，其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對應比例，則下列敘述中正確的是(

)A.是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關B.是否傾向選擇生育二胎與性別無關C.傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數與女性人數相同D.傾向選擇不生育二胎的人員中，農村戶籍人數少于城鎮戶籍人數解析由題圖，可得是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關、性別無關，傾向選擇不生育二胎的人員中，農村戶籍人數少于城鎮戶籍人數，傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數為60×60%＝36，女性人數為40×60%＝24，不相同.答案ABD6.(2019·江蘇卷)已知一組數據6，7，8，8，9，10，則該組數據的方差是________.角度1扇形圖【例1－1】(一題多解)(2018·全國Ⅰ卷)某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻番.為更好地了解該地區農村的經濟收入變化情況，統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如圖所示的餅圖：考點一統計圖表及應用多維探究則下面結論中不正確的是(

)A.新農村建設后，種植收入減少B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上C.新農村建設后，養殖收入增加了一倍D.新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半解析法一設新農村建設前經濟收入為a，則新農村建設后經濟收入為2a，則由餅圖可得新農村建設前種植收入為0.6a，其他收入為0.04a，養殖收入為0.3a.新農村建設后種植收入為0.74a，其他收入為0.1a，養殖收入為0.6a，養殖收入與第三產業收入的總和為1.16a，所以新農村建設后，種植收入減少是錯誤的.法二因為0.6<0.37×2，所以新農村建設后，種植收入增加，而不是減少，所以A是錯誤的.答案A規律方法通過扇形統計圖可以很清楚的表示出各部分數量同總數之間的關系.角度2折線圖【例1－2】(多選題)(2020·聊城調研)某城市為了解游客人數的變化規律，提高旅游服務質量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數據，繪制了下面的折線圖.根據該折線圖，下列結論正確的是(

)A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩解析對于選項A，由圖易知，月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯；對于選項B，觀察折線圖的變化趨勢可知，年接待游客量逐年增加，故B正確；對于選項C，D，由圖可知顯然正確.答案BCD規律方法折線圖可以顯示隨時間(根據常用比例放置)而變化的連續數據，因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數據的趨勢.角度3莖葉圖【例1－3】（多選題）某班男女生各10名同學最近一周平均每天的鍛煉時間(單位：分鐘)用莖葉圖記錄如下：假設每名同學最近一周平均每天的鍛煉時間是互相獨立的，則下列結論正確的是(

)A.男生每天鍛煉的時間差別小，女生每天鍛煉的時間差別大B.從平均值分析，男生每天鍛煉的時間比女生多C.男生平均每天鍛煉時間的標準差大于女生平均每天鍛煉時間的標準差D.從10個男生中任選一人，平均每天的鍛煉時間超過65分鐘的概率比同樣條件下女生鍛煉時間超過65分鐘的概率大答案A

BD規律方法1.莖葉圖的三個關注點(1)“葉”的位置只有一個數字，而“莖”的位置的數字位數一般不需要統一.(2)重復出現的數據要重復記錄，不能遺漏.(3)給定兩組數據的莖葉圖，估計數字特征，莖上的數字由小到大排列，一般“重心”下移者平均數較大，數據集中者方差較小.2.利用莖葉圖解題的關鍵是抓住“葉”的分布特征，準確從中提煉信息.角度4頻率分布直方圖【例1－4】

某大學藝術專業400名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20，30)，[30，40)，…，[80，90].并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率；(2)已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區間[40，50)內的人數；(3)已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等.試估計總體中男生和女生人數的比例.解

(1)根據頻率分布直方圖可知，樣本中分數不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以樣本中分數小于70的頻率為1－0.6＝0.4.所以從總體的400名學生中隨機抽取一人，其分數小于70的概率估計值為0.4.(2)根據題意，樣本中分數不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，故樣本中分數小于50的頻率為0.1，故分數在區間[40，50)內的人數為100×0.1－5＝5.(3)由題意可知，樣本中分數不小于70的學生人數為(0.02＋0.04)×10×100＝60.所以樣本中的男生人數為30×2＝60，女生人數為100－60＝40，男生和女生人數的比例為60∶40＝3∶2.所以根據分層抽樣原理，總體中男生和女生人數的比例估計為3∶2.【訓練1】(1)(多選題)(角度1)改革開放四十年以來，北京市居民生活發生了翻天覆地的變化.隨著經濟快速增長、居民收入穩步提升，消費結構逐步優化升級，生活品質顯著提高，美好生活藍圖正在快速構建.北京市城鎮居民人均消費支出從1998年的

7500元增長到2017年的40000元.1998年與2017年北京市城鎮居民消費結構對比如圖所示：則下列敘述正確的是(

)A.2017年北京市城鎮居民食品支出占比同1998年相比大幅度降低B.2017年北京市城鎮居民人均教育文化娛樂類支出同1998年相比有所減少C.2017年北京市城鎮居民醫療保健支出占比同1998年相比提高約60%D.2017年北京市城鎮居民人均交通和通信類支出突破5000元，大約是1998年的14倍(2)(角度2)下圖是2017年1～11月汽油、柴油價格走勢圖(單位：元/噸)，據此下列說法錯誤的是(

)A.從1月到11月，三種油里面柴油的價格波動最大B.從7月份開始，汽油、柴油的價格都在上漲，而且柴油價格漲速最快C.92#汽油與95#汽油價格成正相關D.2月份以后，汽油、柴油的價格同時上漲或同時下跌(2)由價格折線圖，不難發現4月份到5月份汽油價格上漲，而柴油價格下跌.答案(1)ACD

(2)D(3)(角度3)(2020·長春質量監測)已知某班級部分同學一次測驗的成績統計如圖，則其中位數和眾數分別為(

)A.95，94

B.92，86C.99，86

D.95，91解析由莖葉圖可知，此組數據由小到大排列依次為76，79，81，83，86，86，87，91，92，94，95，96，98，99，101，103，114，共17個，故92為中位數，出現次數最多的為眾數，故眾數為86.故選B.答案B(4)(角度4)某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從A，B兩地區分別隨機調查了40個用戶，根據用戶對產品的滿意評分，得到A地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區用戶滿意度評分的頻率分布表.A地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖圖①B地區用戶滿意度評分的頻率分布表(1)在圖②中作出B地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結論即可)；B地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖滿意度評分分組[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數2814106圖②(2)根據用戶滿意度評分，將用戶和滿意度分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計哪個地區用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由.解(1)作出頻率分布直方圖如圖：通過兩地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區用戶滿意度評分的平均值高于A地區用戶滿意度評分的平均值；B地區用戶滿意度評分比較集中，而A地區用戶滿意度評分比較分散.(2)A地區用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.記CA表示事件：“A地區用戶的滿意度等級為不滿意”；CB表示事件：“B地區用戶的滿意度等級為不滿意”.由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估計值為(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地區用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.考點二樣本的數字特征【例2】(1)(2019·全國Ⅱ卷)演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數字特征是(

) A.中位數 B.平均數 C.方差 D.極差答案(1)A

(2)A

(3)16解析(1)中位數是將9個數據從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數據，因而去掉1個最高分和1個最低分，不變的是中位數，平均數、方差、極差均受影響.故選A.規律方法1.平均數反映了數據取值的平均水平，而方差、標準差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小，標準差、方差越大，數據離散程度越大，越不穩定；標準差、方差越小，數據的離散程度越小，越穩定.2.用樣本估計總體就是利用樣本的數字特征來描述總體的數字特征.【訓練