奧數(shù)競(jìng)賽培優(yōu)專(zhuān)題一幾何模塊綜合（解析版）

一、知識(shí)點(diǎn)

1、基本平面圖形

周長(zhǎng)

公式法

平移法

標(biāo)向法

面積

公式法

割補(bǔ)法

角度

內(nèi)角和

2、圓與扇形

周長(zhǎng)與面積公式的正反運(yùn)用

圓與方

平移與旋轉(zhuǎn)

重合與整體法

運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題

3、幾何模型

等積變換

一半模型

等高模型

鳥(niǎo)頭模型

蝴蝶模型

沙漏模型

燕尾模型

4、立體幾何

容器倒置求高

物體入水問(wèn)題

二、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.我能夠理解線(xiàn)段比與面積比之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

2.我能夠構(gòu)造出常見(jiàn)的幾何模型，解決復(fù)雜的圖形問(wèn)題。

3.我能夠通過(guò)平移與旋轉(zhuǎn)、整體法等技巧解決圓與扇形相關(guān)問(wèn)題。

三、課前練習(xí)

求下列各圖中陰影部分的面積。

【答案】（16+12）X124-2-12X124-2=96

10X104-2-10X104-4-4X44-2=17

四、典型例題

例題1

如圖，A、B是兩個(gè)大小完全一樣的長(zhǎng)方形，已知這兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬長(zhǎng)8厘米，圖中的

字母表示相應(yīng)部分的長(zhǎng)度。則A、B中陰影部分的周長(zhǎng)哪個(gè)長(zhǎng)？長(zhǎng)多少？

AB

【答案】：16

【解析】：

A中陰影部分的周長(zhǎng)：2(a+a-b)+2(b+2b)=4a+4b

B中陰影部分的周長(zhǎng)：2(a+2b+a+b)=4a+6b

因此B的周長(zhǎng)更長(zhǎng)，長(zhǎng)了2b。因?yàn)閮蓚€(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬長(zhǎng)8厘米，即

(a+2b)—(a+b)=8,可得2b=16,所以長(zhǎng)了16厘米。

例題2

如圖所示，一個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形被分成4個(gè)小長(zhǎng)方形，它們的面積分別是3平方米、

10

4平方米、好方米嗚平方米。已知圖中的陰影部分是正方形，那么它的面積是多少平方

5

米？

25

【答案】：

441

【解析】：

根據(jù)面積比可得DH：HC=2：1、AE：EB=3：4

則FI=EB=±4米，GI=HC=士1米，F(xiàn)G=4---1=—5（米）

7321

所以陰影部分的面積是工義工=至（平方米）。

2121441

例題3

圖中長(zhǎng)方形的面積是198平方厘米，Si和，的面積都是66平方厘米，則陰影部分的面積

是多少平方厘米？

【答案】：55

【解析】：

連接對(duì)角線(xiàn)AC

易知三角形ACD面積為99平方厘米

可得DE：EC=66：33=2：1

同理，CF：FB=1：2

根據(jù)鳥(niǎo)頭模型，

三角形EPC的面積='X』X，xi98=ll（平方厘米）

332

陰影部分的面積=66—11=55（平方厘米）

例題4

如圖，三角形ABC的面積為60。D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)。F、G分別為BC邊上的三等

分點(diǎn)。請(qǐng)問(wèn)：三角形DEF的面積是多少？三角形DOE的面積是多少？

【答案】：15；9

【解析】：

根據(jù)等積變換，三角形DEF面積=三角形BDE面積=；三角形ABE面積=5三角形ABC面積

=15

連接E、G,易知FG：DE=2：3,利用蝴蝶模型可設(shè)三角形FOG的面積為4份，則三角形

DOE的面積為9份，三角形DOF的面積=三角形EOG的面積=6份

三角形DEF的面積=,三角形ABC的面積=15份

4

三角形ABC的面積為60份，可得1份為：60+60=1,則三角形DOE的面積為9X1=9。

例題5

如圖，三角形ABC'的面積為1,D、E、F分別是三條邊上的三等分點(diǎn)，求陰影三角形的面

積。

BDC

【答案】：-

7

【解析】：

連接B、P。設(shè)三角形BPC的面積為1份，根據(jù)燕尾模型，則三角形APC的面積為2份，三角

形ABP的面積為4份。整個(gè)三角形ABC的面積是7份，三角形APC占其中的2份，所以面積

為士2。同理，三角形BMC、三角形ABN的面積也是2士。所以陰影三角形的面積是1—14x3=

777

O

7

例題6

如圖，在三角形ABC中，內(nèi)接一個(gè)正六邊形。已知三角形ABC'的面積為9,E是BC的中點(diǎn),

BD：DA=2：1,CF：FA=2：1,求陰影部分的面積。

【答案】：5

【解析】：

利用鳥(niǎo)頭模型，可得：

三角形ADF的面積=9X』X」=l,

33

三角形BDE的面積=三角形EPC的面積=9X-?X11=3

33

所以三角形DEF的面積=9-3-3-1=2

易知在正六邊形中，三角形DEF的面積是正六邊形面積的一半，則陰影部分的面積=9—2X2

=5o

例題7

如圖，若大圓的半徑為6,則陰影部分的面積是多少？（答案保留“）

【答案】：9n

【解析】：

如圖連接出兩個(gè)半徑，將分割出的陰影半圓沿圓心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,拼成一個(gè)完整的四分之

一圓。

2

陰影面積為：-XnX6=9Ji0

例題8

求圖中陰影部分的面積。（八取3）

lOCTW

【答案】：25

【解析】：

陰影部分面積=半圓面積+扇形面積一等腰直角三角形面積

145

2

=ITX52X-+JIX10X--10X104-2=25（平方厘米）

2360

例題9

如圖，在一個(gè)直角三角形ABC中，C=60°,AC=12,BC=6。以點(diǎn)C為中心，使點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)

到AC邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)B'處。請(qǐng)問(wèn)線(xiàn)AB邊繞點(diǎn)C掃過(guò)的圖形的面積是多少？（結(jié)果保留n）

【答案】：36n

【解析】：

如右圖所示，所求面積即為陰影部分的面積。

陰影部分的面積=扇形ACA'的面積十三角形A'B'C的面積一扇形BCB'的面積一三角形ABC

的面積

17021702

即扇形ACA'的面積一扇形BCB'的面積=m乂nX12-—XnX6=36n

360

選講題

一個(gè)盛有水的圓柱形容器底面內(nèi)半徑為5厘米，深20厘米，容器中裝有一個(gè)底面半徑為

2厘米，高為18厘米的鐵圓柱。這時(shí)容器里的水深15厘米現(xiàn)在把鐵圓柱輕輕地向正上方提

起6厘米，露出水面的鐵圓柱浸濕部分長(zhǎng)多少厘米?

【答案】：7-

7

【解析】：

法1：水的體積為（52—22）XnX15=315n（立方厘米）

鐵圓柱被提起來(lái)之后，從底面到6厘米高度處水的體積為：52XJIX6=150JI（立方厘米）

所以6厘米以上處于水中的部分的高度是：（315n—150”）+（52XJI-22XJI）=7y

（厘米）

則露出水面的部分被浸濕部分長(zhǎng)18—3—7色=7,（厘米）

77

法2：6+nX22X64-[n（52-22）]=7-（厘米）

7

五、課后作業(yè)

1.如圖，有8個(gè)相同的小長(zhǎng)方形，拼成一個(gè)長(zhǎng)為12厘米的大長(zhǎng)方形，則每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積

是多少？

【答案】：12平方厘米

【解析】：

小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：124-2=6（厘米）

小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=3義小長(zhǎng)方形的寬

小長(zhǎng)方形的寬為：64-3=2（厘米）

小長(zhǎng)方形的面積為：2*6=12（平方厘米）

2.已知三角形BED的面積為36,AC=12,CD=5,DE=BE,求陰影部分的面積。

【答案】：51

【解析】】：

陰影部分面積=整體一空白

12X5+36=96

96-12X54-2-6X54-2=51

3.如圖，梯形ABCD的上底AD長(zhǎng)10厘米，下底BC長(zhǎng)15厘米。如果EF與上、下底平行，那

么EF的長(zhǎng)度是多少？

【答案】：12

【解析】】：

根據(jù)沙漏模型,易知AD：BC=A0：0C=D0：0B=2：3

利用金字塔模型，可得E0：BC=A0：AC=2：5

同理OF：BC=DO：DB=2：5

所以E0=F0=6（厘米）,EF=6+6=12（厘米）

4.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=30,陰影部分面積是120,那么CF的長(zhǎng)度是多少？

AB

【答案】：8

【解析】：

陰影部分的面積=BFXCE+2=120,可得BFXCE=240

根據(jù)沙漏模型可知，BF：FC=AB：CE,轉(zhuǎn)化可得BFXCE=FCXAB=240所以FC=240+30=8

5.如圖所示，正方形ABCD和EFGH的面積分別為9平方厘米和64平方厘米，陰影部分的面積

為7.5平方厘米，則三角形BCF的面積是多少？

EH

B

FG

【答案】：4.5

【解析】：

易知小正方形的邊長(zhǎng)為3,大正方形的邊長(zhǎng)為8,AC//EG

根據(jù)等積變形，可知三角形ACE的面積等于陰影部分等于7.5平方厘米梯形ABPE的面積為:

（3+8）X34-2=16.5（平方厘米）

所以三角形BCF的面積為：16.5-7.5-3X34-2=4.5（平方厘米）

6.如圖，在三角形ABC'中，CE=2AE,F是AD的中點(diǎn)，三角形ABC的面積是12,那么陰影部

分的面積是多少？

【答案】：5

【解析】：

連接C、F,設(shè)三角形AFE的面積為1份，則三角形CFE的面積為2份三角形AFC的面積為3

份，根據(jù)F是.AD的中點(diǎn)，可得三角形DFC的面積也是3份，且三角形ABF的面積等于三角

形BFD的面積。

根據(jù)燕尾模型，可得三角形ABF的面積：三角形BFC的面積=1：2,所以三角形BFD的面積

也是3份。

此時(shí)三角形ABC的面積可表示為1+2+3+3+3=12（份），陰影部分占其中的5份，所以

陰影部分的面積為124-12X5=5

7.有一個(gè)下面是圓柱、上面是圓錐的容器，圓柱的高是10厘米，圓錐的高是6厘米，內(nèi)水

深7厘米，將這個(gè)容器倒過(guò)來(lái)放時(shí)，從圓錐的頂點(diǎn)到液面的高是多少厘米？

【答案】：11

【解析】：

水的體積相當(dāng)于7厘米高的圓柱體積，容器倒過(guò)來(lái)后，圓錐內(nèi)水的體積相當(dāng)于2厘米高的圓

柱體積，所以此時(shí)圓柱部分水的高度為7—2=5厘米，

故總高度為6+5=1