2021-2022中考數學模擬試卷

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置.

3.請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.二元一次方程組:八的解是（）

x-3y=-2

x=-4

y=2y=-2

2.如圖，A、B、C三點在正方形網格線的交點處，若將△ABC繞著點A逆時針旋轉得到△AC，B，，貝！JtanB，的值為

3.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,AE平分NBAD,分別交BC、BD于點E、P,連接OE,

1八

①NCAD=30。②BD=不③S平行四邊彩ABCD=AB?AC④OE=-AD⑤SAAPO=——＞正確的個數是（

412

4.如圖圖形中是中心對稱圖形的是（）

5.如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數y=三上,第二象限的點B在反比例函數二==上，且OA_LOB,tan：=、二

6.如圖，菱形A8CD中，ZB=60°,AB=4,以4。為直徑的。。交CO于點E,則的長為（）

2萬4萬77r

A.-B.—C.----D.—

3336

7.下列各數中是有理數的是（）

A.nB.0c.V2D.

8.如圖，已知射線OM,以O為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點A,再以點A為圓心，AO長為半

9.若關于x的一元二次方程x(x+2)=m總有兩個不相等的實數根，則()

A.m<-1B.m>lC.m>-1D.m<l

10.下列計算正確的是()

A.=aB.(-a2)3=a6C.也一般=1D.6a2x2a=12a3

二、填空題(共7小題，每小題3分，滿分21分)

11.對于任意實數m、n,定義一種運算mXn=mn-m-n+3,等式的右邊是通常的加減和乘法運算，例如：3X5=3x5

-3-5+3=1.請根據上述定義解決問題：若a<2Xx<7,且解集中有兩個整數解，則a的取值范圍是

13

12.如圖，點A在雙曲線丫=—上，點B在雙曲線丫=一上，且AB〃x軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形,

xX

則它的面積為

13.某校園學子餐廳把WIFI密碼做成了數學題，小亮在餐廳就餐時，思索了一會，輸入密碼，順利地連接到了學子

餐廳的網絡，那么他輸入的密碼是

賬號：XueZiCanTing

咨5十3十2=151025

9十2十4=183654

8戲④3=482472

學將廳碰你!

7十2十5=密泊

14.“復興號”是我國,具有完全自主知識產權、達到世界先進水平的動車組列車.“復興號”的速度比原來列車的速度每

小時快50千米，提速后從北京■到上海運行時間縮短了30分鐘.已知從北京到上海全程約1320千米，求“復興號”的

速度.設“復興號''的速度為x千米/時，依題意，可列方程為一.

15.一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面軌道上滾動一個半徑為10cm的圓盤，如圖所示，AB與CD水平，BC

與水平面的夾角為60。，其中AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,那么該小朋友將圓盤從A點滾動到D點其圓心所經

過的路線長為一cm.

fiOrmB

3

16.如圖，反比例函數y==(x>0)的圖象與矩形OABC的邊長AB、BC分別交于點E、F且AE=BE,則△OEF

x

的面積的值為.

17.如圖，在邊長相同的小正方形網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P,則

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）如圖，拋物線y=-Jx2-x+4與x軸交于A,8兩點（4在8的左側），與y軸交于點C.

（1）求點A,點8的坐標；

（2）尸為第二象限拋物線上的一個動點，求AACP面積的最大值.

19.（5分）已知：如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，AQ_LBE于點Q,DP_LAQ于點P.求證：AP=BQ；

在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中四對線段，使每對中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長.

20.（8分）如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=CB,以48為直徑的。。交AC于點。，點E是A8邊上一點（點

E不與點4、B重合），OE的延長線交。。于點G,DFLDG,且交8c于點足

(2)連接GB,EF,求證：GB//EFt

(3)若AE=LEB=2,求OG的長.

21.(10分)《孫子算經》是中國傳統數學的重要著作之一，其中記載的“蕩杯問題”很有趣.《孫子算經》記載“今有婦

人河上蕩杯.津吏問曰：，杯何以多？，婦人曰：，家有客.，津吏曰：，客幾何？，婦人曰：，二人共飯，三人共羹，四人共

肉，凡用杯六十五.，不知客幾何？”譯文：“2人同吃一碗飯，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65個碗，問有

多少客人？”

22.(10分)在“弘揚傳統文化，打造書香校園”活動中，學校計劃開展四項活動：“A-國學誦讀”、“B-演講”、“C課本

劇”、“D-書法”，要求每位同學必須且只能參加其中一項活動，學校為了了解學生的意思，隨機調查了部分學生，結果

統計如下：

(1)根據題中信息補全條形統計圖.

(2)所抽取的學生參加其中一項活動的眾數是.

(3)學校現有800名學生，請根據圖中信息，估算全校學生希望參加活動A有多少人？

23.(12分)如圖1,三個正方形ABCD、AEMN、CEFG,其中頂點D、C、G在同一條直線上，點E是BC邊上的

動點，連結AC、AM.

(1)求證：AACMsaABE.

(2)如圖2,連結BD、DM、MF、BF,求證：四邊形BFMD是平行四邊形.

(3)若正方形ABCD的面積為36,正方形CEFG的面積為4,求五邊形ABFMN的面積.

x+2y+2=0

24.（14分）解方程組:<

7%-4y=-41

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1,B

【解析】

利用加減消元法解二元一次方程組即可得出答案

【詳解】

解：①-②得到y=2,把y=2代入①得到x=4,

x=4

故選：B.

【點睛】

此題考查了解二元一次方程組，解方程組利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.

2、D

【解析】

過C點作CD_LAB,垂足為D,根據旋轉性質可知，ZBF=ZB,把求tanB，的問題，轉化為在RtABCD中求tanB.

【詳解】

過C點作CD_LAB,垂足為D.

根據旋轉性質可知，NB，=NB.

*CD1

在RtABCD中，tanB=-----=一,

BD3

tanB,=tanB=—.

3

故選D.

【點睛】

本題考查了旋轉的性質，旋轉后對應角相等；三角函數的定義及三角函數值的求法.

3、D

【解析】

①先根據角平分線和平行得：NBAE=NBEA,則AB=BE=1,由有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形得：△ABE

是等邊三角形，由外角的性質和等腰三角形的性質得：ZACE=30°,最后由平行線的性質可作判斷；

②先根據三角形中位線定理得：OE=；AB=；,OE〃AB,根據勾股定理計算OC==與和0D的長,可

得BD的長；

③因為NBAC=90。，根據平行四邊形的面積公式可作判斷；

④根據三角形中位線定理可作判斷；

⑤根據同高三角形面積的比等于對應底邊的比可得：SAAOE=SAEOC=-OE-OC=,言皿=:,代入可得結論.

28Si2

【詳解】

①TAE平分NBAD,

AZBAE=ZDAE,

V四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AD/7BC,ZABC=ZADC=60°,

/.ZDAE=ZBEA,

AZBAE=ZBEA,

AAB=BE=1,

???△ABE是等邊三角形，

.\AE=BE=1,

VBC=2,

AAE=EC,

AZEAC=ZACE,

VZAEB=ZEAC+ZACE=60°,

，ZACE=30°,

VAD/7BC,

AZCAD=ZACE=30°,

故①正確;

@VBE=EC,OA=OC,

.*.OE=-AB=-,OE/7AB,

22

:.ZEOC=ZBAC=60°+30°=90°,

=近,

R3EOC中，OC二

一彳'

■:四邊形ABCD是平行四邊形,

.\ZBCD=ZBAD=120°,

AZACB=30°,

:.ZACD=90°,

〔也,

RtAOCD中，OD=12+

一2'

???BD=2OD=近，故②正確;

③由②知：ZBAC=90°,

??SoABCD=AB?AC,

故③正確；

④由②知：OE是△ABC的中位線,

XAB=-BC,BC=AD,

2

.,.OE=-AB=-AD,故④正確；

24

⑤：四邊形ABCD是平行四邊形，

/.OA=OC=—,

2

111/3/3

**?SAAOE=SAEOC=-OE*OC=—x—x=,

22228

VOE/7AB,

.EPOE_\

??—―t

APAB2

q1

.D.POE=，

??s-2，

SAAOP=SAAOE=-x—=-^-.故⑤正確；

33812

本題正確的有：①②③④⑤，5個，

故選D.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的性質、直角三角形30度角的性質、三角形面積和平行四邊形面積的計算;

熟練掌握平行四邊形的性質，證明△ABE是等邊三角形是解決問題的關鍵，并熟練掌握同高三角形面積的關系.

4、B

【解析】

把一個圖形繞著某一個點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形.

【詳解】

解：根據中心對稱圖形的定義可知只有B選項是中心對稱圖形，故選擇B.

【點睛】

本題考察了中心對稱圖形的含義.

5、C

【解析】

試題分析：作AC_Lx軸于點C,作BDJ_x軸于點D.

則NBDO=NACO=90。，貝！|NBOD+NOBD=90。,

VOA±OB,.,.ZBOD+ZAOC=90°,/.ZBOD=ZAOC,/.△OBD^AAOC,=(6r);=(tanA)2=2,

又?SAAOC=7X2=1,??SAOBD=2,??k=-l.

故選c.

考點：1.相似三角形的判定與性質；2.反比例函數圖象上點的坐標特征.

6、B

【解析】

連接。E,由菱形的性質得出NO=NB=60。，AD=AB=4,得出04=00=2,由等腰三角形的性質和三角形內角和

定理求出N0OE=6O。，再由弧長公式即可得出答案.

【詳解】

解：連接0E,如圖所K：

???四邊形ABC。是菱形,

.?.NO=N8=60°,AD=AB=4,

：.OA=OD=2,

'：OD=OE,

...NOEO=NO=60°,

NOOE=180°-2x60°=60°,

60萬x22兀

?*-DE的長=

1803

故選8.

【點睛】

本題考查弧長公式、菱形的性質、等腰三角形的性質等知識；熟練掌握菱形的性質，求出NOOE的度數是解決問題的

關鍵.

7、B

【解析】

【分析】根據有理數是有限小數或無限循環小數，結合無理數的定義進行判斷即可得答案.

【詳解】A、n是無限不循環小數，屬于無理數，故本選項錯誤；

B、0是有理數，故本選項正確；

C、正是無理數，故本選項錯誤；

D、狗是無理數，故本選項錯誤，

故選B.

【點睛】本題考查了實數的分類，熟知有理數是有限小數或無限循環小數是解題的關鍵.

8、B

【解析】

首先連接AB,由題意易證得AAOB是等邊三角形，根據等邊三角形的性質，可求得NAOB的度數.

根據題意得：OB=OA=AB,

.'.△AOB是等邊三角形，

:.ZAOB=60°.

故答案選：B.

【點睛】

本題考查了等邊三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練的掌握等邊三角形的判定與性質.

9、C

【解析】

將關于x的一元二次方程化成標準形式，然后利用A>0,即得m的取值范圍.

【詳解】

因為方程是關于x的一元二次方程方程，所以可得x2+2Lm=0,A=4+4m>0,解得m>-1,故選D.

【點睛】

本題熟練掌握一元二次方程的基本概念是本題的解題關鍵.

10、D

【解析】

根據平方根的運算法則和幕的運算法則進行計算，選出正確答案.

【詳解】

=|a|>A選項錯誤；Oa2）3=-a6,B錯誤；M一般=3一&,C錯誤；.6a?x2a=12a3,D正確；故選：D.

【點睛】

本題考查學生對平方根及塞運算的能力的考查，熟練掌握平方根運算和嘉運算法則是解答本題的關鍵.

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11、4<a<5

【解析】

解：根據題意得：2Xx=2x-2-x+3=x+l,

,.,a<x+l<7,即a-lVxV6解集中有兩個整數解，

...a的范圍為44。<5,

故答案為44a<5.

【點睛】

本題考查一元一次不等式組的整數解，準確理解題意正確計算是本題的解題關鍵.

12、2

【解析】

如圖，過A點作AEJ_y軸，垂足為E,

x

3

?點B在雙曲線產一上，且AB〃x軸，.,.四邊形BEOC的面積為3

x

二四邊形ABCD為矩形，則它的面積為3—1=2

13、143549

【解析】

根據題中密碼規律確定所求即可.

【詳解】

5(8)3g2=5x3xl0000+5x2xl00+5x(2+3)=151025

9?2?4=9x2xl0000+9x4xl00+9x(2+4)=183654,

80603=8x6x10000+8x3x100+8x(3+6)=482472,

A702?5=7x2xl0000+7x5xl00+7x(2+5)=143549.

故答案為：143549

【點睛】

本題考查有理數的混合運算，根據題意得出規律并熟練掌握運算法則是解題關鍵.

13201320

14、--------------=—

x-50x2

【解析】

設“復興號，，的速度為x千米/時，則原來列車的速度為(x-50)千米/時，根據提速后從北京到上海運行時間縮短了30

分鐘列出方程即可.

【詳解】

設，，復興號，，的速度為x千米/時，則原來列車的速度為(x-50)千米/時,

132013201

根據題意得

x—50x-5

13201320

故答案為

x-50x2

【點睛】

本題主要考查由實際問題抽象出分式方程，解題的關鍵是理解題意，找到題目蘊含的相等關系.

15、(140一邛+竽劭

【解析】

試題解析：如下圖，畫出圓盤滾動過程中圓心移動路線的分解圖象.

可以得出圓盤滾動過程中圓心走過的路線由線段001，線段。。2,圓弧&Q，線段。3。4四部分構成?

其中O/E±AB,O/F1.BC,O2CA.BC,O3CA.CD,O4DLCD.

?.,8C與48延長線的夾角為60。，。/是圓盤在A3上滾動到與BC相切時的圓心位置,

,此時。0/與48和5c都相切.

則ZO1BE=NO/BF=60度.

此時RtAOiBE和RtAOiBF全等,

在Rt△。/BE中，BE=^^-cm.

3

AOOt=AB-BE=(60-1^^)cm.

3

?.?8尸=BE=W正cm,

3

/.OIO2=BC-BF=(40-如叵)cm.

3

'：AB//CD,3c與水平夾角為60。，

:.N8CD=12()度.

又VZO2CB=^O3CD=90°,

二NO2co3=60度.

則圓盤在C點處滾動，其圓心所經過的路線為圓心角為60。且半徑為10cm的圓弧QO,?

…6010

?-0、0飛的長=---X2TTX10=——ncm.

233603

???四邊形O3O4DC是矩形，

:.O3O4=CD=4()cn\,

綜上所述，圓盤從A點滾動到D點，其圓心經過的路線長度是：

百、,仙1°百、10―八仙20G10、

(60---------)+(40----------)+一笈+40=(140-----------+—n)cm.

33333

16、-

4

【解析】

試題分析：如圖，連接OB.

333

???E、F是反比例函數y=_(x>0)的圖象上的點，EA_Lx軸于A,FClyttTC,ASAAOE=SACOF=-xl=-.

x22

??.==3==

?AE=BE,??SABOESAAOE，SABOCSAAOB1?

2

33

:.SABOF=SABOC_SACOF=1__=—?F是BC的中點.

22

.33339

??SAOEF=S矩形AOCB-SAAOE-SACOF-SABEF=6------x—=~.

22224

17、1

【解析】

首先連接BE,由題意易得BF=CF,△ACP^ABDP,然后由相似三角形的對應邊成比例，易得DP：CP=1：3,即可

得PF：CF=PF：BF=1S1,在RSPBF中，即可求得tanNBPF的值，繼而求得答案.

【詳解】

V四邊形BCED是正方形,

.?.DF=CF=CD,BF=BE,CD=BE,BEJLCD,

11

.\BF=CF,

根據題意得：AC/7BD,

/.△ACP^ABDP,

/.DP：CP=BD：AC=1：3,

ADP：DF=1：1,

ADP=PF=CF=BF,

77

//

在RtAPBF中，tanZBPF=__=l,

VZAPD=ZBPF,

.,.tanZAPD=l.

故答案為：1

【點睛】

此題考查了相似三角形的判定與性質，三角函數的定義.此題難度適中，解題的關鍵是準確作出輔助線，注意轉化思

想與數形結合思想的應用.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

18、(1)4(-4,0),B(2,0)；(2)AACP最大面積是4.

【解析】

(1)令尸0,得到關于x的一元二次方程-gx2-*+4=0,解此方程即可求得結果;

(2)先求出直線AC解析式，再作尸￡>>L4O交AC于。，設尸(f,尸-t+4),可表示出。點坐標，于是線段產。

2

可用含，的代數式表示，所以SAACP=LPOXO4=LPOX4=2PO,可得SAACT?關于，的函數關系式，繼而可求出AACP

22

面積的最大值.

【詳解】

(1)解：設尸0,則0=-；3-*+4

.*.xi=-4,X2=2

：.A(-4,0),B(2,0)

(2)作PDLAO交AC于O

設AC解析式y=kx+b

*4=b

??10=-4左+力

k=1

解得：1,“

0=4

.'.AC解析式為y=x+4.

設尸(f,--?-r+4)則D(f,Z+4)

2

：.PD=(--t2-r+4)(Z+4)=--Z2-2Z=--(f+2)2+2

222

1

SAACP=-PDx4=-(什2)2+4

2

.?.當U-2時，AACP最大面積4.

【點睛】

本題考查二次函數綜合，解題的關鍵是掌握待定系數法進行求解.

19、(1)證明見解析；(2)①AQ-AP=PQ,②AQ-BQ=PQ,③DP-AP=PQ,④DP-BQ=PQ.

【解析】

試題分析：(1)利用AAS證明△AQBgADPA,可得AP=BQ；(2)根據AQ-AP=PQ和全等三角形的對應邊相等可

寫出4對線段.

試題解析:(1)在正方形中ABCD中，AD=BA,ZBAD=90°,AZBAQ+ZDAP=90°,VDP±AQ,ZADP+ZDAP=90°,

NBAQ=NADP,；AQ_LBE于點Q,DP_LAQ于點P,/.ZAQB=ZDPA=90°,.,.△AQB^ADPA(AAS),

/.AP=BQ.(2)①AQ-AP=PQ,②AQ-BQ=PQ,③DP-AP=PQ,④DP-BQ=PQ.

考點：(1)正方形；(2)全等三角形的判定與性質.

20、(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)Y.

1V

【解析】

(1)連接BD,由三角形ABC為等腰直角三角形，求出NA與NC的度數，根據AB為圓的直徑，利用圓周角定理得

到NADB為直角，即BD垂直于AC,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到AD=DC=BD=二AC,進而

確定出NA=NFBD,再利用同角的余角相等得到一對角相等，利用ASA得到三角形AED與三角形BFD全等，利用

全等三角形對應邊相等即可得證；

(2)連接EF,BG,由三角形AED與三角形BFD全等，得到ED=FD,進而得到三角形DEF為等腰直角三角形，利

用圓周角定理及等腰直角三角形性質得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行即可得證：

(3)由全等三角形對應邊相等得到AE=BF=L在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的長，利用銳角三角形

函數定義求出DE的長，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形AED與三角形GEB相似，由相似得比例，求出

GE的長，由GE+ED求出GD的長即可.

(1)證明：連接BD,

在R3ABC中，ZABC=90°,AB=BC,

AZA=ZC=45O,

TAB為圓O的直徑，

AZADB=90°,即BDJLAC,

.,.AD=DC=BD=^AC,ZCBD=ZC=45°,

，NA=NFBD,

?.DF±DG,

.,.ZFDG=90°,

...NFDB+NBDG=90。，

VZEDA+ZBDG=90°,

；.NEDA=NFDB,

在^AED和4BFD中，

ZA=ZFBD,AD=BD,ZEDA=ZFDB,

.?.△AED^ABFD(ASA),

/.AE=BF；

(2)證明：連接EF,BG,

VAAED^ABFD,

ADE=DF,

VZEDF=90°,

AAEDF是等腰直角三角形,

/.ZDEF=45°,

VZG=ZA=45°,

/.ZG=ZDEF,

AGB/7EF；

(3)VAE=BF,AE=1,

ABF=1,

在RtAEBF中，ZEBF=90°,

根據勾股定理得：EF2=EB2+BF2,

VEB=2,BF=1,

.*.EF=v2；+；；=

?.'△DEF為等腰直角三角形，NEDF=90。，

，cosNDEF=三，

VEF=V3,

..DE=\?x—=—,

VZG=ZA,NGEB=NAED,

/.△GEB^AAED,

；.三=三，即GE?ED=AE?EB,

...—?GE=2,BPGE=—,

1J

貝!

JGD=GE+ED=?!■：-

"To"

21、x=60

【解析】

設有x個客人，根據題意列出方程，解出方程即可得到答案.

【詳解】

解：設有X個客人，則

xxx

234

解得：x=60；

.?.有60個客人.

【點睛】

本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵.

22、（1）見解析（2）A-國學誦讀（3）360人

【解析】

(D根據統計圖中C的人數和所占百分比可求出被調查的總人數，進而求出活動B