浙江省杭州八中2024屆數學高一上期末統考試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列各組函數表示同一函數的是（）A.， B.，C.， D.，2．已知集合,則(

)A. B.C. D.3．設函數與的圖象的交點為，，則所在的區間是A. B.C. D.4．集合，，則（）A. B.C. D.5．已知，，且滿足，則的最小值為（）A.2 B.3C. D.6．已知命題，；命題，．若，都是假命題，則實數的取值范圍為（）A. B.C.或 D.7．函數（為自然對數的底）的零點所在的區間為A. B.C. D.8．已知函數，若函數有四個零點，則的取值范圍是A. B.C. D.9．函數的大致圖象是（）A. B.C. D.10．棱長為2的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，已知是延長線上一點，若，點為線段的中點，，則_________12．已知函數，，對任意，總存在使得成立，則實數a的取值范圍是_________.13．已知函數在區間是單調遞增函數，則實數的取值范圍是______14．已知上的奇函數是增函數，若，則的取值范圍是________15．已知，，試用a、b表示________.16．設，，則______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數.（1）判斷的奇偶性，并證明；（2）判斷的單調性，并用定義加以證明；（3）若，求實數的取值范圍.18．已知函數.（1）當有是實數解時，求實數的取值范圍；（2）若，對一切恒成立，求實數的取值范圍.19．已知線段AB的端點A的坐標為，端點B是圓:上的動點.（1）求過A點且與圓相交時的弦長為的直線的方程（2）求線段AB中點M的軌跡方程，并說明它是什么圖形20．一只口袋裝有形狀大小都相同的只小球，其中只白球，只紅球，只黃球，從中隨機摸出只球，試求（1）只球都是紅球的概率（2）只球同色概率（3）“恰有一只是白球”是“只球都是白球”的概率的幾倍？21．在邊長為2的菱形中，，為的中點.（1）用和表示；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】根據相同函數的定義，分別判斷各個選項函數的定義域和對應關系是否都相同，即可得出答案.【詳解】解：對于A，兩個函數的定義域都是，，對應關系完全一致，所以兩函數是相同函數，故A符合題意；對于B，函數的定義域為，函數的定義域為，故兩函數不是相同函數，故B不符題意；對于C，函數的定義域為，函數的定義域為，故兩函數不是相同函數，故C不符題意；對于D，函數的定義域為，函數的定義域為，故兩函數不是相同函數，故D不符題意.故選：A.2、B【解析】直接利用兩個集合的交集的定義求得M∩N【詳解】集合M={x|x+1≥0}={x|x≥-1}，N={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，則M∩N={x|-1≤x＜2}，故選B【點睛】本題主要考查兩個集合的交集的定義和求法，屬于基礎題3、A【解析】設，則，有零點的判斷定理可得函數的零點在區間內，即所在的區間是．選A4、B【解析】解不等式可求得集合，由交集定義可得結果.【詳解】，，.故選：B.5、C【解析】由題意得，根據基本不等式“1”的代換，計算即可得答案.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當時，即，時取等號所以的最小值為.故選：C6、B【解析】寫出命題p，q的否定命題，由題意得否定命題為真命題，解不等式，即可得答案.【詳解】因為命題p為假命題，則命題p的否定為真命題，即：為真命題，解得，同理命題q為假命題，則命題q的否定為真命題，即為真命題，所以，解得或，綜上：，故選：B【點睛】本題考查命題的否定，存在量詞命題與全程量詞命題的否定關系，考查分析理解，推理判斷的能力，屬基礎題.7、B【解析】分析：先判斷函數的單調性，然后結合選項，利用零點的存在定理，即可求解.詳解：由題意，函數為單調遞減函數，又因為，由函數的零點判斷可知，函數的零點在區間，故選B.點睛：本題主要考查了函數的零點的判定定理及應用，其中熟記函數的零點的存在定理是解答本題的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.8、B【解析】不妨設，的圖像如圖所示，則，，其中，故，也就是，則，因，故.故選：B.【點睛】函數有四個不同零點可以轉化為的圖像與動直線有四個不同的交點，注意函數的圖像有局部對稱性，而且還是倒數關系.9、A【解析】利用奇偶性定義可知為偶函數，排除；由排除，從而得到結果.【詳解】為偶函數，圖象關于軸對稱，排除又，排除故選：【點睛】本題考查函數圖象的識別，對于此類問題通常采用排除法來進行排除，考慮的因素通常為：奇偶性、特殊值和單調性，屬于常考題型.10、A【解析】先求出該球面的半徑，由此能求出該球面的表面積【詳解】棱長為2的正方體的頂點都在同一球面上，該球面的半徑，該球面的表面積為故選A【點睛】本題考查球面的表面積的求法，考查正方體的外接球、球的表面積等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是基礎題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】通過利用向量的三角形法則，以及向量共線，代入化簡即可得出【詳解】解：∵（）（），∴λ，∴故答案為【點睛】本題考查了向量共線定理、向量的三角形法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題12、【解析】根若對于任意的∈，總存在，使得g（x0）＝f（x1）成立，得到函數f（x）在上值域是g（x）在上值域的子集，然后利用求函數值域之間的關系列出不等式，解此不等式組即可求得實數a的取值范圍即可【詳解】∵，∴f（0）≤f（x）≤f（1），即0≤f（x）≤4，即函數f（x）的值域為B＝[0，4]，若對于任意的∈，總存在，使得g（x0）＝f（x1）成立，則函數f（x）在上值域是g（x）在上值域A的子集，即B?A①若a＝0，g（x）＝0，此時A＝{0}，不滿足條件②當a≠0時，在是增函數，g（x）∈[﹣+3a，]，即A＝[﹣+3a，]，則，∴綜上，實數a的取值范圍是故答案為【點睛】本題主要考查了函數恒成立問題，以及函數的值域，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題13、【解析】求出二次函數的對稱軸，即可得的單增區間，即可求解.【詳解】函數的對稱軸是，開口向上，若函數在區間是單調遞增函數，則，故答案為：14、【解析】先通過函數為奇函數將原式變形，進而根據函數為增函數求得答案.【詳解】因為函數為奇函數，所以，而函數在R上為增函數，則.故答案為：.15、【解析】根據對數式指數式互化公式，結合對數換底公式、對數的運算性質進行求解即可.【詳解】因為，所以，因此有：，故答案為：16、【解析】由，根據兩角差的正切公式可解得【詳解】，故答案為【點睛】本題主要考查了兩角差的正切公式的應用，屬于基礎知識的考查三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）奇函數，證明見解析（2）單調遞增函數，證明見解析（3）【解析】（1）根據奇偶性的定義證明可得答案；（2）根據單調性定義，通過取值作差判斷符號即可證明；（3）根據函數的單調性得，解不等式即可【小問1詳解】證明：，，所以為奇函數.【小問2詳解】函數在上為增函數.證明：函數的定義域為，，任取，且，則，∵，∴，∴，∴，即，∴∴函數在上為增函數.【小問3詳解】因為，所以，由（2）知函數在上為增函數，所以，，∴的取值范圍是.18、（1）；（2）【解析】（1）由題意可知實數的取值范圍為函數的值域，結合三角函數的范圍和二次函數的性質可知時函數取得最小值，當時函數取得最大值，實數的取值范圍是.（2）由題意可得時函數取得最大值，當時函數取得最小值，原問題等價于，求解不等式組可得實數的取值范圍是.試題解析：（1）因為，可化得，若方程有解只需實數的取值范圍為函數的值域，而，又因為，當時函數取得最小值，當時函數取得最大值，故實數的取值范圍是.（2）由，當時函數取得最大值，當時函數取得最小值，故對一切恒成立只需，解得，所以實數的取值范圍是.點睛：二次函數、二次方程與二次不等式統稱“三個二次”，它們常結合在一起，有關二次函數的問題，數形結合，密切聯系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數值符號四個方面分析．19、（1）或；（2）點M的軌跡是以（4，2）為圓心，半徑為1的圓.【解析】⑴設直線的斜率為，求得直線的方程，再根據與圓相交的弦長為，求得圓心到直線的距離，求出即可得到直線的方程；⑵設出的坐標，確定動點之間坐標的關系，利用在圓上，可得結論；解析：（1）根據題意設直線的斜率為k，則直線的方程為，且與圓相交的弦長為，所以圓心到直線的距離為解得所以直線的方程為或（2）設∵M是線段AB的中點，又A（4,3）∴得又在圓上，則滿足圓的方程∴整理得為點M的軌跡方程，點M的軌跡是以（4，2）為圓心，半徑為1的圓點睛：本題考查了直線與圓的位置關系，并求出點的軌跡方程，在計算軌跡問題時的方法：用未知點坐標表示已知點坐標，然后代入原解析式即可求出關于動點的軌跡方程20、（1）（2）（3）8【解析】記兩只白球分別為，；兩只紅球分別為，；兩只黃球分別為，用列舉法得出從中隨機取2只的所有結果；（1）列舉只球都是紅球的種數，利用古典概型概率公式，可得結論；（2）列舉只球同色的種數，利用古典概型概率公式，可得結論；（3）求出恰有一只是白球的概率，只球都是白球的概率，可得結論【詳解】解：記兩只白球分別，；兩只紅球分別為，；兩只黃球分別為，從中隨機取2只的所有結果為，，，，，，，，，，，，，，共15種（1）只球都是紅球為共1