?微分的計算

難點

要求期gm

，理解

可導、微分的定義

?掌握

導數、微分的運算法則

導數公式

復合函數及隙

3.1導數的概念

3.1.1導數的定義

設函數＞=/（%）在點須）處及其左右近旁有定

義，當自變量X在％處有改變量時△%（△%，。），相

應的函數y有改變量△、=/（%+△%）—（△（））如果

當0時，F的極限存在，即lim生存在，

-0Ar，

Ay

則稱［r巴。入；為函數丁二（月在點兩處的導數。

記為y\x=x0

△y/(/+Ax)-f(x0)

即N_=lim

%一和—△x△x

也可以記作：/'(%)或今

或y'x一

X=XQ

函數y=/(x)在點x=/處存在導數，簡稱為函

數”/⑴在點X=xo處可導。

例

已知/⑴=%2，求/?，⑴,/，⑴,/，(通).

2

].(x()+AX)2—%2%2+2工2^冗+(△%)?—%

f(x)=hm------------二lim---------------------

△x-?oAx△%一()Ax

「Ax(2x+△%)八

二hm——---------=2x

△%->oAx

3.12導數的幾何意義

313可導與連續的關系

定理1若函數y=/(%)在點工。可導,貝l]/(x)

在點明必連續。

注意此定理的逆定理不成立。即連續不一

定可導，但連續是可導的必要條件。

3.2導數的運算

jf3.2.1幕函數的導數

1.求導公式「

（一），=以”（4為任意常數）

2.兩點說明

1）幕函數的求導公式的特點是：求一次導

數，幕指數降低一次。

2）在求幕函數的導數時，若遇到根式和分

式，應先化成分數指數或負指數，然后

再用上述公式求導。

例閶msiHHgq

已知/(X)=萬,求T(x)

JC

解

1

因為"x)=?=x

所以廣⑴=-2/T=-2]

3.2.2代數和的導數

如果力(X)/(X)，....fn(%)(〃為正整數)在點X可導

則[力⑴土八⑴……±fn(x)y=fi\x)±f2\x)±……±fn\x)

323乘積的導數

如果力⑴，力⑴都在點可導，則

[/1（%）?%（x）T=%'（%）?%（尤）+fl⑴/'⑴

特別地，當力（x）=c（c為常量）時，[或%（，）=。叫

k/i（x）r=cf\（X）｛或[c/<2（x）r=cf\（%）｝即常數因子可以

移到導數符號外面來。

?1

例已知]⑺=（1+/）（3--），W（1）

JQ

解因為]

尸（兀）=（1+%3）（3一%—2）+（1+元3）（3—%—2）,=3/2（3一%—2）+Q+%3）X2/一3

2-32

=9x-3+2x+2=9x+2-1所以/'⑴=9+2-1=10

22T商的導數

，如果力⑴/⑴都在點可導且%(%)wO貝代.

“1叫"一'1(X)?/2(X)—力二)?廣2(外

/l2(X)H⑴

特別地，當/i(x)=c(°為常數)時，有［，-r=_J⑴

例%⑴于2⑴

已知，=T―7，求y'=?

解wKx+1

(X2+l)(x2-l)-(x2-l)(x2+1)12x(x2+1)-2x(x2-1)4x

”(x2+1)2(x2+l)2(x2+l)2

3.2.5復合函數的導數

\設函數y=f(u),u=(p(x)即y是X的一個復合

函數，即>=/[。(創如果在點x處有導數

.(X),>=/(〃)在點"處有導數仆)，則>=H。(創

在點X處的導數也存在，且f'(x)=「C

或寫成蟲=包.也

dxdudx/

例已知y=(l+2x)3°求y，(x)

解/設y=/,"=i+2x,則由復合函數求導公式

得了(犬)=330人.(1+2%)[=30〃29X2=60"29=60(1+2%)29

326三角函數的導數

1,正弦函數的導數(sinx)'=cosx

2.余弦函數的導數(cosx)'=-sinx

(tanxy=sec2%=-^-

.正切函數的導數

3COSX

—1

(cotx),=-csc2X=

sin2x

廠〕，327指數函數的導數”[]

(axy=ax=e時,(1)'=e'

例

已知/。)=*與11碼求：7。)=?/'(1)=?

解「Jt

f\x)=(e玄)'sin;zx+e加(siivzx)'=e加(加)'sin/zx+e加?cos^x(^x)1

?一=碇"?sin衣+加公?cos7tx=庇公(sinm+cos吟

[7i

/*(—)=^^(sin—+cos-)-ne1

222

—Y3,2.8對數函數的導數一

(logax)，=—logae,當a=e時，(lnx)=—

例

已知y=Insin2X,求/(￡)=?

解因為了⑶二,；Gil?%)=2smxcosx“eg

sinxsinx

所以y，(g)=2cotg=2百

329隱函數的導數M

例

已知y=xlny,求

解

3210取對數求導法

例

已知y=爐皿求y（］）=?

解等號兩邊取對數:

1isinx

——y=cosxlnxd-------

Iny=sinxInxyx

,/sinx、sm%/[sinx、

y=y(cosxl1nxH-------)=x(cosxlnxH-------)

xSHHHx

象此類的幕指函數還可以按以下方法求導:

sinx

)=(■)，=(/n%inxy=eSin%in、(sinx?lnx)'=eSii(cosxlnx+

X

■

3.ZH導數公式

公式見教材公式

3.3高階導數

13.3.1高階導數的概念

如果函數＞=/（無）的導數廣⑴在點x處可導，則

稱/'⑴在點X處的導數為二階導數，記作：

廣⑴y或今

dx

（〃-1）階導數y（i）=/（〃-，%）的導數稱為函數

y=/（%）的n階導數，記作：

332高階導數的運算

例

已知y=InX,求：

1-2_2

產-門二丁

解X3

例

已知求：y的二階、三階……幾階導數

用牛y=ae,y=ae,y—ae，泮-aeax

3.4^分

341微分的概念

在引入微分概念之前，我們先回顧我下

導數定義：設，=/（尤）在*處可導，則

AxfoAx

因此⑴+。其中

Ax

o為Axf0時無窮小故Ay=f\x）Ax+a-Ax顯然

戊&是廣（x）Ax的高階無窮小。.

當|Ax|很小時，有Ayp尸⑴Axo

定義1設函數,在點x。具有導數/'5)則稱

/，(％)?Ar為函數＞=/(/庵點元=%0處的微分，

記作dyX=XQ即閾X=%0=f(X。),X

函數的微分有以下兩個特點：

L微分明自變量心成正比，即有線性關系。

2.函數微分辦與函數改變量與之差是一個比Ax

高階的無窮小量，因此函數微分是函數改變量

的主要部分。于是我們稱函數微分為函數改變

量的線性主部。

3.4.2微分的運算

例

已知y=e*sinx,求：dy

解dy=(e，sinx)"dx="(sin犬+cosx)dx

3.4.3微分形式的不變性

設函數y=/(x)在x處可微，當X為自變量時，

有力="x)dx當/為中間變量時，設

%=0⑺且“⑺存在,貝|J辦=電.心力=f,(x)(p'(t)dt

dxdt

乂dx="。)力，所以dy=即：無論X是

自變量還是中間變量，y=/(%)的微分力總可用

尸(元磔來表示，這個性質稱為微分形式的不變性。

3.4.4微分的應用

例

求也.02的近似值

解設/⑴=VI則小）二毋'