第一講：利潤問題

數學與經濟

數學一方面在經濟學研究中起著重要作用，另一方面經濟現象的復雜性也不斷地向

數學提出新的問題，推動著數學科學的發展。

二.基礎數學中的經濟。

商店出售商品時，為了獲得最大的利潤，商家總是“低進高出”，只有這樣才能賺取差

價，就會產生利潤。所以俗話說“只有買錯的，沒有賣錯的”。

實際上，在商品貿易中的許多數學問題都會涉及三個量：成本、利潤及定價。

成本：購進商品所需的本錢，又叫進價或成本價。

定價：商品出售時的價格，又叫售價或賣價。

利潤：產品定價中高于成本以上的那一部分。

可以用矩形圖就很直觀的表示了這三個量。

這了衡量獲得利潤的大小，通常采用“利潤率”這個量。

三.生活中的經濟一打折銷售

1.所謂“打折”，即買賣貨物時，照標價減去一個數目，減到原標價的十分之幾或百分

之幾十就叫打幾折。

請大家嘗試自己將折扣與實際售價和商品標價的關系式寫下來

2.一個容易混淆的折扣趣題

題：國際購物中心周年慶本酬賓，顧客每買400元送100元當日購物券，并加送二十

元現金（用贈券購物不可再領贈券）。假如顧客購物金額為400的整數倍，國際購物中

心的活動相當于將商品打幾折？

四.經濟學中的數學一復利

為了理解復利，我們先介紹下成幾個概念。

1.本金一存款時的儲蓄金額叫做本金，簡稱本。

2.利息一儲蓄所得到的報酬叫做利息，簡稱利。

3.復利一如果把每期的利息加入本金作為下一期的本金，這樣利上加利的計算叫做復

利。

大家想想復利要如何算呢？

舉一個具體的例子：

如果一個投資者今年存入銀行的本金為50000元，每年獲利率或者投資回報率為

3%,30年后這50000元連本帶息按復利來算怎么算（只列算式不計算）？

1.富蘭克林的遺囑

你知道本杰明?富蘭克林是誰嗎？

富蘭克林是一個喜歡在暴風雨中放風箏的人，一名與眾不同的發明家，一位充滿睿

智的民間文學作家。不過，今天我們要談的是這位美國著名人士留下的一份有趣的

遺囑：

"……1000英磅贈給波士頓的居民，如果他們接受了這1000英磅，那么這筆錢應該

托付給一些挑選出來的公民，他們得把這些錢按每年5%的利率借給一些年輕的手

工業者去生息。這些款過了100年增加到131000英磅。我希望那時候用100000英

磅來建立一所公共建筑物，剩下的31000英磅拿去繼續生息100年。在第二個100

年末了，這筆款增加到4061000英磅，其中1061000英磅還是由波士頓的居民來支

配，而其余的3000000英磅讓馬薩諸塞州的公眾來管理。過此之后，我可不敢多作

主張了！”

言而有據的富蘭克林

看了富蘭克林的遺囑，你是不是會覺得有些奇怪：區區1000英磅的遺產，竟然立

下了幾百萬英磅的財產分配的遺囑？富蘭克林到底是"信口開河"，還是"言而有據"

呢？

五.歐拉常數e

復利還與數學中一個以大數學家歐拉命名的非常重要的常數e緊密聯系。

歐拉e與n一樣，是一個無限不循環小數，它的近似值為2.71828182845904523…

我們假設一個人有1元錢存入銀行，并假定有一個特高的年利率100%

若一年復利一次，到年終時本利和為2元，若半年復利一次，每月復利一次，每小時,

每分鐘或每秒復利一次呢，這個數值會如何變化？

1.轉化成分數應用題

康央'A,&C三種商品.出售時按獲取各種商品成本的三成作為盈利來確定定價。入商品有

20個,B商品有40個.C商品有10。個.售價又分別按定價的八折出售，共獲得62400元的營業額，每個

能優B是C的2.5倍,A是B的2倍。A的成本是多少元？

鮑莎舒出門購買A、B兩種物品。這一天是特賣日，因此A比原先的定價減少了I成5分,B

則比原先的定價減少了1成2分,總支付金額為69440元，平均減價1成3分2厘。請問A、B定價各為

多少？

以務工個蘋果、8個檸檬、10個橘子的價錢相同。某天,每種水果都便宜了20元,結果I個革果和

7個檸檬的價錢相同。這時，幾個檸檬會與幾個橘子的價錢相同？隔天?每一種水果的價錢又打了一次

折，結果,5個蘋果和9個檸檬的價錢相同。這時,兒個檸像會與幾個橘卜的價錢相同，

恒婷商品76件,出售給33位顧客，每位顧客最多買3件。買一件按原定價，買兩件降價10%.

買三件降價20%。最后結算，平均每件恰好按原定價85%出售，那么買二件的顧客有多少人？

二.借助矩形圖分析

霞爭辿商店中的某項商品按定價賣，總共賣得7200元。B商店中同樣的商品以定價的8折賣,

比A商店多賣出15個，營業額與A商店相同。請問，在B商店，此商品】個賣多少錢？A商店到底賣出

多少個這種商品？

；孽、出版社出版的某種書，今年每冊書的成本比去年增加1。%?但是仍保持原售價，因此每本枸

,：,翅,卜一降了40%,那么今年這種書的成本在售價中所占的百分數是多少？

Lg少一批商品,按期望獲得50%的利潤來定價。結果只銷掉70%的商品.為盡早銷掉剩下的商

品,商店決定按定價打折銷售。這樣所獲得的全部利潤,是原來的期望利潤的82%,問:打了多少折？

兩家電腦專賣店分別以同樣的價格購進一種游戲軟件.B