2023年高考數學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

Z.

1.復數4=2+i,若復數Z1,z?在復平面內對應的點關于虛軸對稱，則」?等于（）

3+4,3+4Z0-3+4，

A.-----B.----C.-3+4zD.-----

555

2.在菱形ABCO中，AC=4,BD=2,E,尸分別為AB,的中點，則詼.麗=（）

13515

A.---B.-C.5D.—

444

3.已知命題p:x<2/M+l,q:x2-5x+6<0,且“是<?的必要不充分條件，則實數加的取值范圍為（）

A.m>—B.m>—C.m>\D.m>1

22

4.一小商販準備用50元錢在一批發市場購買甲、乙兩種小商品，甲每件進價4元，乙每件進價7元，甲商品每賣出

去1件可賺1元，乙商品每賣出去1件可賺1.8元.該商販若想獲取最大收益，則購買甲、乙兩種商品的件數應分別為

（）

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

5.已知實數a=3m3,6=3+31n3,c=（ln3）3,則仇c的大小關系是（）

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<h

6.已知直線人x=my（WHO）與拋物線C：>2=4x交于。（坐標原點），4兩點，直線八X=利+加與拋

物線。交于3,。兩點.若則實數機的值為（）

1111

A.-B.-C?-D.—

4538

7.已知四棱錐產一ABCD中，24,平面ABCO,底面ABCD是邊長為2的正方形，PA=6E為PC的中點,

則異面直線BE與PO所成角的余弦值為（）

D.半

8.設直線/過點A（0,-1）,且與圓C：丁+），2一2）；=0相切于點3,那么黑洸=（）

A.±3B.3C.百D

9.某醫院擬派2名內科醫生、3名外科醫生和3名護士共8人組成兩個醫療分隊，平均分到甲、乙兩個村進行義務巡

診，其中每個分隊都必須有內科醫生、外科醫生和護士，則不同的分配方案有

A.72種B.36種C.24種D.18種

2'-x\x<01

10.已知函數/(%)=<9則/(/(一))=()

Inx,x>0e

3

A.B.1C.-1D.0

2

11.如圖網格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的所有棱中最長棱的長度為

()

A.2B.272C.273D.1

22

12.雙曲線=-4=1(“>0/>0)的右焦點為尸，過點尸且與x軸垂直的直線交兩漸近線于M,N兩點，與雙曲線的

a~b

“，..........

其中一個交點為P,若OP=20M+"ON(九〃eR),且不，則該雙曲線的離心率為()

A3夜n572?573n576

4121212

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(x+2y)(x-y)s展開式中Vy，的系數為.

14.設AABC的內角的對邊分別為叫b,c.若。=2,c=26，cosA=—,則。=

2

15.已知函數/(x)TsinH+|cosx|,則下列結論中正確的是.①/(x)是周期函數；②/(x)的對稱軸方程

為x=*keZ；③/(x)在區間上為增函數；④方程〃x)=q在區間一技,0有6個根.

2x-y>0

16.已知不等式組,x-2y40所表示的平面區域為Q,則區域Q的外接圓的面積為.

x<2

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在世界讀書日期間，某地區調查組對居民閱讀情況進行了調查，獲得了一個容量為200的樣本，其中城

鎮居民140人，農村居民60人.在這些居民中，經常閱讀的城鎮居民有10()人，農村居民有30人.

(1)填寫下面列聯表，并判斷能否有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關？

城鎮居民農村居民合計

經常閱讀10030

不經常閱讀

合計200

(2)調查組從該樣本的城鎮居民中按分層抽樣抽取出7人，參加一次閱讀交流活動，若活動主辦方從這7位居民中隨

機選取2人作交流發言，求被選中的2位居民都是經常閱讀居民的概率.

附：犬=一幽如一,其中“=a+Hc+小

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

1

X=—COSCZ

2

18.(12分)已知曲線”的參數方程為(a為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極

1.

y=—sina

坐標系，曲線N的極坐標方程為P~—-

2-sin26

(1)寫出曲線用的極坐標方程；

(2)點A是曲線N上的一點，試判斷點A與曲線M的位置關系.

19.(12分)如圖，四邊形A8CO為菱形，G為AC與30的交點，BE1平面ABCD.

(1)證明：平面AECL平面BE。；

（2）若N"Q=60。，AE±EC,三棱錐E—AC。的體積為建，求菱形ABC。的邊長.

3

,1121

20.（12分）已知數列｛4｝滿足■■—=―且q=彳

an+\an2

（1）求數列｛4｝的通項公式；

（2）求數列J+2nl的前n項和S“.

21.（12分）已知三棱柱ABC—A4G中，AB=BB]=2,。是8C的中點，Z5,5A=60°,B}D1AB.

（1）求證：AB±AC；

（2）若側面ACG4為正方形，求直線與。與平面GA。所成角的正弦值.

22.（10分）如圖，在直三棱柱中ABC-AAG，D、E、F、G分別是BC,B￡,CQ中點，且從臺=AC=2近，

（1）求證：BCJ_平面ADE；

（2）求點D到平面EFG的距離.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

Z.

先通過復數4*2在復平面內對應的點關于虛軸對稱，得到Z2=-2+i,再利用復數的除法求解手.

Z2

【詳解】

因為復數4:2在復平面內對應的點關于虛軸對稱，且復數4=2+i,

所以Z2=-2+7

z.2+z2+?(-2-z)34.

所以—L=F~=/r

Z]—2+1(—2+c)(—2—55

故選：A

【點睛】

本題主要考查復數的基本運算和幾何意義，屬于基礎題.

2.B

【解析】

據題意以菱形對角線交點。為坐標原點建立平面直角坐標系，用坐標表示出方瓦而，再根據坐標形式下向量的數量

積運算計算出結果.

【詳解】

設AC與BD交于點。，以。為原點，麗的方向為x軸，刀的方向為＞軸，建立直角坐標系,

則FM,-ij,D(I,O),詼=1|/>加=卜|,一1),

----------95

所以DEDF=—―1=—?

44

故選：B.

【點睛】

本題考查建立平面直角坐標系解決向量的數量積問題，難度一般.長方形、正方形、菱形中的向量數量積問題，如果直

接計算較麻煩可考慮用建系的方法求解.

3.D

【解析】

求出命題4不等式的解為2<x<3,2是4的必要不充分條件，得4是。的子集，建立不等式求解.

【詳解】

解：Vp:x<2m+\,q:x2-5x+6<0,即：2cx<3,

P是4的必要不充分條件，

(2,3)c(-co,2m+1,),

2m+l>3,解得，〃之1.實數m的取值范圍為加之

故選：D.

【點睛】

本題考查根據充分、必要條件求參數范圍，其思路方法：

⑴解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間關系列出關于參

數的不等式(組)求解.

⑵求解參數的取值范圍時，一定要注意區間端點值的檢驗.

4.D

【解析】

由題意列出約束條件和目標函數，數形結合即可解決.

【詳解】

4x+7y<50,

設購買甲、乙兩種商品的件數應分別x,>利潤為z元，由題意z=x+1.8y,

x,ywN,

畫出可行域如圖所示

顯然當曠=一，％+，2經過4(2,6)時，z最大.

9y

故選：D.

【點睛】

本題考查線性目標函數的線性規劃問題，解決此類問題要注意判斷"，)'是否是整數，是否是非負數，并準確的畫出

可行域，本題是一道基礎題.

5.B

【解析】

4

根據l<ln3<§,利用指數函數對數函數的單調性即可得出.

【詳解】

4

解：V1<ln3<一,

3

,4(4丫64

."=3+31n3>6,3<"3§<6，"(gj=藥(，

"-c<a<b.

故選：B.

【點睛】

本題考查了指數函數對數函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

6.D

【解析】

設8（F，X）,聯立直線與拋物線方程，消去X、列出韋達定理，再由直線％=〃少與拋物線的交點求出A

點坐標，最后根據得到方程，即可求出參數的值；

【詳解】

/、/、[x=my+m.

解：設8（X[，M）,由〈2；，得V—4m>一4/〃=0,

[y=4x

VA=16m2+16w>0?解得機<一1或/%>0,，%+>2=4加，乂必=一4/".

又由,^/-4my=0,：.y=Q^y^4m,/.A（4m2,4m）,

y=4xx'

?：\BD\=3\OA\,

二（1+/〃2）（乂-y2y=9（16/M4+16m2）,

又,??（必-%）2=（*+%）2-4%％=16加2+16/〃，

.,?代入解得加=：.

8

故選：D

【點睛】

本題考查直線與拋物線的綜合應用，弦長公式的應用，屬于中檔題.

7.B

【解析】

由題意建立空間直角坐標系，表示出各點坐標后，利用cos（瓶，尸方）=網M即可得解.

【詳解】

???PA_L平面ABCD,底面ABCD是邊長為2的正方形，

，如圖建立空間直角坐標系，由題意：

A（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,P（0,0詞,￡>（0,2,0）,

???E為PC的中點，,E1,1,

/.BE=-1,1,^,PD=（O,2,-75）,

cos^BE,PD^=BEPD~2V13

網畫「逅^3r

2

，異面直線BE與PO所成角的余弦值為|cos(BE,PD^即為巫.

故選：B.

【點睛】

本題考查了空間向量的應用，考查了空間想象能力，屬于基礎題.

【解析】

過點A(0,T)的直線/與圓C：/+/2一2)=0相切于點3,可得送1.詫=0.因此

麗?恁=麗?(而+1)=而,+而=彳豆2=/2一,，即可得出.

【詳解】

由圓C：尤2+y2-2y=()配方為Y+(y-l)2=l,

C(O,l),半徑r=1.

?.?過點4(0,-1)的直線/與圓C：尤2+丫2-2》=0相切于點8,

???ABBC=Qi

2222

：.ABAC=AB-^AB+BC)=AB+ABBC=AB=AC-r=3；

故選：B.

【點睛】

本小題主要考查向量數量積的計算，考查圓的方程，屬于基礎題.

9.B

【解析】

根據條件2名內科醫生，每個村一名，3名外科醫生和3名護士，平均分成兩組，則分1名外科，2名護士和2名外科

醫生和1名護士，根據排列組合進行計算即可.

【詳解】

2名內科醫生，每個村一名，有2種方法，

3名外科醫生和3名護士，平均分成兩組，要求外科醫生和護士都有，則分1名外科，2名護士和2名外科醫生和1

名護士，

若甲村有1外科,2名護士，則有=3X3=9,其余的分到乙村，

若甲村有2外科,1名護士，則有=3x3=9,其余的分到乙村，

則總共的分配方案為2x(9+9)=2xl8=36種，

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了分組分配問題，解決這類問題的關鍵是先分組再分配，屬于常考題型.

10.A

【解析】

由函數/(x)=2-V，X~0,求得/(3=ln'=-1,進而求得/(/(3)的值，得到答案.

inx,x>0eee

【詳解】

，,、[2A-X3,X<0

由題意函數./(x)={,

Inx,x>0

iii3

則/(一)=ln—=—1,所以/(/(—))=/(—1)=2-i—(—1)3=5,故選A.

eee2

【點睛】

本題主要考查了分段函數的求值問題，其中解答中根據分段函數的解析式，代入求解是解答的關鍵，著重考查了推理

與運算能力，屬于基礎題.

11.C

【解析】

利用正方體將三視圖還原，觀察可得最長棱為A0,算出長度.

【詳解】

幾何體的直觀圖如圖所示，易得最長的棱長為=26

D

故選：C.

【點睛】

本題考查了三視圖還原幾何體的問題，其中利用正方體作襯托是關鍵，屬于基礎題.

12.D

【解析】

根據已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點，再利用而=2麗+〃麗，求出點+

z?6

因為點P在雙曲線上，及6=一，代入整理及得4/加=1,又已知切二一，即可求出離心率.

a25

【詳解】

由題意可知M[C，-)，N[C,-,代入OP=4OM+〃ON得：+——),

代入雙曲線方程I—4=1整理得：4?2切=1,又因為即可得到6=亞，

a2b22512

故選：D.

【點睛】

本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質和向量的坐標運算，離心率問題關鍵尋求關于。，b,c的方程或不等式,

由此計算雙曲線的離心率或范圍，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1()

【解析】

把(x-y)5按照二項式定理展開，可得(x+2y)(x-y)5的展開式中的系數.

【詳解】

解：(x+2y)(x-y)5=(x+2y)?(仁?/-C/y+G2-C1V+或?%'/-C；,

故它的展開式中的系數為-C；+2C；=10,

故答案為：1().

【點睛】

本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題.

14.2或4

【解析】

試題分析：由COSA=3,則可運用同角三角函數的平方關系：sinA=.O:=l,

2V42

已知兩邊及其對角，求角C.用正弦定理；acsinC=csiin4=__l=^lc=60°或120°'

sinAsinC9a22

則；A=30°,C=60°或120°,B=90°或30°,可得/?=2或4.

考點：運用正弦定理解三角形.(注意多解的情況判斷)

15.(D@④

【解析】

由函數/(x)=|sin+|cosx|=^(|sinx|+|cosx|)"=+|sin2x|，對選項逐個驗證即得答案.

【詳解】

函數/(x)=|sinx|+|cos=J(|sinx|+|cos-=+|sin2x\，

???/(x)是周期函數，最小正周期為故①正確；

<rrt'TT'rr

當sin2x=±l或sin2x=0時，/(x)有最大值或最小值，此時2x=，萬+,或2X=Z；T,，￡Z,即元=彳+^或

Ui攵萬,“

x=—,fwZ,即x=—,keZ?

24

???/(x)的對稱軸方程為工=與，keZ,故②正確；

當時，2]￡(天5此時y=卜皿2乂在(n)上單調遞減，在(會手)上單調遞增，.?./(力在

(ji34、

區間1二4,不4上；不是增函數，故③錯誤;

作出函數/(x)的部分圖象，如圖所示

方程=2在區間-彳,0有6個根，故④正確.

故答案為：①②④.

【點睛】

本題考查三角恒等變換，考查三角函數的性質，屬于中檔題.

25

16.—71

4

【解析】

先作可行域，根據解三角形得外接圓半徑，最后根據圓面積公式得結果.

【詳解】

由題意作出區域Q,如圖中陰影部分所示，

3

又MN=3,設AOMN的外接圓的半徑為R,則由正弦定理

2

MN5<5V25

得?八…=2乩即R=故所求外接圓的面積為萬x2=—n

sin/MON2y2)4

【點睛】

線性規劃問題，首先明確可行域對應的是封閉區域還是開放區域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數的幾何

意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離、可行域面積、可行域外接圓等等，

最后結合圖形確定目標函數最值取法、值域范圍.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)見解析，有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關.(2)—

21

【解析】

(1)根據題中數據得到列聯表，然后計算出K'與臨界值表中的數據對照后可得結論；(2)由題意得概率為古典概

型，根據古典概型概率公式計算可得所求.

【詳解】

(1)由題意可得:

城鎮居民農村居民合計

經常閱讀10030130

不經常閱讀403070

合計14060200

貝U2=200x(100x30-40x30)2

K?8.477>6.635,

八140x60x130x70

所以有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關.

(2)在城鎮居民140人中，經常閱讀的有100人，不經常閱讀的有40人.

采取分層抽樣抽取7人，則其中經常閱讀的有5人，記為A、B、C、D、E;

不經常閱讀的有2人，記為X、Y.

從這7人中隨機選取2人作交流發言，所有可能的情況為AB,AC,AD,AE,AX,AY，BC,BD,BE,BX，

BY，CD,CE,CX,CY,DE,DX,DY,EX,EY,XY，共21種，

被選中的2位居民都是經常閱讀居民的情況有10種，

所求概率為P=W

21

【點睛】

本題主要考查古典概型的概率計算，以及獨立性檢驗的應用，利用列舉法是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力.

對于古典概型，要求事件總數是可數的，滿足條件的事件個數可數，使得滿足條件的事件個數除以總的事件個數即可,

屬于中檔題.

18.(1)Q=g(2)點A在曲線M外.

【解析】

(1)先消參化曲線M的參數方程為普通方程,再化為極坐標方程；

(2)由點A是曲線N上的一點，利用sin2。的范圍判斷夕的范圍，即可判斷位置關系.

【詳解】

1

X=—COS<2

22

(1)由曲線”的參數方程為《:可得曲線M的普通方程為Y+丁W,則曲線”的極坐標方程為"

4

y=—sina

I2

即0

(2)由題，點A是曲線N上的一點,

2.叩1

因為sin201一1,1],所以0e1,2，即/?>/,

2

所以點A在曲線"外.

【點睛】

本題考查參數方程與普通方程的轉化，考查直角坐標方程與極坐標方程的轉化，考查點與圓的位置關系.

19.(1)證明見解析；(2)1

【解析】

(1)由菱形的性質和線面垂直的性質，可得AC,平面8DE，再由面面垂直的判定定理，即可得證；(2)設=

分別求得AC,0G和的長，運用三棱錐的體積公式，計算可得所求值.

【詳解】

(1)???四邊形ABC。為菱形，

AC1BD,

平面ABCD,

ACLBE,

又BDcBE=B,

平面BOE,

又ACu平面AEC,

???平面AECJ_平面BED；

(2)設=在菱形ABC。中，由的0=60。，

可得AG=GC=#x,GB=GD=MAC=瓜,

'：AE±EC,

.?.在RtAAEC中，可得EG=18X，

2

由BE1面ABC。，知8EL8G，A3EG為直角三角形，可得BE=JEG，-BG?=正

Xf

2

任876

三棱錐E-ACD的體積VFACGDBE=---x=-----,

匕-32243

【點睛】

本題考查面面垂直的判定，注意運用線面垂直轉化，考查三棱錐的體積的求法，考查化簡運算能力和推理能力，意在

考查學生對這些知識的理解掌握水平.

20.(1)a?；(2)S?=2"+'+n2+n-2

【解析】

(1)根據已知可得數列｛叫為等比數列，即可求解;

(2)由(1)可得L為等比數列，根據等比數列和等差數列的前〃項和公式，即可求解.

l?J

【詳解】

12a.1p1

(1)因為一一=一，所以口=2,又『

4+1

所以數列｛4｝為等比數列，且首項為g,公比為g.故a“=1

27

(2)由(1)知’=2",所以一+2〃=2"+2〃

anan

2(1—2")(2+2〃)”2c

所以S,------+------—=2"+n~+n-2

1-22

【點睛】

本題考查等比數列的定義及通項公式、等差數列和等比數列的前〃項和，屬于基礎題.

21.(1)證明見解析(2)2

5

【解析】

(1)取AB的中點。，連接8,。耳，證明AB,平面。。用得出A3,8,再得出