第二十四章圓

24.1圓的有關性質第2課時

24.1.2垂直于弦的直徑有一個圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對折，重復做幾次，你發現了什么？由此你能得到什么結論？圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．新課導入折一折你能證明你的結論嗎？1.進一步認識圓，了解圓是軸對稱圖形.2.理解垂徑定理及其推論，并能應用它解決一些簡單的計算、證明和作圖問題.（重點）3.靈活運用垂徑定理解決有關圓的問題.（難點）學習目標推進新課·OCD探究求證圓是軸對稱圖形

過點A作AA'⊥CD于M，交⊙O于點A'，已知：如圖，在⊙O中，CD是直徑。求證：直線CD是⊙O的對稱軸證明：在⊙O上任取一點A(與C、D不重合)，AA'M連接OA，OA'。∵OA=OA'，AA'⊥CD∴AM=A'M∴CD是AA'的垂直平分線∴⊙O上任意一點A，在⊙O上都有

關于CD的對稱點A'即直線CD是⊙O的對稱軸·OABCDM垂徑定理及其推論一如圖,AB是⊙O的一條弦，直徑CD⊥AB于M.

則:AM與BM重合，

AC與BC、AD與BD重合⌒⌒⌒⌒垂徑定理

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。運用格式：∵CD是直徑，CD⊥AB∴AM=BM

AC=BC、AD=BD⌒⌒⌒⌒垂徑定理的常見基本圖形：ABOCDEABOEDABOEABO

EC上述五個條件中的任何兩個條件作題設都可以推出其他三個結論嗎？思考探索垂徑定理的條件與結論，即一條直線若滿足：①過圓心(CD是直徑)②垂直于弦(CD⊥AB)則可推出：③平分弦(AM=BM)④平分弦所對的優弧(AC=BC)⑤平分弦所對的劣弧(AD=BD)·OCDMAB⌒⌒⌒⌒

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。垂徑定理的推論運用格式：·OCDABM∵CD是直徑，AM=BM∴CD⊥AB

AC=BC、AD=BD⌒⌒⌒⌒思考：“不是直徑”這個條件能去掉嗎？如果不能，請舉出反例。垂徑定理的實際應用二例

趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，它的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為37m，拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m，求趙州橋的主橋拱的半徑（結果保留到小數點后一位）。解：如圖，用AB表示主橋拱，弦AB表示跨度，設AB所在圓的圓心為O，半徑為R.經過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與AB交于點C，⌒⌒ABODC⌒R∴AB=37m，CD=7.23m.

根據垂徑定理知：D是AB的中點，C是AB的中點，CD就是拱高，連接OA。⌒解得R≈27.3答：趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.ABODCR18.5R-7.23

OD=OC-CD=R-7.23.在Rt?OAD中，由勾股定理得：

1.如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm，OE=6cm，則AB=

cm.·OABE解：連接OA∴AB=2AE=1616∴練習∵OE⊥AB變形：書83頁練習1

在圓中有關弦長a，半徑r，弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h的計算題時，常常通過連半徑或作弦心距構造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解。弦a，弦心距d，弓形高h，半徑r之間有以下關系：d+h=r

OABC·

D歸納hdr

2.已知：⊙O中弦AB∥CD

求證：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒證明：作直徑MN⊥AB.又∵

AB∥CD∴

AM＝BM∴

MN⊥CD∴

CM＝DM∴

AM－CM＝BM－DM∴

AC＝BD練習3.如圖，你能作出一張圓形紙片的圓心嗎？O解：圖中點O就是所求圓心。練習垂徑定理內容推論輔助線一條直線滿足：①過圓心；